Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths 1^ère > Les suites numériques

Les Suites

I. Généralités sur les suites

Dans tout le cours, on considère des suites (u_n)définies sur $\mathbb{N}$ les entiers naturels.

1. Suites croissantes, suites décroissantes

Définitions

Une suite (u_n) est croissante si pour tout entier n, u_n $\le$ u_n+1.
Une suite (u_n) est décroissante si pour tout entier n, u_n $\ge$ u_n+1.

Remarques :
Une suite croissante, une suite décroissante sont dites monotones.
Il existe des suites ni croissantes, ni décroissantes.
Exemple : La suite (u_n) définie par u_n = (-1)ⁿ est une suite ni croissante, ni décroissante.

Méthode :
Pour étudier le sens de variation d'une suite (u_n), on étudie le signe de la différence u_n+1 - u_n.
Si tous les u_n sont strictement positifs, on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et 1.

Exemple 1 :
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par : $u_n = \dfrac{2n + 3}{n + 2}$ .
Étudier le sens de variation de la suite (u_n).

Pour étudier le sens de variation de la suite (u_n), on étudie le signe de la différence u_n+1 - u_n.
$u_{n + 1} - u_n = \dfrac{2(n + 1) + 3}{(n + 1) + 2} - \dfrac{2n + 3}{n + 2}\\ = \dfrac{2n + 5}{n + 3} - \dfrac{2n + 3}{n + 2}\\ = \dfrac{(2n + 5)(n + 2) - (2n + 3)(n + 3)}{(n + 3)(n + 2)}\\ = \dfrac{2n^2 + 4n + 5n + 10 - 2n^2 - 6n - 3n - 9}{(n + 3)(n + 2)}\\ = \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)}$
Et, pour tout entier naturel n, n + 3 $\geq$ 0 et n + 2 $\geq$ 0.
Donc : pour tout entier naturel n, $\dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} \geq 0$
D'où : pour tout entier naturel n, u_n+1 - u_n $\geq$ 0, soit u_n+1 $\geq$ u_n.
La suite (u_n) est croissante.

Exemple 2 :
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par : $u_n = \dfrac{3^n}{5^n}$
Étudier le sens de variation de la suite (u_n).

Tous les termes de la suite (u_n) sont strictement positifs. Pour étudier le sens de variation de la suite (u_n), on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et 1.
$\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} = \dfrac{\frac{3^{n+1}}{5^{n+1}}}{\frac{3^n}{5^n}} = \dfrac{3^{n+1}}{5^{n+1}} \times \dfrac{5^n}{3^n} = \dfrac{3}{5}$
Or, $\dfrac{3}{5} < 1$ , donc la suite (u_n) est strictement décroissante.

Théorème

Soit (u_n) une suite définie par u_n = f(n), avec f définie sur [0; + $\infty$ [
Si f est strictement croissante, alors (u_n) est strictement croissante.
Si f est strictement décroissante, alors (u_n) est strictement décroissante.

Démonstration :
cas où f est strictement croissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement croissante, donc : f (n + 1) > f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, u_n+1 > u_n.
La suite (u_n est donc strictement croissante.

cas où f est strictement decroissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement décroissante, donc : f (n + 1) < f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, u_n+1 < u_n.
La suite (u_n) est donc strictement décroissante.

Ce théorème ne s'applique pas si la suite (u_n) est définie par récurrence (u_n+1 = f(u_n)). Les variations de la fonction f et de la suite (u_n) ne sont pas toujours les mêmes.

Exemple 3 :
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par $w_n = \dfrac{2n - 3}{n + 1}$ .
Étudier le sens de variation de la suite (u_n).

Soit f la fonction définie sur ]-1; + $\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ .
La fonction f est définie en particulier sur [0; + $\infty$ [ et est dérivable sur cet intervalle. On a, pour tout x de [0; + $\infty$ [ :
$f'(x) = \dfrac{2(x + 1) - (2x - 3)}{(x + 1)^2}\\ = \dfrac{2x + 2 - 2x + 3}{(x + 1)^2}\\ = \dfrac{5}{(x + 1)^2}$
Pour tout x de [0; + $\infty$ [, f '(x) > 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur [0; + $\infty$ [.
D'où : la suite (u_n) est strictement croissante.

Exercice :
Soit la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} v_0 & 1 \\ v_{n+1} & \dfrac{1}{2} v_n + 4 \\ \end{array} \right.$
Étudier le sens de variation de la suite (v_n).

On pose $D_n = v_{n+1} - v_n$
Pour tout entier naturel $n$ , on a :
$D_n = v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{2} v_n + 4 - \left(\dfrac{1}{2}v_{n-1} + 4\right)\\ = \dfrac{1}{2}(v_n - v_{n-1})\\ = \dfrac{1}{2} D_{n-1}$
Comme $\dfrac{1}{2} > 0$ , alors D_n est du signe de D_n-1, qui lui-même est du signe de D_n-2. Et ainsi de proche en proche, on a : D_n est du signe de D₀.
Or, D₀ = v₁ - v₀ = $\dfrac{1}{2} v_0 + 4 - v_0 = \dfrac{7}{2} > 0$
D'où : pour tout entier naturel n, D_n > 0.
Donc, pour tout entier naturel n, v_n+1 > v_n
La suite ( v_n) est strictement croissante.

Remarque : on dit qu'une suite est stationnaire si elle est constante.

2. Suites périodiques

Définition

Une suite (u_n) est périodique
si il existe un entier naturel k non nul tel que pour tout entier naturel n, u_n+k = u_n

Remarque : la période appartient à $\mathbb{N}^*$ ;
si u_n = sin n, 2 $\pi$ n'est pas une période pour (u_n).

II.Suites Arithmétiques

Voir

cette fiche de cours : Tout ce qui concerne les suites arithmétiques

III. Suites géométriques

Voir

cette fiche de cours : Tout ce qui concerne les suites géométriques

IV. Comportement à l'infini

1. Convergence vers l

Les suites de terme général $\dfrac{1}{n}$ , $\dfrac{1}{n^2}$ , $\dfrac{1}{n^3}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ , aⁿ avec -1 < a < 1,
convergent vers 0 et on note alors : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0$ .

Théorème de comparaison 5 :

Si, à partir d'un certain rang, $|u_n - l| \le v_n$ et si $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = 0$ ,
alors (u_n) converge vers $l$ et on note : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = l$ .

Théorème 6 :

Si, à partir d'un certain rang, $u_n \le v_n \le w_n$ et si :
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = \lim_{n\to+\infty}w_n = l$ ,
alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = l$ .

Remarques :
Les deux inégalités sont indispensables pour conclure.
Si (u_n) et (w_n) convergent vers des réels distincts, on ne peut rien dire pour (v_n).

2. Divergence vers l'infini

Les suites de terme général n, n², n³, $\sqrt{\text{n}}$ , aⁿ avec a>1, divergent vers + $\infty$ et on note :
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty$
Une suite (u_n) diverge vers - $\infty$ si la suite (-u_n) diverge vers + $\infty$ et on note alors :
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty$

Théorème de comparaison 7 :

Si, à partir d'un certain rang, $u_n \ge v_n$ et si $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = +\infty$ , alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty$ .
Si, à partir d'un certain rang, $u_n \le v_n$ et si $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = -\infty$ , alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty$ .

Remarque :
Il existe des suites qui divergent, sans avoir de limite infinie, par exemple : u_n = (-1)ⁿ.

3. Opérations

Les règles opératoires sur les limites de suites (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les limites en + $\infty$ d'une fonction.

Publié par malou/carita le 11-07-2024

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