Dans une première partie, nous nous attacherons à démontrer, de différentes façons, par des méthodes élémentaires, que cette suite converge. Les parties 2, 3 et 4 suivantes seront consacrées à la détermination de la limite
par divers moyens. Les parties 5 et 6 utiliseront la valeur de
Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie du programme de Terminale S.
Ecrire le texte d'un exercice de niveau terminale S démontrant, par comparaison à une intégrale, la convergence de la suite
. Démontrer l'égalité
. Calculer
. En déduire que le polynôme
sont convergentes et déterminer les valeurs exactes de leurs limites, respectivement notées
le prolongement par continuité en 0 de la foncion définie sur l'intervalle ]0 ;
. Démonter que
Retrouver la valeur de S.
Démonter que la fonction Li est prolongeable par continuité en 1. On notera encore Li ce prolongement par continuité.
Première partie : Convergence de la suite
1. a) La fonction

est strictement décroissante sur

donc :

.
En multipliant l'inégalité précédente par

, il vient :
1. b) En sommant membre à membre l'inégalité du
I. 1. A, pour

, il vient :

.
D'où :
L'inégalité est également vérifié pour

et donc finalement :
La suite
)
est donc majorée par 2.
1. c) La suite
)
est une suite de réels croissante
^2} > 0\right))
et majorée, elle converge donc et en passant à la limite dans l'inégalité du I. 1. b), il vient :
2. a) La suite
)
est croissante et
^2} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} \leq 0)
(d'après I. 1. a)).
Donc la suite
)
est décroissante. En résumé, on a :
2. b) La limite

de la suite
)
vérifie :
D'où :
Donc :
3. Enoncé possible de l'exercice de terminal :
Question 1. Montrer que la suite
)
est croissante.
Question 2. Montrer l'inégalité suivante :
Question 3. En déduire l'encadrement suivant :
Question 4. Conclure quant à la convergence de la suite
Deuxième partie : Utilisation de polynômes
1. On sait que (Relation coefficients-racines pour un polynôme scindé) :
2. a)
Dans l'anneau communtatif des nombres complexes, la formule du binôme de Newton donne :
En notant que
Il vient :
Soit :
2. b) ![\varphi \not \equiv 0 [\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi \not \equiv 0 [\pi])
, donc
 \neq 0)
. En factorisant
 \neq 0)
dans l'égalité précédente, on obtient le résultat attendu :
3. a) On applique la question précédente pour :
![\forall k \in [1 \, , \, p] \, , \, \varphi_k = \frac{k\pi}{2p+1} \not \equiv 0 [\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall k \in [1 \, , \, p] \, , \, \varphi_k = \frac{k\pi}{2p+1} \not \equiv 0 [\pi])
, donc
3. b) On a :
Donc :
La fonction
)
est strictement décroissante sur
![]0 \, , \, \frac{\pi}{2} [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 \, , \, \frac{\pi}{2} [)
, à valeurs dans

et la fonction

est strictement croissante sur

, la fonction composée
)
est donc strictement décroissante sur
![]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[)
donc injective (elle est même bijective car continue sur
![]0 \, , \, \frac{\pi}{2} [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 \, , \, \frac{\pi}{2} [)
). Les réels

étant deux à deux distincts et dans
![]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[)
, leur image
_{1 \leq k \leq p})
par

, sont deux à deux distincts.
_{1 \leq k \leq p})
étant racine de P d'après II. 3. a), le polynôme P possède alors p racines distinctes :
 \, , \, k \in \ldbrack1 \, , \, p\rdbrack)
.
3. c) On appique le II.1. aux racines

du polynôme P, il vient :
En remarquant que
 = \frac{1}{\sin^2(x)} - 1)
et en utilisant l'égalité précédente, il vient :
D'où :
4. a) La fonction sinus est strictement croissante sur
![\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right])
, donc :
![\boxed{\forall \varphi \in ]0 \, ; \, \frac{\pi}{2}[ \ , \, \sin 0 = 0 < \sin \varphi}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall \varphi \in ]0 \, ; \, \frac{\pi}{2}[ \ , \, \sin 0 = 0 < \sin \varphi})
De plus, la fonction sinus est
)
, en particulier
![\mathcal{C}^2 [0 \, , \, \varphi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^2 [0 \, , \, \varphi])
pour tout
![\varphi \in ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi \in ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[)
, Taylor Lagrange s'applique : il existe
![c_{\varphi} \in ]0 \, , \, \varphi[ \subset ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?c_{\varphi} \in ]0 \, , \, \varphi[ \subset ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[)
tel que :
et sin'(0) = cos(0) = 1
et
 = -\sin(c_{\varphi}) < 0)
car
![c_{\varphi} \in ]0 \, , \, \varphi[ \subset ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?c_{\varphi} \in ]0 \, , \, \varphi[ \subset ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[)
d'où :
pour tout
.
De même, pour la fonction tangente :
avec :
![\tan' (0) = 1 \text{ et } \tan'' (c_{\varphi}) = 2 \times (1 + \tan^2 (c_{\varphi})) \times \tan(c_{\varphi}) > 0 \text{ car } c_{\varphi} \in ]0 \, , \, \varphi[ \subset ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\tan' (0) = 1 \text{ et } \tan'' (c_{\varphi}) = 2 \times (1 + \tan^2 (c_{\varphi})) \times \tan(c_{\varphi}) > 0 \text{ car } c_{\varphi} \in ]0 \, , \, \varphi[ \subset ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[)
.
Et donc :
pour tout ![\varphi \in ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi \in ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[)
En conclusion :
4. b) 
est strictement croissante sur

, il vient
En passant à l'inverse :
On applique cette inégalité pour
![k \in \ldbrack1 \, , \, p\rdbrack\, , \, \varphi_k = \frac{k\pi}{2p+1} \in ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k \in \ldbrack1 \, , \, p\rdbrack\, , \, \varphi_k = \frac{k\pi}{2p+1} \in ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[)
, il vient :
En sommant membre à membre l'inégalité précédente, pour

, il vient :
En utilisant les inégalités établies en
II. 3. c) :
4. c) En réécrivant l'inégalité établie au
II. 4. b), il vient :
Or,
La suite
)
est encadrée par deux suites convergentes vers

, la suite
)
converge donc vers

par encadrement (" thérorème des gendarmes ") :
5. On remarque que :
D'où :
On remarque que :
Or,
)
est une suite extraite de
)
donc converge et a pour limite

. la suite
)
converge donc comme différence de deux suites convergentes et on a :

On remarque que :
Les deux suites extraites
 \text{ et } (w_{2n}))
convergent vers la même limite

, donc
)
converge (pour s'en convaincre, on peut revenir à la définition de la limite) et :
Troisième partie : Utilisation des intégrales de Wallis
1. On a :
2. a) Les fonctions
 \text{ et } x \mapsto \cos^{2n+1}(x))
sont
)
, en particulier
On peut donc réaliser une intégration par parties :
Après simplification et regroupement, on obtient :
Soit :
2. b) On démontre l'égalité par récurrence sur n. Soit P(n) la propriété suivante :
P(0) est vraie d'après
III. 1.
Montrons l'hérédité de P(n) : P(n)

P(n+1).
}{(2n+2)} \times I_n)
d'après
III. 2. a)
En appliquant P(n), il vient :
Et donc P(n + 1) est vraie.
Conclusion : "

, P(n) est vraie".
3. a) On démontre cette propriété en réalisant deux intégrations par parties successives sur I
n.
Les fonctions
)
sont
![\mathcal{C}^1\left(\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^1\left(\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]\right))
, il vient, par intégrations par parties :
Soit :
Les fonctions
 \times \cos^{2n-1}(x))
sont
![\mathcal{C}^1\left(\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^1\left(\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]\right))
, il vient, par intégration par parties :
Soit :
Finalement :
3. b) On divise l'égalité prépcédente par

, il vient :
Or, d'après
III. 2. a) :
D'où :
En remarquant que :

, il vient :
Soit :
3. c) En sommant membre à membre l'égalité précédente, pour

, il vient :
En notant que K
0 = J
0, il vient :
4. a) La fonction sinus est concave sur
![\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right])
, (la dérivée seconde de sinus est négative sur
![\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right])
), elle est donc située au-dessus de la droite passant par les deux points (0 ; 0) et
 = 1\right))
, c'est-à-dire la droite d'équation

, ce qui se traduit par :

pour tout
Soit :

pour tout
4. b) la fonction

est strictement croissante sur

, en élevant au carré l'inégalité précédente, il vient :
D'où, en multipliant par
 \geq 0)
:
En intégrant l'inégalité précédente entre 0 et

, il vient :
Soit :
Soit finalement :
Par ailleurs,
![\forall t \in \left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right] \, , \, 0 \leq t^2 \cos^{2n}(t)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall t \in \left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right] \, , \, 0 \leq t^2 \cos^{2n}(t))
, donc

. Finalement :
}I_n})
Comme

, il vient en multipliant l'inégalité précédente par
4. c) En utilisant l'inégalité précédente, on déduit que la suite (K
n) converge vers 0 par encadrement ("théorème des gendarmes"). En passant à la limite dans l'inégalité établi en
III. 3. c), il vient :
Quatrième partie : Noyau de Dirichlet
1. On calcule pour
![x \not \equiv 0 [\pi] \, , \, n \geq 0 \, , \, \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos (kx)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \not \equiv 0 [\pi] \, , \, n \geq 0 \, , \, \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos (kx))
:
On en déduit alors :
2. a) On réalise une intégration par parties aux fonctions
)
qui sont
![\mathcal{C}^1\left(\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^1\left(\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]\right))
:
2. b)
Soit :
3. La fonction

est
![\mathcal{C}^{\infty}\left(]0 \, ; \, \pi]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^{\infty}\left(]0 \, ; \, \pi]\right))
comme quotient de deux fonctions
![\mathcal{C}^{\infty}\left(]0 \, ; \, \pi]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^{\infty}\left(]0 \, ; \, \pi]\right))
, le dénominateur ne s'annulant pas ; en particulier

est
![\mathcal{C}^1\left(]0 \, ; \, \pi]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^1\left(]0 \, ; \, \pi]\right))
. De plus, elle est prolongeable par continuité en 0. En effet :
 \sim \frac{x}{x/2} = 2})
Donc

admet une limite finie, 2, en 0 : elle est fonc prolongeable en une fonction continue sur
![[0 \, ; \, \pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0 \, ; \, \pi])
en posant
 = 2)
.
De plus :
![\large \forall x \in ]0 \, , \, \pi] \, , \, f'(x) = \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\frac{x}{2}-\frac{x}{2}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)}{\frac{x^2}{4}+o(x^3)} = \frac{\frac{x^3}{16}+o(x^3)}{\frac{x^2}{4}+o(x^3)} \stackrel{\sim}{0} \frac{x}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\large \forall x \in ]0 \, , \, \pi] \, , \, f'(x) = \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\frac{x}{2}-\frac{x}{2}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)}{\frac{x^2}{4}+o(x^3)} = \frac{\frac{x^3}{16}+o(x^3)}{\frac{x^2}{4}+o(x^3)} \stackrel{\sim}{0} \frac{x}{4})
Donc
En conclusion :
![\. f \text{ est continue sur } [0 \, ; \, \pi] \\ f \text{ est } \mathcal{C}^1(]0 \, ; \, \pi]) \\ f'(x) \stackrel{0} \longrightarrow 0 \rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\. f \text{ est continue sur } [0 \, ; \, \pi] \\ f \text{ est } \mathcal{C}^1(]0 \, ; \, \pi]) \\ f'(x) \stackrel{0} \longrightarrow 0 \rbrace )
alors d'après le théorème de prolongement de la dérivée,
4. Les fonctions
 \text{ et } x \mapsto \sin(\lambda x))
sont
![\mathcal{C}^1([0 \, ; \, \pi])](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^1([0 \, ; \, \pi]))
. En réalisant une intégration par parties, il vient :
La fonction
)
est
![\mathcal{C}^0([0 \, ; \, \pi])](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^0([0 \, ; \, \pi]))
donc bornée sur
![[0 \, ; \, \pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0 \, ; \, \pi])
(une fonction continue sur un compact est bornée). il existe donc

tel que
Or,
D'où :
Et donc :
D'où :
 \cos(\lambda x) \text{d}x {\longrightarrow}\displaystyle \limits_{\lambda \to 0} )
ainsi que
![-\frac{1}{\lambda}\left[\phi(x) \cos(\lambda x)\right]_0^{\pi} {\longrightarrow}\displaystyle \limits_{\lambda \to 0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-\frac{1}{\lambda}\left[\phi(x) \cos(\lambda x)\right]_0^{\pi} {\longrightarrow}\displaystyle \limits_{\lambda \to 0})
, d'où le résultat.
5. a) On applique la question précédente à

qui est
![\mathcal{C}^1([0 \, ; \, \pi])](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^1([0 \, ; \, \pi]))
d'après
IV. 3., en utilisant la caractérisation séquentielle de la limite et en notant que lorsque

, il vient :
 \times \sin\left(\left(n + \frac12\right)x\right) \text{d}x = 0)
Soit
5. b) En passant à la limite dans l'égalité du
2. b), il vient :
De
II. 5., il vient :
Et donc :
Cinquième partie : Une somme double
1. a) 
est strictement décroissante sur

. D'où :

.
En sommant ces égalités pour

, il vient :
Et donc :
De façon similaire, il vient :
En sommant ces inégalités pour

, il vient :
Finalement, on a montré que :
1. b) Divisons l'inégalité précédente par

, il vient :
Or
}{N} = \displaystyle \lim_{N \to \infty} \frac{1 + \ln(N)}{N} = 0)
d'où par encadrement (théorème des gendarmes) :
1. c) En remarquant que :
Il vient :
Or :
D'où :
1. d) En faisant tendre

dans l'égalité précédente, il vient :
2. a) En remarquant que :
} = \frac{1}{m-1} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + m - 1}\right))
Il vient :
} = \frac{1}{m-1} \displaystyle \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{(n + m - 1)}\right) = \frac{1}{m-1} \left(\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{(n+m-1)}\right))
En réalisant le changement d'indice n' = n + m - 1 dans la seconde somme, il vient :
)
Si

, il vient :
Si

, il vient :
Si

, il vient :
Finalement :
2. b) 
est strictement décroissante sur

à valeurs dans

, il vient :
D'où, par encadrement :
Et donc :
3. a) On a :
Fixons

et faisons tendre

dans l'égalité précédente, il vient :
3. c) En réalisant le changement d'indice m' = m - 1, l'égalité précédente devient :
En faisant tendre

et en utilisant le résultat établi en
V. 1. d), il vient :
Sixième partie : La fonction Dilogarithme
1. La fonction
}{t})
est
)
comme quotient de deux fonctions
)
(la fonction dénominateur est non nulle sur

). En particulier, cette dernière est donc
)
. De plus :
La fonction
}{t})
est donc prolongeable en une fonction
)
et donc la fonction
}{t})
est intégrable sur
![[0 ; x]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0 ; x])
, pour tout

.
2. La fonction Li est une primitive de
}{t})
sur [-1 ; 1[ ; elle est donc continue sur [-1 ; 1[. Pour démontrer qu'elle se prolonge par continuité en 1, on montre que Li(1) existe et est finie, c'est-à-dire que la fonction
}{t})
est intégrable sur [-1 ; 1[.
Réalisons le changement de variable

(ce changement de variable est un
)
difféomorphisme), alors :
Etudier l'intégrabilité de
}{t})
au voisinage de 1
- est équivalent à étudier l'intégrabilité de
}{1-u})
au voisinage de 0
+.
En utilisant un développement limité de

à l'ordre 1 au voisinage de 0, il vient :
Donc :
La fonction
}{1 - u} - \ln(u))
est donc intégrable au voisinage de 0
+. Or, la fonction
)
est intégrable au voisinage de 0
+.En effet, une intégration par parties permet de montrer que :
Et donc :
La fonction
}{1 - u})
est donc intégrable au voisinage de 0
+ et donc Li(1) existe et est finie.
3. a) La fonction
)
est développable en série entière sur ]-1 ; 1[ et :
D'où :
Soit :
Une série entière est intégrable sur son domaine de définition et la série intégrée a même rayon de convergence, d'où :
3. b) En résumé :
La fonction Li est continue sur [-1 ; 1].
La série de fonction

converge normalement sur [-1 ; 1], la fonction somme est donc continue sur [-1 ; 1].
Par unicité de la limite en 1 de Li, il vient :
4. a)
4. b) Le second membre de la relation fonctionnelle est dérivable sur ]0 ; 1[ comme produit et somme de fonctions dérivables sur ]0 ; 1[ et sa dérivée vaut :
Les fonctions
 + Li(1-x))
et
\ln(x))
ont même dérivée sur ]0 ; 1[, elles sont donc égales sur ]0 ; 1[ à une constante K près.
Li est continue sur [0 ; 1] et
 \ln(x) \sim_0 x\ln(x) \longrightarrow_{x \to 0} 0)
, alors en faisant tendre

dans l'égalité précédente, on obtient :
En notant que
 = 0)
et
 = \frac{\pi^2}{6})
, on en conclut que K = 0. Finalement, on a établi que :
5. En remarquant que
 = Li\left(1 - \frac12\right) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n n^2})
, il vient :
6. a) On peut procéder de deux façons différentes, soit en revenant à la définition de Li et en réalisant un changement de variable, soit en utilisant la propriété démontrer en
VI. 3. a). La deuxième façon de faire est beaucoup plus expéditive.
En séparant les indices pairs des indices impairs dans la somme définissant Li, il vient :
et
En sommant membre à membre ces deux égalités précédentes, on obtient :
Ce dernier résultat est valable
![\forall x \in ]0 ; 1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x \in ]0 ; 1[)
.
6. b) On remarque que :
Soit
Or,
Et donc :
7. a) On utilise la même méthode qu'au
VI. 4. b) : on dérive la fonction du membre de gauche.
A noter :
Il s'ensuit :
Soit :
En décomposant en élément simple
(1-x)})
, il vient :
Et donc :
Par ailleurs, la dérivée du membre de droite vaut :
Finalement :
La fonction Li est continue sur [-1 ; 1]. Comme
 \ln(x) \longrightarrow_{x \to 1} 0)
, en faisant tendre

dans l'égalité précédente, il vient :
Or,
D'où :
Finalement, on a montré :
7. b) On a :
et
En réalisant la soustraction membre à membre, il vient :
On applique le
VI. 7. a) pour
![x = \sqrt{2} - 1 \in ]0 ; 1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x = \sqrt{2} - 1 \in ]0 ; 1[)
. Comme
}{1 + (\sqrt{2} - 1)}= \sqrt{2} - 1)
, il vient :
Or,
Finalement :