Fiche de mathématiques
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Suites : Exercices

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Revoir le cours sur les suites de 1ère

exercice 1

Existe-t-il une suite telle que les trois premiers termes u0, u1, u2 soient à la fois en progression arithmétique et géométrique ?



exercice 2

Soit (un) une suite telle que u4 = -4 et u7 = \dfrac{1}{2}.
1. On suppose que la suite (un) est arithmétique.
   a) Calculer u3, u5, u0.
Plus généralement, exprimer un en fonction de up et de la raison r, pour n et p entiers quelconques.
   b) Calculer S5 et S10.
   c) Etudier la convergence de (un).

2. Mêmes questions si (un) est supposée géométrique.



exercice 3

Une horloge sonne toutes les heures.
Quel est le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures ?



exercice 4

Cinq personnes se trouvent dans une pièce. L'une d'entre elles remarque que leurs âges sont en progression arithmétique. Sachant que la somme des carrés de leurs âges est égale à l'année où se passe cette histoire (à savoir 1980) et qu'à elles toutes, les personnes totalisent 90 années, quel est l'âge de chacune des personnes ?



exercice 5

La taille d'un nénuphar double chaque jour. Au bout de 40 jours, il a recouvert tout l'étang. Au bout de combien de jours avait-il recouvert la moitié de l'étang ?



exercice 6

On cherche à calculer l'aire A de la surface comprise entre la portion de parabole d'équation y = -x^2 + 1 et les axes du repère (voir figure).
Pour cela, on divise [0,1] en n parties égales et l'on remarque que A est comprise entre l'aire An de la région délimitée en noir et l'aire A'n de la région délimitée en rouge.
    a) Calculer An et A'n en fonction de n.
(On admettra la formule : 1^2 + 2^2 + ... + n^2  = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}).
    b) Calculer An et A'n pour n = 10, 10², 10³, 104, 105, 1010 à l'aide d'une calculatrice.
Quel résultat semble se dégager ?
    c) Prouver ce résultat et en déduire la valeur de A.
28 Exercices sur les suites - gratuit : image 1




exercice 7 - Une rosace

On partage un cercle de rayon 1 en n parties égales et on dessine une rosace comme sur la figure ci-après .
Soit ln la somme des périmètres des petits cercles tracés et soit sn la somme des aires des petits disques tracés.
On se demande si :
        ln va tendre vers 0 car les cercles sont de plus en plus petits ;
        ln va tendre vers +\infty car il y a de plus en plus de cercles ;
        ln va tendre vers une valeur finie.
Trouver le bon résultat par le calcul et faire le même travail pour sn.
(On admettra que pour x \geq 0, \, x - \dfrac{x^3}{6} \leq \sin x \leq x).
28 Exercices sur les suites - gratuit : image 2




exercice 8 - La pyramide de Saqqarah

On considère une pyramide à n étages et on appelle pn le nombre de cubes qui la composent.
28 Exercices sur les suites - gratuit : image 3

a) Trouver une formule donnant pn comme une somme de n carrés entiers.
Soit Sn = 0 + 1 + 4 + 9 + ... + n².
b) Exprimer pn en fonction de S2n-1 et Sn-1.
c) Calculer S0, S1, S2, S3. Trouver un polynôme P de degré 3,
tel que P(n) = Sn pour n infegal 3.
On admet que pour tout n, P(n) = Sn.
d) En utilisant b, exprimer pn sous forme de polynôme.
e) Application numérique :
la pyramide de Saqqarah à 6 étages. Calculer pn.



exercice 9 - Empilements de billes

a) Soit ABCDE une pyramide à base carrée ayant toutes ses arêtes égales (AD = a).
Calculer la hauteur AH de cette pyramide.

28 Exercices sur les suites - gratuit : image 4

b) On empile des billes de même rayon R de telle sorte que chaque bille repose sur quatre billes dont les centres définissent un carré de côté 2R. Le niveau 1 contient une bille, le niveau 2 contient quatre billes.
Quel est le nombre de billes du niveau 3, du niveau 4, du niveau n (n entier naturel) ?
c) On note hn la hauteur d'un empilement à n niveaux. Démontrez que (hn) est une suite arithmétique et donnez le premier terme et la raison.



exercice 10

Montrer que chaque suite proposée a pour limite \ell.
a) u_n = \dfrac{1}{n + 3} \, , \, \ell = 0     et     v_n = \dfrac{2}{n^2} \, , \, \ell = 0
b) u_n = n^2 + 1  \, , \,  \ell = +\infty     et     v_n = 2n^3 \, , \, \ell = +\infty
c) u_n = -\sqrt{n}  \, , \,  \ell = -\infty     et     v_n = -n - 4 \, , \, \ell = -\infty
d) u_n = \dfrac{2}{n^2 + 5}  \, , \,  \ell = 0     et     v_n = n + \dfrac{1}{n} \, , \, \ell = +\infty
e) u_n = \dfrac{2n^2 - 3n + 2}{1 - n}  \, , \,  \ell = -\infty     et     v_n = \dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{n} \, , \, \ell = 0
f) u_n = \dfrac{2n}{n+1}  \, , \,  \ell = 2     et     v_n = -n - 4 \, , \, \ell = -\infty



exercice 11

Montrer que les suites proposées tendent vers une limite à préciser.
a) u_n = \dfrac{3}{2\sqrt{n} + 7}     ;     v_n = \dfrac{n-1}{n^2 + 1}     ;     w_n = \dfrac{n^2 - 1}{2n^2 + n}
b) u_n = \dfrac{2\sqrt{n}}{3n^2 + 4}     ;     v_n = -n^2 - n + 1     ;     w_n = \dfrac{-2n+1}{4n+1}
c) u_n = (2n + 1)^2     ;     v_n = -n - \dfrac{3}{n}     ;     w_n = \dfrac{4n^2 + 1}{n(2n+1)}



exercice 12

Etudier d'abord la limite de la suite géométrique (u_n), puis celle de la suite (v_n).
a) u_n = 2^n     ;     v_n = 1 + \dfrac{1}{2^n}
b) u_n = \left(\dfrac{1}{3}\right)^n     ;     v_n = \dfrac{1}'n} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^n
c) u_n = \left(-\dfrac{1}{4}\right)^n     ;     v_n = 7 + \dfrac{5}{3} \left(-\dfrac{1}{4}\right)^n
d) u_n = -5^n     ;     v_n = 2 - 5^n



exercice 13

Montrer que la suite (u_n) satisfait la relation (R), puis en déduire la limite de cette suite.
a) u_n = \dfrac{\cos n}{n + 1} ;       (R) : |u_n| \leq \dfrac{1}{n+1}
b) u_n = \sin(2n) + n ;       (R) : |u_n| \geq n-1
c) u_n = \dfrac{n + (-1)^n}{n^2 + 1} ;       (R) : |u_n| \leq \dfrac{n+1}{n^2+1}
d) u_n = \dfrac{(-1)^n + n}{(-1)^n + 2} ;       (R) : |u_n| \geq \dfrac{n-1}{3}



exercice 14

a) Vérifier que la suite \left(\dfrac{4^n}{n^2}\right) est croissante.
b) En déduire que \left(\dfrac{4^n}{n}\right) tend vers +\infty.
c) Déterminer la limite de \left(\dfrac{4^n + n}{4^n + 2n}\right) .



exercice 15

Dans chacun des cas ci-dessous, étudier le comportement à l'infini de la suite (un), en utilisant des majorations ou des minorations.
a) u_n = \dfrac{n+1}{n^2+2}
b) u_n = \dfrac{2n+3}{3n-4}
c) u_n = \dfrac{(-1)^n \sin n}{n^2 -1}
d) u_n = \dfrac{n^2 + 4}{n - 1}
e) u_n = \dfrac{2n^2 - 3n + 2}{1 - n}
f) u_n = \dfrac{1 + (-1)^n}{2^n}



exercice 16

En utilisant les opérations sur les limites, déterminer le comportement à l'infini de la suite (un) dans chacun des cas ci-dessous:
a) u_n = \dfrac{4n-1}{n + 4}
b) u_n = \dfrac{2n^2 - 5n + 3}{n + 4}
c) u_n = \dfrac{n + 3}{n^2 + 4}
d) u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + \dfrac{n}{n+1}
e) u_n = \dfrac{2^n + n}{3^n(n + 1)}



exercice 17

Soit la suite définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2 + 12}.
a) Déterminer les cinq premiers termes de cette suite. Quel semble être la limite de (un) ?
b) Montrer que la suite (vn) définie par vn = un²-4 est géométrique.
En déduire la limite de la suite (vn) puis celle de la suite (un).

exercice 18

Soit la suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2}{u_n + 2}.
a) Donner une valeur approchée à 10-3 près de u1, u2, u3, u4, u5.
b) Montrer par récurrence que pour tout n de N, 0 infegal un infegal 2.
c) Résoudre l'inéquation - x² + x + 2 supegal 0.
Exprimer un+1 - un en fonction de un . Déduire de ce qui précède que un+1 - un supegal 0 pour tout entier n. Quel est le sens de variation de la suite (un) ?
d) Montrer que pour tout n, |u_{n+1} - 2| \leq \dfrac{1}{2}|u_n - 2| .
En déduire que pour tout n, |u_n - 2| \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 2|.
Que peut-on en conclure sur la convergence de la suite (un) ?



exercice 19

Soit (un) la suite définie par \left \lbrace \begin{array}{l} u_0 \geq -3 \\ u_{n+1} = \sqrt{3 + u_n} \\ \end{array} \right.
a) Prenons u0 = 0. Constater, à l'aide d'une calculatrice, que (un) semble converger vers une valeur l dont on donnera une valeur approchée)
Vérifier la même propriété en choisissant une autre valeur initiale u0.
b) Quelle valeur de u0 faut-il prendre pour que la suite (un) soit stationnaire ?
c) Nous allons maintenant prouver que (un) converge bien vers \ell.
Montrer que (u_{n+1} - \ell)(u_{n+1} + \ell) = u_n - \ell pour tout entier n.
En déduire que |u_{n+1} - \ell| \leq \dfrac{|u_n - \ell|}{\ell} puis que |u_n - \ell| \leq \dfrac{|u_0 - \ell|}{\ell^n} et conclure.






exercice 1

Déterminons s'il existe une suite telle que les trois premiers termes u0, u1, u2 soient à la fois en progression arithmétique et géométrique :
Si ces trois termes sont en progression arithmétique, alors il existe un réel r tel que : u1 = u0 + r et u2 = u1 + r.
De même, s'ils sont en progression géométrique, alors il existe un réel q non nul tel que : u1 = uOq et u2 = u1q.
On obtient alors le système à deux équations et deux inconnues suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_0 \times q & u_0 + r \\  u_0 \times q^2 & u_0 + 2r \\ \end{array} \right. ou encore: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_0(q-1)& r \\ \dfrac{u_0(q^2-1)}{2} & r \\ \end{array} \right.
Résolvons l'équation q - 1 = \dfrac{q^2 - 1}{2} :
2q - 2 = q² - 1
q² - 2q + 1 = 0
(q - 1)² = 0
q = 1
Cette équation admet une unique solution 1.
Donc : u0 = u1 = u2
D'où : les seules suites dont les trois premiers termes sont en progression géométriques et arithmétiques sont les suites constantes.



exercice 2

1. a) u7 = u4 + 3r, la raison r vaut donc : r = \dfrac{3}{2} = 1,5
Donc : u3 = -5,5 ; u5 = -2,5 ; u0 = -10.
u_n = u_p + \dfrac{3(n-p)}{2}.

1. b) S_5 = u_0 + u_1 + ... + u_5 = 6\left[u_0 + \dfrac{5r}{2} \right] = -\dfrac{75}{2}
S_{10} = u_0 + u_1 + ... + u_{10} = 11 \left[u_0 + \dfrac{10r}{2} \right] = -\dfrac{55}{2}

1. c) (un) est une suite arithmétique de raison positive, donc elle converge vers l'infini.

2. u7 = u4 q3 ; soit q^3 = \dfrac{u_7}{u_4} = -\dfrac{1}{8} ; on en déduit q = -\dfrac{1}{2}. Puis u3 = 8 ; u5 = 2 ; u0 = -64 ; u_n = \dfrac{u_p}{(-2)^{n-p}}.
S_5 = - 42 et S_{10} = -0,03125.
(un) est une suite géométrique de raison |q| < 1, donc elle converge vers 0.



exercice 3

1 + 2 + 3 + ... + 12 + 1 + 2 + ... + 12 = 2(1 + 2 + ... + 12).
Somme des 12 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1 : 1 + 2 + ... + 12 = \dfrac{12\times 13}{2}=78
Donc en 24 heures la pendule aura sonné (2 × 78) fois, soit 156 fois.



exercice 4

Soit u0 l'âge de la plus jeune personne. L'âge des autres personnes sont respectivement : u1, u2, u3 et u4 ; avec u1 = u0 + r , ...
On a donc :
u_0^2 + u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 1980 et u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 90
Pour la résolution, cf exercice 8 : 6 ans, 12 ans, 18 ans, 24 ans et 30 ans.



exercice 5

Soit u0 la taille du nénuphar le jour 0. Au bout d'un jour il mesure u1 = 2u0, .... ; au bout de 40 jours il mesure u40 = u0240.
On cherche l'entier p tel que u_p = u_0 \times 2^p = \dfrac{u_{40}}{2}.
On obtient facilement p = 39.



exercice 6

a) An, l'aire inférieure, est délimitée par des rectangles de largeur \dfrac{1}{n} et de longueur f\left(\dfrac{k}{n}\right). Donc : A_n = \dfrac{1}{n} \left[f \left(\dfrac{1}{n}\right) + f\left(\dfrac{2}{n}\right) + ... + f(1)\right]
f\left(\dfrac{1}{n}\right) + f\left(\dfrac{2}{n}\right) + ... + f(1) = n - \dfrac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n^2}
Ainsi A_n = \dfrac{1}{n} \left[n - \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^2}\right] = 1 - \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \dfrac{4n^2 - 3n-1}{6n^2}
A'_n = \dfrac{1}{n} \left[f(0) + f\left(\dfrac{1}{n}\right) + ... + f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\ A'_n = 1 - \dfrac{1}{n^3} \times \dfrac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6} \\ A'_n = \dfrac{4n^2 + 3n- 1}{6n^2}

c) pour tout n, An < A < A'n.
Et quand n tend vers l'infini, An et A'n tendent vers \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} ; donc A = \dfrac{2}{3}.



exercice 7

Il y a n cercle de rayons rn. Calculons ce rayon : l'angle au centre de chaque portion est \dfrac{2\pi}{n} et le rayon du cercle initial est 1. On applique le théorème d'Al Kashi qui nous donne : r_n^2 = 2 \left(1 - \cos \left(\dfrac{2\pi}{n} \right) \right) = 4 \sin^2 \left(\dfrac{\pi}{n}\right). D'où : r_n = 2 \sin \left(\dfrac{\pi}{n}\right).
l_n = n \times 4\pi \sin \left(\dfrac{\pi}{n} \right).
Or, grâce à l'inégalité proposée on obtient : \dfrac{\pi}{n} - \dfrac{\left(\dfrac{\pi}{n}\right)^3}{6} \leq \sin \dfrac{\pi}{n} \leq \dfrac{\pi}{n}
Soit : \dfrac{\pi}{n} - \dfrac{\pi^3}{6n^3} \leq \sin \dfrac{\pi}{n} \leq \dfrac{\pi}{n}
Donc : 4\pi^2 - \dfrac{2\pi^4}{3n^3} \le l_n \le 4 \pi^2 qui nous permet de conclure que ln tend vers 4\pi^2 quand n tend vers l'infini.
a_n = n \times \pi \left(2 \sin \left(\dfrac{\pi}{n} \right) \right)^2 ; avec l'inégalité on peut conclure que la somme des aires tend vers 0.



exercice 8

a) pn = 1² + 3² + 5² + ... + (2n-1)²

b) pn = S2n-1 - 4Sn-1.

c) p(x) = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{6}

d) pn = P(2n - 1) - 4P(n - 1) ; p_n = \dfrac{4n^3-n}{3} = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

e) Pour n = 6, p_6 = \dfrac{6 \times 11 \times 13}{3} = \boxed{286}
Donc le nombre de cubes utilisés est de 286.



exercice 9

a) AHD triangle rectangle en H. [HD] est une demi-diagonale de carré.
\text{HD} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}. Puis \text{AH} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}.

b) Niveau 3 : 9 billes ; Niveau 4: 16 billes ; .... Niveau n : n² billes.

c) h_n = n\dfrac{R}{\sqrt{2}}



exercice 10

a) \displaystyle \lim_{n\to +\infty}(n+3) = +\infty   et   \displaystyle \lim_{N\to +\infty} \dfrac{1}{N} = 0   donc   \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=0.
De même: \displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^2 = +\infty   et   \displaystyle \lim_{N\to +\infty} \dfrac{1}{N} = 0   donc   \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=0.

b) +\infty + 1 = + \infty; donc \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty

c) \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \sqrt{n} = +\infty; donc \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty

d) \displaystyle \lim_{n\to+\infty}(n^2 + 5) = +\infty   et   \displaystyle \lim_{N\to +\infty} \dfrac{1}{N} = 0   donc   \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=0.
\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} n + \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n}=+\infty+0=+\infty

e) Au numérateur on a déjà une forme indéterminée. Remarquons que 2n^2 - 3n + 2 = 1 - (1 - n)(2n - 1). Ainsi u_n = \dfrac{1}{1-n} - (2n-1)
et \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{1-n} - \displaystyle \lim_{n\to+\infty}(2n-1) = 0-(+\infty)=-\infty.
Pas de difficulté pour vn.

f) Forme indéterminée: le numérateur et le dénominateur tendent vers l'infini; il va donc falloir factoriser par n le dénominateur: u_n = \dfrac{2n}{n\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)} = \dfrac{2}{1 + \dfrac{1}{n}}.
Or : \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = 1 ; donc \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 2.



exercice 11

a) u_n = \dfrac{3}{2\sqrt{n}+7} ; \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0
vn est une forme indéterminée, factorisons par n le numérateur et le dénominateur : v_n = \dfrac{n\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)}{n\left(n + \dfrac{1}{n}\right)} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{n}}{n + \dfrac{1}{n}}. Le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers l'infini. Donc \displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n = 0.
Même méthode pour wn : factoriser le numérateur et le dénominateur par n². \displaystyle \lim_{n\to+\infty} w_n = \dfrac{1}{2}.

b) \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0   ;   \displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n = -\infty   et   \displaystyle \lim_{n\to+\infty} w_n= -\dfrac{1}{2}.

c) \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty   ;   \displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n = -\infty   et   \displaystyle \lim_{n\to+\infty} w_n = 2.



exercice 12

a) (un) est une suite géométrique de raison q = 2, q > 1 donc la suite tend vers l'infini : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty ; puis \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=1.

b) (un) est une suite géométrique de raison q = \dfrac{1}{3}, |q| < 1 donc \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n= 0 et \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=0.

c) (un) est une suite géométrique de raison q = -\dfrac{1}{4}, |q| < 1 donc la suite converge vers 0 : \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0 et \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=7.

d) (un) est une suite géométrique de raison q = 5, q > 1 donc la suite tend vers l'infini : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty ; puis \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty.



exercice 13

a) Pour tout n, \, |\cos(n)| \leq 1; donc |u_n| \le \dfrac{1}{n+1}. Donc : 0 \le \displaystyle \lim_{n\to+\infty} |u_n|  \le \displaystyle \lim_{n \to+\infty}\dfrac{1}{n+1} = 0. On en déduit que \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0

b) Pour tout n, \, \sin(2n) \geq -1, donc u_n \geq n - 1 et \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n \ge \displaystyle \lim_{n\to+\infty} n - 1 = +\infty donc \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty.

c) |u_n| = \dfrac{|n+(-1)^n|}{|n^2+1|} \le \dfrac{n+1}{n^2+1}. On en déduit : 0 \le \displaystyle \lim_{n\to+\infty}|u_n| \le \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{n+1}{n^2+1} = 0, soit : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0.

d) -1 \leq (-1)^n \leq 1, donc -1 + n \leq (-1)^n + n \leq 1 + n et 1 \leq (-1)^n + 2 \leq 3, soit : \dfrac{1}{3} \le \dfrac{1}{(-1)^n+2} \le 1 et \dfrac{n-1}{3} \le u_n \le n+1.
Ainsi : \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n \ge \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{n-1}{3} = +\infty et \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty.



exercice 14

a) Posons u_n = \dfrac{4^n}{n^2}.
u_{n+1} - u_n = \dfrac{4^n}{n^2(n+1)^2}(3n^2 - 2n - 1).
Pour étudier le signe de cette différence, il suffit donc d'étudier celui du facteur (3n^2 - 2n - 1) (montrer qu'il est positif pour n \geq 3).

b) \dfrac{4^n}{n} \ge \dfrac{4^n}{n^2} et la suite (un) définie précédemment est croissante et non majorée donc converge vers l'infini ; ainsi la suite v_n = \dfrac{4^n}{n} tend vers l'infini.

c) \dfrac{4^n+n}{4^n+2n} = \dfrac{4^n \left(1 + \dfrac{n}{4^n}\right)}{4^n \left(1 + 2\dfrac{n}{4^n} \right)} = \dfrac{1 + \dfrac{n}{4^n}}{1 + 2\dfrac{n}{4^n}}, et grâce à b), on peut conclure que cette limite est 1.



exercice 15

a) \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 b) \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{2}{3} c) \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 d) \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty e) \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty f) (u_n) n'admet pas de limite.

exercice 16

a) \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 4

b) \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty

c) \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0

d) \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0 + 1 = 1

e) u_n = \dfrac{2^n \left(1 + \dfrac{n}{2^n}\right)}{3^n(1+n)} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \times \dfrac{1 + \dfrac{n}{2^n}}{1+n}.
\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \left(\frac{2}{3^}\right)^n = 0 (suite géométrique de raison \dfrac{2}{3} < 1) et le deuxième terme tend également vers 0; donc \displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0.



exercice 17

a) Déterminons les cinq premiers termes de cette suite :
u_0 = 0
u_1 = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{u_0^2 + 12} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{0 + 12} = \dfrac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}
u_2 = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{u_1^2 + 12} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 12} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{15} = \dfrac{\sqrt{15}}{2}
u_3 = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{u_2^2 + 12} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{15}{4} + 12} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{63}{4}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{4}
u_4 = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{u_3^2 + 12} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{9 \times 7}{16} + 12} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{255}{16}} = \dfrac{\sqrt{255}}{8}
La suite (u_n) semble converger vers 2.

b) Pour tout entier naturel n, on a :
v_{n+1} = u_{n+1}^2 - 4 = \left(\dfrac{1}{2} \sqrt{u_n^2 + 12 \right)^2 - 4 = \dfrac{1}{4} (u_n^2 + 12) - 4 \\ = \dfrac{1}{4} u_n^2 + 3 - 4 \\ = \dfrac{1}{4} (u_n^2 - 4) \\ = \dfrac{1}{4} v_n
On en conclut que (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{4}.

La raison \dfrac{1}{4} < 1, donc \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = 0.
Pour tout entier naturel n, v_n = u_n^2 - 4, donc u_n = \sqrt{v_n + 4} (tous les termes de (u_n) sont positifs).
On en déduit que \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{4} = 2



exercice 18

a) u1 = 1,667 ; u2 = 1,909 ; u3 = 1,977  ;u4 = 1,994  ; u5 = 1,999 .

b) Hypothèse de récurrence : "0 \leq u_n \leq 2".
La proposition est vraie pour n = 0, n = 1, ..., n = 5.
Supposons la vraie au rang p : 0 \leq u_p \leq 2. Alors :

\dfrac{3u_p+2}{u_p+2}\ge 0 _et u_{p+1}-2=\dfrac{3u_p+2}{u_p+2}-2=\dfrac{3u_p+2-2u_p-4}{u_p+2}=\dfrac{u_p-2}{u_p+2}\le 0

donc :  0 \leq u_{p+1} \leq 2
La proposition est alors vérifiée au rang (p + 1).
On en conclut que la proposition est vraie pour tout entier n : u_n est bornée par 0 et 2.

c) L'ensemble des solutions de l'inéquation -x^2 + x + 2 \geq 0 est l'intervalle \mathcal{S} = [-1~;~2].
u_{n+1} - u_n = \dfrac{-u_n^2+u_n+2}{u_n+2}. Le numérateur est positif car pour tout n, \, u_n \in \mathcal{S}, et le dénominateur est positif car un est positif pour tout n. Donc u_{n+1} - u_n \geq 0. On en conclut que la suite (u_n) est croissante.

d) |u_{n+1} - 2| = \dfrac{|u_n-2|}{|u_n+2|} ; or pour tout n : un + 2 \geq 2, donc \dfrac{1}{u_n+2} \le \dfrac{1}{2} et |u_{n+1}-2| \le \dfrac{1}{2} |u_n-2|.
Alors |u_n-2| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 2|.
|u0 - 2| = 1, donc pour tout n : |u_{n+1} - 2| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.
Or : \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0 (suite géométrique de raison < 1)
On en déduit que un - 2 tend vers 0 puis un tend vers 2.



exercice 19

a)
28 Exercices sur les suites - gratuit : image 5

(un) semble converger vers 2,3.
De même en choisissant une valeur intiale u_0 \geq -3

b) (u_n) est une suite stationnaire si pour tout n : u_{n+1} = u_n = u_0, c'est-à-dire si : u_0=\sqrt{3 + u_0} ou encore : u_0^2 - u_0 - 3 = 0. Ce polynôme a deux racines, dont une dans l'intervalle [-3;+\infty[ : u_0 = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}.

c) (u_{n+1} - \ell)(u_{n+1} + \ell) = u_{n+1}^2 - \ell^2 = 3 + u_n - \ell^2.
Or \ell^2 = 3 + \ell donc 3 - \ell^2 = -\ell ; ainsi : (u_{n+1} - \ell)(u_{n+1} + \ell) = u_{n} - \ell , pour tout entier n.
On en déduit que : |u_{n+1} - \ell| \le \dfrac{|u_n - \ell|}{|u_{n+1} + \ell|} et |u_{n+1} + \ell| \geq \ell donc |u_{n+1} - \ell| \le \dfrac{|u_n- \ell|}{\ell} et par récurrence : |u_n - \ell| \le \dfrac{|u_0 - \ell|}{\ell^n} qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Ainsi : |u_n - \ell| tend vers 0 et donc u_n tend vers \ell.
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