I. Généralités sur les suites
Dans tout le cours, on considère des suites (u
n)définies sur
les entiers naturels.
1. Suites croissantes, suites décroissantes
Définitions
Une suite (u
n) est croissante si pour tout entier n, u
n u
n+1.
Une suite (u
n) est décroissante si pour tout entier n, u
n u
n+1.
Remarques :
Une suite croissante, une suite décroissante sont dites monotones.
Il existe des suites ni croissantes, ni décroissantes.
Exemple : La suite (u
n) définie par u
n = (-1)
n est une suite ni croissante, ni décroissante.
Méthode :
Pour étudier le sens de variation d'une suite (u
n), on étudie le signe de la différence u
n+1 - u
n.
Si tous les u
n sont strictement positifs, on compare
et 1.
Exemple 1 :
Soit la suite (u
n) définie pour tout entier naturel
n par :
.
Étudier le sens de variation de la suite (u
n).
Pour étudier le sens de variation de la suite (u
n), on étudie le signe de la différence u
n+1 - u
n.
Et, pour tout entier naturel
n,
n + 3 0 et
n + 2
0.
Donc : pour tout entier naturel
n,
D'où : pour tout entier naturel
n, u
n+1 - u
n 0, soit u
n+1 u
n.
La suite (u
n) est croissante.
Exemple 2 :
Soit la suite (u
n) définie pour tout entier naturel n par :
Étudier le sens de variation de la suite (u
n).
Tous les termes de la suite (u
n) sont strictement positifs. Pour étudier le sens de variation de la suite (u
n), on compare
et 1.
Or,
, donc la suite (u
n) est strictement décroissante.
Théorème
Soit (u
n) une suite définie par u
n =
f(n), avec
f définie sur [0; +
[
Si
f est strictement croissante, alors (u
n) est strictement croissante.
Si
f est strictement décroissante, alors (u
n) est strictement décroissante.
Démonstration :
cas où
f est strictement croissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction
f est strictement croissante, donc :
f (n + 1) >
f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, u
n+1 > u
n.
La suite (u
n est donc strictement croissante.
cas où
f est strictement decroissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction
f est strictement décroissante, donc :
f (n + 1) <
f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, u
n+1 < u
n.
La suite (u
n) est donc strictement décroissante.
Ce théorème ne s'applique pas si la suite (u
n) est définie par récurrence (u
n+1 =
f(u
n)). Les variations de la fonction
f et de la suite (u
n) ne sont pas toujours les mêmes.
Exemple 3 :
Soit la suite (u
n) définie pour tout entier naturel n par
.
Étudier le sens de variation de la suite (u
n).
Soit
f la fonction définie sur ]-1; +
[ par
.
La fonction
f est définie en particulier sur [0; +
[ et est dérivable sur cet intervalle. On a, pour tout
x de [0; +
[ :
Pour tout
x de [0; +
[,
f '(
x) > 0.
La fonction
f est donc strictement croissante sur [0; +
[.
D'où : la suite (u
n) est strictement croissante.
Exercice :
Soit la suite (v
n) définie pour tout entier naturel n par :
Étudier le sens de variation de la suite (v
n).
On pose
Pour tout entier naturel
, on a :
Comme
, alors D
n est du signe de D
n-1, qui lui-même est du signe de D
n-2. Et ainsi de proche en proche, on a : D
n est du signe de D
0.
Or, D
0 = v
1 - v
0 =
D'où : pour tout entier naturel n, D
n > 0.
Donc, pour tout entier naturel n, v
n+1 > v
n
La suite ( v
n) est strictement croissante.
Remarque : on dit qu'une suite est stationnaire si elle est constante.
2. Suites périodiques
Définition
Une suite (un) est périodique
si il existe un entier naturel k non nul tel que pour tout entier naturel n, un+k = un
Remarque : la période appartient à
;
si u
n = sin n, 2
n'est pas une période pour (u
n).
II.Suites Arithmétiques
Voir
cette fiche de cours : Tout ce qui concerne les suites arithmétiques
III. Suites géométriques
Voir
cette fiche de cours : Tout ce qui concerne les suites géométriques
IV. Comportement à l'infini
1. Convergence vers l
Les suites de terme général
,
,
,
, a
n avec -1 < a < 1,
convergent vers 0 et on note alors :
.
Théorème de comparaison 5 :
Si, à partir d'un certain rang,
et si
,
alors (u
n) converge vers
et on note :
.
Théorème 6 :
Si, à partir d'un certain rang,
et si :
,
alors
.
Remarques :
Les deux inégalités sont indispensables pour conclure.
Si (u
n) et (w
n) convergent vers des réels distincts, on ne peut rien dire pour (v
n).
2. Divergence vers l'infini
Les suites de terme général n, n², n
3,
, a
n avec a>1, divergent vers +
et on note :
Une suite (u
n) diverge vers -
si la suite (-u
n) diverge vers +
et on note alors :
Théorème de comparaison 7 :
Si, à partir d'un certain rang,
et si
, alors
.
Si, à partir d'un certain rang,
et si
, alors
.
Remarque :
Il existe des suites qui divergent, sans avoir de limite infinie, par exemple :
un = (-1)n.
3. Opérations
Les règles opératoires sur les limites de suites (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les limites en +
d'une fonction.