Fiche de mathématiques

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Suites : Exercices

exercice 1

Existe-t-il une suite telle que les trois premiers termes u₀, u₁, u₂ soient à la fois en progression arithmétique et géométrique ?

exercice 2

Soit (u_n) une suite telle que u₄ = -4 et u₇ = $\dfrac{1}{2}$ .
1. On suppose que la suite (u_n) est arithmétique.
   a) Calculer u₃, u₅, u₀.
Plus généralement, exprimer u_n en fonction de u_p et de la raison r, pour n et p entiers quelconques.
   b) Calculer S₅ et S₁₀.
   c) Etudier la convergence de (u_n).

2. Mêmes questions si (u_n) est supposée géométrique.

exercice 3

Une horloge sonne toutes les heures.
Quel est le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures ?

exercice 4

Cinq personnes se trouvent dans une pièce. L'une d'entre elles remarque que leurs âges sont en progression arithmétique. Sachant que la somme des carrés de leurs âges est égale à l'année où se passe cette histoire (à savoir 1980) et qu'à elles toutes, les personnes totalisent 90 années, quel est l'âge de chacune des personnes ?

exercice 5

La taille d'un nénuphar double chaque jour. Au bout de 40 jours, il a recouvert tout l'étang. Au bout de combien de jours avait-il recouvert la moitié de l'étang ?

exercice 6

On cherche à calculer l'aire A de la surface comprise entre la portion de parabole d'équation $y = -x^2 + 1$ et les axes du repère (voir figure).
Pour cela, on divise [0,1] en n parties égales et l'on remarque que A est comprise entre l'aire A_n de la région délimitée en noir et l'aire A'_n de la région délimitée en rouge.
    a) Calculer A_n et A'_n en fonction de n.
(On admettra la formule : $1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ ).
    b) Calculer A_n et A'_n pour n = 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10¹⁰ à l'aide d'une calculatrice.
Quel résultat semble se dégager ?
    c) Prouver ce résultat et en déduire la valeur de A.

28 Exercices sur les suites - gratuit : image 1

exercice 7 - Une rosace

On partage un cercle de rayon 1 en n parties égales et on dessine une rosace comme sur la figure ci-après .
Soit l_n la somme des périmètres des petits cercles tracés et soit s_n la somme des aires des petits disques tracés.
On se demande si :
l_n va tendre vers 0 car les cercles sont de plus en plus petits ;
l_n va tendre vers $+\infty$ car il y a de plus en plus de cercles ;
l_n va tendre vers une valeur finie.
Trouver le bon résultat par le calcul et faire le même travail pour s_n.
(On admettra que pour $x \geq 0, \, x - \dfrac{x^3}{6} \leq \sin x \leq x$ ).

28 Exercices sur les suites - gratuit : image 2

exercice 8 - La pyramide de Saqqarah

On considère une pyramide à n étages et on appelle p_n le nombre de cubes qui la composent.

28 Exercices sur les suites - gratuit : image 3

a) Trouver une formule donnant p_n comme une somme de n carrés entiers.
Soit S_n = 0 + 1 + 4 + 9 + ... + n².
b) Exprimer p_n en fonction de S_2n-1 et S_n-1.
c) Calculer S₀, S₁, S₂, S₃. Trouver un polynôme P de degré 3,
tel que P(n) = S_n pour n infegal

3.
On admet que pour tout n, P(n) = S_n.
d) En utilisant b, exprimer p_n sous forme de polynôme.
e) Application numérique :
la pyramide de Saqqarah à 6 étages. Calculer p_n.

exercice 9 - Empilements de billes

a) Soit ABCDE une pyramide à base carrée ayant toutes ses arêtes égales (AD = a).
Calculer la hauteur AH de cette pyramide.

28 Exercices sur les suites - gratuit : image 4

b) On empile des billes de même rayon R de telle sorte que chaque bille repose sur quatre billes dont les centres définissent un carré de côté 2R. Le niveau 1 contient une bille, le niveau 2 contient quatre billes.
Quel est le nombre de billes du niveau 3, du niveau 4, du niveau n (n entier naturel) ?
c) On note h_n la hauteur d'un empilement à n niveaux. Démontrez que (h_n) est une suite arithmétique et donnez le premier terme et la raison.

exercice 10

Montrer que chaque suite proposée a pour limite $\ell$ .
a) $u_n = \dfrac{1}{n + 3} \, , \, \ell = 0$ et $v_n = \dfrac{2}{n^2} \, , \, \ell = 0$
b) $u_n = n^2 + 1 \, , \, \ell = +\infty$ et $v_n = 2n^3 \, , \, \ell = +\infty$
c) $u_n = -\sqrt{n} \, , \, \ell = -\infty$ et $v_n = -n - 4 \, , \, \ell = -\infty$
d) $u_n = \dfrac{2}{n^2 + 5} \, , \, \ell = 0$ et $v_n = n + \dfrac{1}{n} \, , \, \ell = +\infty$
e) $u_n = \dfrac{2n^2 - 3n + 2}{1 - n} \, , \, \ell = -\infty$ et $v_n = \dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{n} \, , \, \ell = 0$
f) $u_n = \dfrac{2n}{n+1} \, , \, \ell = 2$ et $v_n = -n - 4 \, , \, \ell = -\infty$

exercice 11

Montrer que les suites proposées tendent vers une limite à préciser.
a) $u_n = \dfrac{3}{2\sqrt{n} + 7}$ ; $v_n = \dfrac{n-1}{n^2 + 1}$ ; $w_n = \dfrac{n^2 - 1}{2n^2 + n}$
b) $u_n = \dfrac{2\sqrt{n}}{3n^2 + 4}$ ; $v_n = -n^2 - n + 1$ ; $w_n = \dfrac{-2n+1}{4n+1}$
c) $u_n = (2n + 1)^2$ ; $v_n = -n - \dfrac{3}{n}$ ; $w_n = \dfrac{4n^2 + 1}{n(2n+1)}$

exercice 12

Etudier d'abord la limite de la suite géométrique $(u_n)$ , puis celle de la suite $(v_n)$ .
a) $u_n = 2^n$ ; $v_n = 1 + \dfrac{1}{2^n}$
b) $u_n = \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ ; $v_n = \dfrac{1}'n} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$
c) $u_n = \left(-\dfrac{1}{4}\right)^n$ ; $v_n = 7 + \dfrac{5}{3} \left(-\dfrac{1}{4}\right)^n$
d) $u_n = -5^n$ ; $v_n = 2 - 5^n$

exercice 13

Montrer que la suite $(u_n)$ satisfait la relation (R), puis en déduire la limite de cette suite.
a) $u_n = \dfrac{\cos n}{n + 1}$ ;       (R) : $|u_n| \leq \dfrac{1}{n+1}$
b) $u_n = \sin(2n) + n$ ;       (R) : $|u_n| \geq n-1$
c) $u_n = \dfrac{n + (-1)^n}{n^2 + 1}$ ;       (R) : $|u_n| \leq \dfrac{n+1}{n^2+1}$
d) $u_n = \dfrac{(-1)^n + n}{(-1)^n + 2}$ ;       (R) : $|u_n| \geq \dfrac{n-1}{3}$

exercice 14

a) Vérifier que la suite $\left(\dfrac{4^n}{n^2}\right)$ est croissante.
b) En déduire que $\left(\dfrac{4^n}{n}\right)$ tend vers $+\infty$ .
c) Déterminer la limite de $\left(\dfrac{4^n + n}{4^n + 2n}\right)$ .

exercice 15

Dans chacun des cas ci-dessous, étudier le comportement à l'infini de la suite (u_n), en utilisant des majorations ou des minorations.
a) $u_n = \dfrac{n+1}{n^2+2}$
b) $u_n = \dfrac{2n+3}{3n-4}$
c) $u_n = \dfrac{(-1)^n \sin n}{n^2 -1}$
d) $u_n = \dfrac{n^2 + 4}{n - 1}$
e) $u_n = \dfrac{2n^2 - 3n + 2}{1 - n}$
f) $u_n = \dfrac{1 + (-1)^n}{2^n}$

exercice 16

En utilisant les opérations sur les limites, déterminer le comportement à l'infini de la suite (u_n) dans chacun des cas ci-dessous:
a) $u_n = \dfrac{4n-1}{n + 4}$
b) $u_n = \dfrac{2n^2 - 5n + 3}{n + 4}$
c) $u_n = \dfrac{n + 3}{n^2 + 4}$
d) $u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + \dfrac{n}{n+1}$
e) $u_n = \dfrac{2^n + n}{3^n(n + 1)}$

exercice 17

Soit la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2 + 12}$ .
a) Déterminer les cinq premiers termes de cette suite. Quel semble être la limite de (u_n) ?
b) Montrer que la suite (v_n) définie par v_n = u_n²-4 est géométrique.
En déduire la limite de la suite (v_n) puis celle de la suite (u_n).

exercice 18

Soit la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2}{u_n + 2}$ .
a) Donner une valeur approchée à 10^-3 près de u₁, u₂, u₃, u₄, u₅.
b) Montrer par récurrence que pour tout n de N, 0 infegal

u_n

2.
c) Résoudre l'inéquation - x² + x + 2 supegal

0.
Exprimer u_n+1 - u_n en fonction de u_n . Déduire de ce qui précède que u_n+1 - u_n supegal

0 pour tout entier n. Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?
d) Montrer que pour tout n, $|u_{n+1} - 2| \leq \dfrac{1}{2}|u_n - 2|$ .
En déduire que pour tout n, $|u_n - 2| \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 2|$ .
Que peut-on en conclure sur la convergence de la suite (u_n) ?

exercice 19

Soit (u_n) la suite définie par $\left \lbrace \begin{array}{l} u_0 \geq -3 \\ u_{n+1} = \sqrt{3 + u_n} \\ \end{array} \right.$
a) Prenons u₀ = 0. Constater, à l'aide d'une calculatrice, que (u_n) semble converger vers une valeur l dont on donnera une valeur approchée)
Vérifier la même propriété en choisissant une autre valeur initiale u₀.
b) Quelle valeur de u₀ faut-il prendre pour que la suite (u_n) soit stationnaire ?
c) Nous allons maintenant prouver que (u_n) converge bien vers $\ell$ .
Montrer que $(u_{n+1} - \ell)(u_{n+1} + \ell) = u_n - \ell$ pour tout entier $n$ .
En déduire que $|u_{n+1} - \ell| \leq \dfrac{|u_n - \ell|}{\ell}$ puis que $|u_n - \ell| \leq \dfrac{|u_0 - \ell|}{\ell^n}$ et conclure.

Voir la correction

exercice 1

Déterminons s'il existe une suite telle que les trois premiers termes u₀, u₁, u₂ soient à la fois en progression arithmétique et géométrique :
Si ces trois termes sont en progression arithmétique, alors il existe un réel r tel que : u₁ = u₀ + r et u₂ = u₁ + r.
De même, s'ils sont en progression géométrique, alors il existe un réel q non nul tel que : u₁ = u_Oq et u₂ = u₁q.
On obtient alors le système à deux équations et deux inconnues suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_0 \times q & u_0 + r \\ u_0 \times q^2 & u_0 + 2r \\ \end{array} \right.$ ou encore: $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_0(q-1)& r \\ \dfrac{u_0(q^2-1)}{2} & r \\ \end{array} \right.$
Résolvons l'équation $q - 1 = \dfrac{q^2 - 1}{2}$ :
2q - 2 = q² - 1
q² - 2q + 1 = 0
(q - 1)² = 0
q = 1
Cette équation admet une unique solution 1.
Donc : u₀ = u₁ = u₂
D'où : les seules suites dont les trois premiers termes sont en progression géométriques et arithmétiques sont les suites constantes.

exercice 2

1. a) u₇ = u₄ + 3r, la raison r vaut donc : $r = \dfrac{3}{2} = 1,5$
Donc : u₃ = -5,5 ; u₅ = -2,5 ; u₀ = -10.
$u_n = u_p + \dfrac{3(n-p)}{2}$ .

1. b) $S_5 = u_0 + u_1 + ... + u_5 = 6\left[u_0 + \dfrac{5r}{2} \right] = -\dfrac{75}{2}$
$S_{10} = u_0 + u_1 + ... + u_{10} = 11 \left[u_0 + \dfrac{10r}{2} \right] = -\dfrac{55}{2}$

1. c) (u_n) est une suite arithmétique de raison positive, donc elle converge vers l'infini.

2. u₇ = u₄ q³ ; soit $q^3 = \dfrac{u_7}{u_4} = -\dfrac{1}{8}$ ; on en déduit $q = -\dfrac{1}{2}$ . Puis u₃ = 8 ; u₅ = 2 ; u₀ = -64 ; $u_n = \dfrac{u_p}{(-2)^{n-p}}$ .
$S_5 = - 42$ et $S_{10} = -0,03125$ .
(u_n) est une suite géométrique de raison |q| < 1, donc elle converge vers 0.

exercice 3

1 + 2 + 3 + ... + 12 + 1 + 2 + ... + 12 = 2(1 + 2 + ... + 12).
Somme des 12 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1 : $1 + 2 + ... + 12 = \dfrac{12\times 13}{2}=78$
Donc en 24 heures la pendule aura sonné (2 × 78) fois, soit 156 fois.

exercice 4

Soit u₀ l'âge de la plus jeune personne. L'âge des autres personnes sont respectivement : u₁, u₂, u₃ et u₄ ; avec u₁ = u₀ + r , ...
On a donc :
$u_0^2 + u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 1980$ et $u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 90$
Pour la résolution, cf exercice 8 : 6 ans, 12 ans, 18 ans, 24 ans et 30 ans.

exercice 5

Soit u₀ la taille du nénuphar le jour 0. Au bout d'un jour il mesure u₁ = 2u₀, .... ; au bout de 40 jours il mesure u₄₀ = u₀2⁴⁰.
On cherche l'entier p tel que $u_p = u_0 \times 2^p = \dfrac{u_{40}}{2}$ .
On obtient facilement p = 39.

exercice 6

a) An, l'aire inférieure, est délimitée par des rectangles de largeur $\dfrac{1}{n}$ et de longueur $f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ . Donc : $A_n = \dfrac{1}{n} \left[f \left(\dfrac{1}{n}\right) + f\left(\dfrac{2}{n}\right) + ... + f(1)\right]$
$f\left(\dfrac{1}{n}\right) + f\left(\dfrac{2}{n}\right) + ... + f(1) = n - \dfrac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n^2}$
Ainsi $A_n = \dfrac{1}{n} \left[n - \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^2}\right] = 1 - \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \dfrac{4n^2 - 3n-1}{6n^2}$
$A'_n = \dfrac{1}{n} \left[f(0) + f\left(\dfrac{1}{n}\right) + ... + f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\ A'_n = 1 - \dfrac{1}{n^3} \times \dfrac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6} \\ A'_n = \dfrac{4n^2 + 3n- 1}{6n^2}$

c) pour tout $n$ , A_n < A < A'_n.
Et quand $n$ tend vers l'infini, A_n et A'_n tendent vers $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ; donc $A = \dfrac{2}{3}$ .

exercice 7

Il y a n cercle de rayons r_n. Calculons ce rayon : l'angle au centre de chaque portion est $\dfrac{2\pi}{n}$ et le rayon du cercle initial est 1. On applique le théorème d'Al Kashi qui nous donne : $r_n^2 = 2 \left(1 - \cos \left(\dfrac{2\pi}{n} \right) \right) = 4 \sin^2 \left(\dfrac{\pi}{n}\right)$ . D'où : $r_n = 2 \sin \left(\dfrac{\pi}{n}\right)$ .
$l_n = n \times 4\pi \sin \left(\dfrac{\pi}{n} \right)$ .
Or, grâce à l'inégalité proposée on obtient : $\dfrac{\pi}{n} - \dfrac{\left(\dfrac{\pi}{n}\right)^3}{6} \leq \sin \dfrac{\pi}{n} \leq \dfrac{\pi}{n}$
Soit : $\dfrac{\pi}{n} - \dfrac{\pi^3}{6n^3} \leq \sin \dfrac{\pi}{n} \leq \dfrac{\pi}{n}$
Donc : $4\pi^2 - \dfrac{2\pi^4}{3n^3} \le l_n \le 4 \pi^2$ qui nous permet de conclure que l_n tend vers $4\pi^2$ quand n tend vers l'infini.
$a_n = n \times \pi \left(2 \sin \left(\dfrac{\pi}{n} \right) \right)^2$ ; avec l'inégalité on peut conclure que la somme des aires tend vers 0.

exercice 8

a) p_n = 1² + 3² + 5² + ... + (2n-1)²

b) p_n = S_2n-1 - 4S_n-1.

c) $p(x) = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{6}$

d) p_n = P(2n - 1) - 4P(n - 1) ; $p_n = \dfrac{4n^3-n}{3} = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

e) Pour $n = 6$ , $p_6 = \dfrac{6 \times 11 \times 13}{3} = \boxed{286}$
Donc le nombre de cubes utilisés est de 286.

exercice 9

a) AHD triangle rectangle en H. [HD] est une demi-diagonale de carré.
$\text{HD} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ . Puis $\text{AH} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$ .

b) Niveau 3 : 9 billes ; Niveau 4: 16 billes ; .... Niveau n : n² billes.

c) $h_n = n\dfrac{R}{\sqrt{2}}$

exercice 10

a) $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}(n+3) = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{N\to +\infty} \dfrac{1}{N} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=0$ .
De même: $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n^2 = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{N\to +\infty} \dfrac{1}{N} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=0$ .

b) + $\infty$ + 1 = + $\infty$ ; donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$

c) $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \sqrt{n} = +\infty$ ; donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$

d) $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(n^2 + 5) = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{N\to +\infty} \dfrac{1}{N} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=0$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} n + \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n}=+\infty+0=+\infty$

e) Au numérateur on a déjà une forme indéterminée. Remarquons que $2n^2 - 3n + 2 = 1 - (1 - n)(2n - 1)$ . Ainsi $u_n = \dfrac{1}{1-n} - (2n-1)$
et $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{1-n} - \displaystyle \lim_{n\to+\infty}(2n-1) = 0-(+\infty)=-\infty$ .
Pas de difficulté pour v_n.

f) Forme indéterminée: le numérateur et le dénominateur tendent vers l'infini; il va donc falloir factoriser par n le dénominateur: $u_n = \dfrac{2n}{n\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)} = \dfrac{2}{1 + \dfrac{1}{n}}$ .
Or : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = 1$ ; donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 2$ .

exercice 11

a) $u_n = \dfrac{3}{2\sqrt{n}+7}$ ; $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0$
v_n est une forme indéterminée, factorisons par n le numérateur et le dénominateur : $v_n = \dfrac{n\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)}{n\left(n + \dfrac{1}{n}\right)} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{n}}{n + \dfrac{1}{n}}$ . Le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers l'infini. Donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n = 0$ .
Même méthode pour w_n : factoriser le numérateur et le dénominateur par n². $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} w_n = \dfrac{1}{2}$ .

b) $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0$ ; $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} w_n= -\dfrac{1}{2}$ .

c) $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ ; $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} w_n = 2$ .

exercice 12

a) (u_n) est une suite géométrique de raison q = 2, q > 1 donc la suite tend vers l'infini : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ ; puis $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=1$ .

b) (u_n) est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{3}$ , |q| < 1 donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n= 0$ et $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=0$ .

c) (u_n) est une suite géométrique de raison $q = -\dfrac{1}{4}$ , |q| < 1 donc la suite converge vers 0 : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ et $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=7$ .

d) (u_n) est une suite géométrique de raison q = 5, q > 1 donc la suite tend vers l'infini : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty$ ; puis $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty$ .

exercice 13

a) Pour tout $n, \, |\cos(n)| \leq 1$ ; donc $|u_n| \le \dfrac{1}{n+1}$ . Donc : $0 \le \displaystyle \lim_{n\to+\infty} |u_n| \le \displaystyle \lim_{n \to+\infty}\dfrac{1}{n+1} = 0$ . On en déduit que $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0$

b) Pour tout $n, \, \sin(2n) \geq -1$ , donc $u_n \geq n - 1$ et $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n \ge \displaystyle \lim_{n\to+\infty} n - 1 = +\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty$ .

c) $|u_n| = \dfrac{|n+(-1)^n|}{|n^2+1|} \le \dfrac{n+1}{n^2+1}$ . On en déduit : $0 \le \displaystyle \lim_{n\to+\infty}|u_n| \le \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{n+1}{n^2+1} = 0$ , soit : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0$ .

d) $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ , donc $-1 + n \leq (-1)^n + n \leq 1 + n$ et $1 \leq (-1)^n + 2 \leq 3$ , soit : $\dfrac{1}{3} \le \dfrac{1}{(-1)^n+2} \le 1$ et $\dfrac{n-1}{3} \le u_n \le n+1$ .
Ainsi : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n \ge \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{n-1}{3} = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ .

exercice 14

a) Posons $u_n = \dfrac{4^n}{n^2}$ .
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{4^n}{n^2(n+1)^2}(3n^2 - 2n - 1)$ .
Pour étudier le signe de cette différence, il suffit donc d'étudier celui du facteur $(3n^2 - 2n - 1)$ (montrer qu'il est positif pour $n \geq 3$ ).

b) $\dfrac{4^n}{n} \ge \dfrac{4^n}{n^2}$ et la suite (u_n) définie précédemment est croissante et non majorée donc converge vers l'infini ; ainsi la suite $v_n = \dfrac{4^n}{n}$ tend vers l'infini.

c) $\dfrac{4^n+n}{4^n+2n} = \dfrac{4^n \left(1 + \dfrac{n}{4^n}\right)}{4^n \left(1 + 2\dfrac{n}{4^n} \right)} = \dfrac{1 + \dfrac{n}{4^n}}{1 + 2\dfrac{n}{4^n}}$ , et grâce à b), on peut conclure que cette limite est 1.

exercice 15

a) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ b) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{2}{3}$ c) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ d) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ e) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ f) $(u_n)$ n'admet pas de limite.

exercice 16

a) $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 4$

b) $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$

c) $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0$

d) $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0 + 1 = 1$

e) $u_n = \dfrac{2^n \left(1 + \dfrac{n}{2^n}\right)}{3^n(1+n)} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \times \dfrac{1 + \dfrac{n}{2^n}}{1+n}$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \left(\frac{2}{3^}\right)^n = 0$ (suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3} < 1$ ) et le deuxième terme tend également vers 0; donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ .

exercice 17

a) Déterminons les cinq premiers termes de cette suite :
$u_0 = 0$
$u_1 = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{u_0^2 + 12} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{0 + 12} = \dfrac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$
$u_2 = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{u_1^2 + 12} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 12} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{15} = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$
$u_3 = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{u_2^2 + 12} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{15}{4} + 12} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{63}{4}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{4}$
$u_4 = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{u_3^2 + 12} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{9 \times 7}{16} + 12} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{255}{16}} = \dfrac{\sqrt{255}}{8}$
La suite $(u_n)$ semble converger vers 2.

b) Pour tout entier naturel $n$ , on a :
$v_{n+1} = u_{n+1}^2 - 4 = \left(\dfrac{1}{2} \sqrt{u_n^2 + 12 \right)^2 - 4 = \dfrac{1}{4} (u_n^2 + 12) - 4 \\ = \dfrac{1}{4} u_n^2 + 3 - 4 \\ = \dfrac{1}{4} (u_n^2 - 4) \\ = \dfrac{1}{4} v_n$
On en conclut que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ .

La raison $\dfrac{1}{4} < 1$ , donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = 0$ .
Pour tout entier naturel $n$ , $v_n = u_n^2 - 4$ , donc $u_n = \sqrt{v_n + 4}$ (tous les termes de $(u_n)$ sont positifs).
On en déduit que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{4} = 2$

exercice 18

a) u₁ = 1,667 ; u₂ = 1,909 ; u₃ = 1,977 ;u₄ = 1,994 ; u₅ = 1,999 .

b) Hypothèse de récurrence : " $0 \leq u_n \leq 2$ ".
La proposition est vraie pour n = 0, n = 1, ..., n = 5.
Supposons la vraie au rang $p : 0 \leq u_p \leq 2$ . Alors :

$\dfrac{3u_p+2}{u_p+2}\ge 0 _$ et $u_{p+1}-2=\dfrac{3u_p+2}{u_p+2}-2=\dfrac{3u_p+2-2u_p-4}{u_p+2}=\dfrac{u_p-2}{u_p+2}\le 0$

donc : $0 \leq u_{p+1} \leq 2$
La proposition est alors vérifiée au rang (p + 1).
On en conclut que la proposition est vraie pour tout entier $n$ : $u_n$ est bornée par 0 et 2.

c) L'ensemble des solutions de l'inéquation $-x^2 + x + 2 \geq 0$ est l'intervalle $\mathcal{S} = [-1~;~2]$ .
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{-u_n^2+u_n+2}{u_n+2}$ . Le numérateur est positif car pour tout $n, \, u_n \in \mathcal{S}$ , et le dénominateur est positif car u_n est positif pour tout n. Donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$ . On en conclut que la suite $(u_n)$ est croissante.

d) $|u_{n+1} - 2| = \dfrac{|u_n-2|}{|u_n+2|}$ ; or pour tout n : u_n + 2 $\geq$ 2, donc $\dfrac{1}{u_n+2} \le \dfrac{1}{2}$ et $|u_{n+1}-2| \le \dfrac{1}{2} |u_n-2|$ .
Alors $|u_n-2| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 2|$ .
|u₀ - 2| = 1, donc pour tout n : $|u_{n+1} - 2| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ .
Or : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$ (suite géométrique de raison < 1)
On en déduit que u_n - 2 tend vers 0 puis u_n tend vers 2.

exercice 19

28 Exercices sur les suites - gratuit : image 5

(u_n) semble converger vers 2,3.
De même en choisissant une valeur intiale $u_0 \geq -3$

b) $(u_n)$ est une suite stationnaire si pour tout n : $u_{n+1} = u_n = u_0$ , c'est-à-dire si : $u_0=\sqrt{3 + u_0}$ ou encore : $u_0^2 - u_0 - 3 = 0$ . Ce polynôme a deux racines, dont une dans l'intervalle [-3;+ $\infty$ [ : $u_0 = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ .

c) $(u_{n+1} - \ell)(u_{n+1} + \ell) = u_{n+1}^2 - \ell^2 = 3 + u_n - \ell^2$ .
Or $\ell^2 = 3 + \ell$ donc $3 - \ell^2 = -\ell$ ; ainsi : $(u_{n+1} - \ell)(u_{n+1} + \ell) = u_{n} - \ell$ , pour tout entier $n$ .
On en déduit que : $|u_{n+1} - \ell| \le \dfrac{|u_n - \ell|}{|u_{n+1} + \ell|}$ et $|u_{n+1} + \ell| \geq \ell$ donc $|u_{n+1} - \ell| \le \dfrac{|u_n- \ell|}{\ell}$ et par récurrence : $|u_n - \ell| \le \dfrac{|u_0 - \ell|}{\ell^n}$ qui tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.
Ainsi : $|u_n - \ell|$ tend vers 0 et donc $u_n$ tend vers $\ell$ .

Publié par Cel/Doplhie le 11-11-2020

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