La fonction logarithme est construite à partir de la fonction exponentielle. Il faut donc absolument connaître les propriétés algébriques de cette fonction avant d'aborder cette fiche. Elle fera également appel à des propriétés de calcul numérique et littéral. Il ne faut pas que ces aspects calculatoires soient des obstacles.
Enjeu
La fonction logarithme permet de compléter la liste des fonctions vues dans le secondaire. Tu as ainsi à ta disposition tout un panel de fonctions dont tu dois connaître les propriétés. La fonction logarithme est très intéressante quand l'inconnue de notre problème se trouve être un exposant. Elle est également très utile en physique-chimie pour définir des échelles (pH, échelle de Richter, échelle sonore,?)
Définition :
La fonction logarithme népérien , notée , est la bijection réciproque de la fonction exp :
Pour tout de ]0 ; +[ et tout de , .
Propriétés :
La fonction a pour ensemble de définition ]0 ; +[ ; elle vérifie :
Pour tous réels et strictement positifs , .
Pour tout réel , .
Pour tout réel strictement positif, .
s'annule en 1 : .
Signe :
sur ]0 ; 1]
sur ]1 ; +[
Propriétés algébriques :
Pour tous et de ]0 ; +[ et tout entier :
Limites :
Derivation :
est dérivable (donc continue) sur ]0 ; +[ et, pour tout réel > 0 :
est strictement croissante sur ]0 ; +[,
donc, pour tous et de ]0 ; +[ :
si une fonction est positive et ne s'annule pas sur un intervalle , et si u est dérivable sur I, alors est dérivable sur et , pour tout de :
Recapitulatif
Variations et représention graphique
Voici le tableau de variations complet.
Ainsi que la courbe représentative, qu'il est judicieux de mémoriser afin de retrouver très vite et sûrement les résultats.
Fonction logarithme decimal :
On appelle fonction logarithme décimal la fonction , notée , et définie sur ]0 ; +[ par :
Publié par Tom_Pascal
le
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