Fiche de mathématiques

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NEWTON-RAPHSON ET LES MATHS FINANCIERES

I - LE CAS A RESOUDRE

Une société contracte un emprunt indivis d'un montant de 2 000 000,00 d'euros, remboursable au moyen de 20 annuités constantes de 215 000,00 euros chacune, la première payable 1 an après la souscription de l'emprunt.
Il est demandé de calculer le taux d'intérêt annuel de cet emprunt.

II - UNE PROPOSITION DE SOLUTION
Il s'agit de résoudre un problème de mathématiques financières suivant la méthode dite des intérêts composés, et de calculer la valeur actuelle (ou la valeur à l'origine) d'une suite d'annuités constantes de fin de périodes.

A - DEFINITION
On appelle VALEUR ACTUELLE ou valeur à l'origine d'une suite d'annuités, qui sera désigné par "C", le total exprimé UNE PERIODE AVANT LE VERSEMENT DE LA PREMIERE ANNUITE des valeurs respectives de chacune de ces annuités, exprimées à cette date "0", en usant du taux d'intérêt périodique "i" pour 1.

B - LA FORMULE de MATHEMATIQUES FINANCIERES A UTILISER

On a la formule suivante : $C = a \dfrac { 1 - (1+i)^{-n} } { i }$

Avec :
C = capital emprunté
a = montant périodique remboursé
n = nombre de périodes de remboursement
i = taux d'intérêt périodique pour 1 (unité monétaire)

$\checkmark$ Remarque
On est en présence d'une formule qui comporte 4 variables.
Si on connait 3 éléments il est possible de déterminer le quatrième élément manquant.

a) Si l'élément manquant restant à calculer est :
* soit le capital
* soit le montant du remboursement périodique
* soit la durée
il est relativement facile de calculer cet élément manquant.

b) Par contre, si l'élément manquant est le taux periodique d'intérêt, la détermination de ce dit taux est disons...très laborieuse.
On peut "approcher" le taux en utilisant :
--> les tables financières et en particulier la table IV intitulée "VALEUR ACTUELLE D'UNE SUITE DE "n" ANNUITES DE 1 EURO"
On déterminera le taux en lisant la table et en effectuant, le cas échéant, une interpolation.
--> Utiliser un logiciel ou une calculatrice perfectionnée qui nous donnera le résultat
--> Utiliser un logiciel graphique, traceur de fonction, qui permettra de trouver la solution graphique
--> Une approche par calculs successifs qui permettra de trouver le taux le plus proche de la réalité : on peut qualifier cette méthode de "primitive" ou de "simpliste"?..mais elle est efficace car, avec un certain temps pour effectuer les calculs??.on a un"bon" résultat.
--> et, enfin une approche par calculs successifs, en utilisant la méthode de calcul de NEWTON-RAPHSON : il s'agit d'une "vraie méthode mathématique" élaborée par NEWTON et RAPHSON et qui va être exposée dans la suite de cette étude.

III - LA METHODE DE NEWTON-RAPHSON APPLIQUEE AUX MATHEMATIQUES FINANCIERES

A - DEFINITION DE LA METHODE DE NEWTON-RAPHSON

Je ne suis pas un spécialiste de NEWTON-RAPHSON et je me permets de donner la définition (peut être incomplète) que j'ai touvée sur internet.

En analyse numérique, la méthode de Newton ou méthode de Newton-Raphson1 est, dans son application la plus simple, un algorithme efficace pour trouver numériquement une approximation précise d'un zéro (ou racine) d'une fonction réelle d'une variable réelle. Cette méthode doit son nom aux mathématiciens anglais Isaac Newton (1643-1727) et Joseph Raphson (peut-être 1648-1715), qui furent les premiers à la décrire pour la recherche des solutions d'une équation polynomiale. Thomas Simpson (1710-1761) élargit considérablement le domaine d'application de l'algorithme en montrant, grâce à la notion de dérivée, comment on pouvait l'utiliser pour calculer une solution d'une équation non linéaire, pouvant ne pas être un polynôme, et d'un système formé de telles équations.

B - MISE EN APPLICATION DE LA METHODE DE NEWTON-RAPHSON

$\checkmark$ 1) LA FORMULE DE MATHEMATIQUES FINANCIERES

Il s'agit, ici, de la formule de calcul suivante : $C = a \dfrac { 1 - (1+i)^{-n} } { i }$
Avec :
C = capital emprunté
a = montant périodique remboursé
n = nombre de périodes de remboursement
i = taux d'intérêt périodique pour 1 (unité monétaire)
Il s'agit de calculer l'élément manquant à savoir : "i" = taux d'intérêt périodique pour 1 (unité monétaire)

$\checkmark$ 2) TRANSFORMATION DE LA FORMULE EN FONCTION
On va "manipuler" la formule pour introduire une fonction devant s'annuler et être égale à "zéro".

On a : $C = a \dfrac { 1 - (1+i)^{-n} } { i }$

On multiplie les deux membres par i et on obtient : $C\times i = a [ 1 - (1+i)^{-n} ]$

On divise par "a" et on obtient : $\dfrac{C\times i}{a} = 1 - (1+i)^{-n}$

On ajoute $(1+i)^{-n}$ aux deux membres de l'égalité et on obtient : $(1+i)^{-n}+ \dfrac{C\times i}{a} = 1$

On retranche 1 aux deux membres de l'égalité et on obtient : $(1+i)^{-n}+ \dfrac{C\times i}{a} - 1=0$

Nous avons établi la fonction du taux d'intérêt qui est la suivante :

$f(i)=(1+i)^{-n}+ \dfrac{C\times i}{a} - 1$

$\checkmark$ 3) CALCUL DE LA DERIVEE DE LA FONCTION f définie par : $f(i)=(1+i)^{-n}+ \dfrac{C\times i}{a} - 1$
On notera cette dérivée $f'(i)$

a) le premier terme à dériver est : $(1+i)^{-n}$ . dont la dérivée est : $-n(1+i)^{-n-1}$
Il faut bien noter que l'exposant de $(1+i)$ est : $-(n+1)$

b) le deuxième terme à dériver est : $\dfrac{C\times i}{a}$ dont la dérivée est : $\dfrac{C}{a}$

c) le troisième terme à dériver est : -1 dont la dérivée est : ZERO

d) En définitive on a la dérivée suivante : $f'(i)=-n(1+i)^{-n-1}+\dfrac{C}{a}$

$\checkmark$ 4) CALCUL DU TAUX PAR LA METHODE de NEWTON-RAPHTON

On construit par récurence la suite suivante : $i_1 = i_0 - \dfrac{ f(i_0) }{ f'(i_0) }$

qui se présente donc (en remplaçant) sous la forme : $i_1 = i_0 - \dfrac{ (1+i_0)^{-n}+ \dfrac{C\times i_0}{a} - 1 }{ -n(1+i_0)^{-n-1}+\dfrac{C}{a} }$
En calculant par récurence $i_1,\, i_2,\, i_3$ etc. on obtient le taux d'intérêt recherché proche de la réalité.

NB : " $i_0$ " est choisi arbitrairement soit "au doigt mouillé par temps de tempète", soit "à vue de nez" mais en prenant de bonnes lunettes.

C - APPLICATION NUMERIQUE
On reprend les éléments donnés dans l'énoncé ci-dessus, au point I) à savoir :
C = capital emprunté = 2 000 000,00
a = montant périodique remboursé
l'annuité = 215 000,00
n = nombre de périodes de remboursement = 20,00
i = taux d'intérêt périodique pour 1 (unité monétaire) = à calculer
et arbitrairement on prend : $i_0 = 0,0500000000$ pour 1 par période soit 5,00000000 % par période.

1) PREMIERE ITERATION
Arbitrairement on prend : $i_0 =0,0500000000$ pour 1 par période
et on a :
$1+i_0 = 1,0500000000$
$n = 20,00$
$n+1 = 21,00$
$(1+i_0 )^{-n}= 0,37688948$
$(1+i_0 )^{-(n+1)} = 0,35894236$
$- n(1+i_0 )^{-(n+1)} = -7,17884729$
$\dfrac{C\times i_0 }{a} = 0,46511628$
$\dfrac C a = 9,30232558$

Or on a la formule : $i_1 = i_0 - \dfrac{ (1+i_0)^{-n}+ \dfrac{C\times i_0}{a} - 1 }{ -n(1+i_0)^{-n-1}+\dfrac{C}{a} }$

On remplace et on obtient :

$i_1 = 0,05000000 - \dfrac{ 0,37688948 + 0,46511628 -1}{ -7,17884729 + 9,30232558}$

$i_1 = 0,05000000 - \dfrac{ -0,15799424 }{ 2,12347829 }$
$i_1 = 0,05000000 + 0,07440351$
$i_1 = 0,1244035100$

Le taux à prendre dans l'itération suivante est : $i_1 = 0,1244035100$ pour 1 par période

2) DEUXIEME ITERATION
On prend $i_1 = 0,1244035100$ pour 1 par période
et on a :
$1+i_1 = 1,1244035100$
$n = 20,00$
$n+1 = 21,00$
$(1+i_1 )^{-n}= 0,09584206$
$(1+i_1 )^{-(n+1)} = 0,08523814$
$- n(1+i_0 )^{-(n+1)} = -1,70476276$
$\dfrac{C\times i_1}{a} = 1,15724195$
$\dfrac C a = 9,30232558$

Or on a la formule : $i_2 = i_1 - \dfrac{ (1+i_1)^{-n}+ \dfrac{C\times i_1}{a} - 1 }{ -n(1+i_1)^{-n-1}+\dfrac{C}{a} }$

On remplace et on obtient :

$i_2 = 0,12440351 - \dfrac{ 0,09584206 + 1,15724195 -1}{-1,70476276 + 9,30232558 }$

$i_2 = 0,12440351 - \dfrac{ 0,25308401 }{ 7,59756282 }$

$i_2 = 0,12440351 - 0,033311211$
$i_2 = 0,0910922994$
Le taux à prendre dans l'itération suivante est : $i_2 = 0,0910922994$ pour 1 par période

3) TROISIEME ITERATION
On prend $i_2 = 0,0910922994$ pour 1 par période et on a :
$1+i_2 = 1,0910922994$
$n = 20,00$
$n+1 = 21,00$
$(1+i_2 )^{-n}= 0,17489210$
$(1+i_2 )^{-(n+1)}= 0,16029084$
$- n(1+i_2 )^{-(n+1)} = -3,20581673$
$\dfrac{C\times i_2}{a} = 0,84737023$
$\dfrac C a = 9,30232558$
Or on a la formule : $i_3 = i_2 - \dfrac{ (1+i_2)^{-n}+ \dfrac{C\times i_2}{a} - 1 }{ -n(1+i_2)^{-n-1}+\dfrac{C}{a} }$

$i_3 = 0,09109230 - \dfrac{ 0,17489210 + 0,84737023 -1}{-3,20581673 + 9,30232558 }$

$i_3 = 0,09109230 - \dfrac { 0,02226232 }{ 6,09650885 }$
$i_3 = 0,09109230 -0,003651651$
$i_3 = 0,0874406481$
Le taux à prendre dans l'itération suivante est : $i_3 = 0,0874406481$ pour 1 par période

4) QUATRIEME ITERATION
On prend $i_3 = 0,0874406481$ pour 1 par période et on a :

1+i_3 = 1,0874406481
$n = 20,00$
$n+1 = 21,00$
$(1+i_3 ) ^{-n}= 0,18702030$
$(1+i_3 )^{-(n+1)} = 0,17198207$
$- n(1+i_3 )^{-(n+1)} = -3,43964149$
$\dfrac{C\times i_3}{a} =0,81340138$
$\dfrac C a = 9,30232558$
On a la formule : $i_4 = i_3 - \dfrac{ (1+i_3)^{-n}+ \dfrac{C\times i_3}{a} - 1 }{ -n(1+i_3)^{-n-1}+\dfrac{C}{a} }$

$i_4 = 0,08744065 - \dfrac{ 0,18702030 + 0,81340138 -1}{-3,43964149 + 9,30232558 }$

$i_4 = 0,08744065 - \dfrac{ 0,00042168 }{ 5,86268409 }$

$i_4 = 0,08744065 - 0,000071925$
$i_4 = 0,0873687227$
Le taux à prendre dans l'itération suivante est : $i_4 = 0,0873687227$ pour 1 par période

5) CINQUIEME ITERATION
On prend $i_4 = 0,0873687227$ pour 1 par période et on a :
$1+i_4 = 1,0873687227$
$n = 20,00$
$n+1 = 21,00$
$(1+i_4 )^{-n}= 0,18726787$
$(1+i_4 )^{-(n+1)} = 0,17222113$
$- n(1+i_4 )^{-(n+1)}= -3,44442256$
$\dfrac{C\times i_4}{a} = 0,81273230$
$\dfrac C a = 9,30232558$
On a la formule : $i_5 = i_4 - \dfrac{ (1+i_4)^{-n}+ \dfrac{C\times i_4}{a} - 1 }{ -n(1+i_4)^{-n-1}+\dfrac{C}{a} }$

$i_5 = 0,0873687227 - \dfrac{ 0,18726787 + 0,81273230 -1}{ -3,44442256 + 9,30232558 }$

$i_5 = 0,0873687227 - \dfrac{ 0,00000017 }{ 5,85790302 }$

$i_5 = 0,0873687227 -0,00000003$
$i_5 = 0,0873686933$
Le taux à prendre dans l'itération suivante est : $i_5 = 0,0873686933$ pour 1 par période

6) SIXIEME REITERATION
On prend $i_5 = 0,0873686933$ pour 1 par période et on a :
$1+i_5 = 1,0873686933$
$n = 20,00$
$n+1 = 21,00$
$(1+i_5 )^{-n}= 0,18726797$
$(1+i_5 )^{-(n+1)} = 0,17222123$
$- n(1+i_5 )^{-(n+1)} = -3,44442451$
$\dfrac{C\times i_5}{a}) = 0,81273203$
$\dfrac C a = 9,30232558$
On a la formule : $i_6 = i_5 - \dfrac{ (1+i_5)^{-n}+ \dfrac{C\times i_5}{a} - 1 }{ -n(1+i_5)^{-n-1}+\dfrac{C}{a} }$

$i_6 = 0,0873686933 - \dfrac{ 0,18726797 + 0,81273203 -1}{-3,44442451 + 9,30232558 }$
$i_6 = 0,0873686933 - \dfrac{ 0,00000000 }{ 5,85790107 }$
$i_6 = 0,0873686933 - 0,00000000000$
$i_6 = 0,0873686933$

FIN des réitérations car on soustrait la somme de $0,0000000000$

7) TABLEAU RECAPITULATIF DES REITERATIONS

* Départ taux arbitraire : le taux d'intérêt "i" est de : 0,05000000000 pour 1 par période
* Réitération n° 1 = le taux d'intérêt "i" est de : 0,12440350999 pour 1 par période
* Réitération n° 2 = le taux d'intérêt "i" est de : 0,09109229941 pour 1 par période
* Réitération n° 3 = le taux d'intérêt "i" est de : 0,08744064807 pour 1 par période
* Réitération n° 4 = le taux d'intérêt "i" est de : 0,08736872268 pour 1 par période
* Réitération n° 5 = le taux d'intérêt "i" est de : 0,08736869333 pour 1 par période
* Réitération n° 6 = le taux d'intérêt "i" est de : 0,08736869333 pour 1 par période

8) CONCLUSION
Le taux d'emprunt est de 0,08736869333 pour 1 soit un taux périodique de 8,736869333 %.

D) VERIFICATION DE LA SOLUTION PROPOSEE
1) En appliquant la formule de calcul du capital, à savoir : $C = a \dfrac { 1 - (1+i)^{-n} } { i }$
avec :
C = Capital emprunté, à calculer à titre de contrôle du taux, on doit trouver : 2 000 000,00
a = montant périodique remboursé = 215 000,00
n = nombre de périodes de remboursement 20,00
i = taux d'intérêt périodique pour 1 (unité monétaire) 0,08736869333 pour 1

On a : $C = 215 000,00 \dfrac{ 1 - 1,08736869333 ^{-n}}{ 0,08736869333 }$

$C = 215 000,00 \dfrac{ 1 - 0,18726796901 }{ 0,08736869333 }$

$C = 215 000,00 \times \dfrac{ 0,81273203099}{ 0,08736869333 }$
$C = \dfrac{ 174 737,38666373}{0,087368693}$
$C = 2 000 000,000000$
On retrouve bien le capital de 2 000 000,00

2) En établissant le "Juge de Paix" : LE TABLEAU DE REMBOURSEMENT DE L'EMPRUNT
Je laisse au lecteur le soin de présenter le tableau de remboursement de l'emprunt.

IV - ET POUR ALLER PLUS LOIN
Au lecteur de trouver la formule de réitération qui permet de trouver le taux périodique "i" pour 1 de la formule de mathématiques financières suivante :

VALEUR ACQUISE par une SUITE de "n" ANNUITES de 1 EURO : $V(n) = a \dfrac{ (1+i)^n - 1 }{ i }$
avec :
V(n) = valeur acquise
a = montant périodique versé
i = taux d'intérêt périodique exprimé pour 1 euro
n = nombre de versements périodiques

Travail à faire :
1) Etablir la formule de calcul du taux suivant la méthode de NEWTON-RAPHSON
2) Vérifier la formule établie au point 1) ci-dessus en résolvant le cas suivant :
La valeur acquise par une suite de 15 annuités constantes, égales chacune à 10 000,00 euros est de 275 363,59 euros.

On demande :
a) quel est le taux de capitalisation annuel en appliquant la méthode des intérêts composés.
b) établir, à titre de contrôle, le tableau de capitalisation.
A relire à "tête reposée"...

Publié par malou le 07-04-2021

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