Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Amérique du Nord - Session Juin 2012

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Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 2
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

Activités numériques

exercice 1

Quatre affirmations sont données ci-dessous.
Affirmation 1 : \dfrac{1}{8} est un nombre décimal.
Affirmation 2 : 72 a exactement cinq diviseurs.
Affirmation 3 : Si n est un entier, (n - 1)(n + 1) + 1 est toujours égal au carré d'un entier.
Affirmation 4 : Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux.
Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse.



exercice 2

Deux classes du collège ont répondu à la question suivante :
"Combien de livres avez-vous empruntés durant les 12 derniers mois ?"
Les deux classes ont communiqué les réponses de deux façons différentes :
Classe n° 1 : 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7
Classe n° 2 :
Effectif total: 25
Moyenne: 4
Etendue: 8
Médiance: 5
1. Comparer les nombres moyens de livres empruntés dans chaque classe.
2. Un "grand lecteur" est un élève qui a emprunté 5 livres ou plus.
Quelle classe a le plus de "grands lecteurs" ?
3. Dans quelle classe se trouve l'élève ayant emprunté le plus de livres ?



exercice 3

Léa observe à midi, au microscope, une cellule de bambou.
Au bout d'une heure, la cellule s'est divisée en deux. On a alors deux cellules.
Au bout de deux heures, ces deux cellules se sont divisées en deux.
Léa note toutes les heures les résultats de son observation.

A quelle heure notera-t-elle, pour la première fois, plus de 200 cellules ?

Vous laisserez apparentes toutes vos recherches.
Même si le travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation.



12 points

Activités géométriques

exercice 1

Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2012 - troisième : image 1
       
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2012 - troisième : image 2
On a modélisé géométriquement un tabouret pliant par les segments [CB] et [AD] pour l'armature métallique et le segment [CD] pour l'assise en toile.
On a CG = DG = 30 cm, AG = BG = 45 cm et AB = 51 cm.
Pour des raisons de confort, l'assise [CD] est parallèle au sol représenté par la droite (AB).

Déterminer la longueur CD de l'assise.

Vous laisserez apparentes toutes vos recherches.
Même si le travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation.




exercice 2

On considère un sablier composé de deux cônes identiques de sommet C et dont le rayon de la base est AK = 1,5 cm.
Pour le protéger, il est enfermé dans un cylindre de hauteur 6 cm et de même base que les deux cônes.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2012 - troisième : image 3

1. On note V le volume du cylindre et V_1 le volume du sablier.
Tous les volumes seront exprimés en cm³.
    a) Montrer que la valeur exacte du volume V du cylindre est 13,5 \pi.
    b) Montrer que la valeur exacte de V_1 est 4,5 \pi.
    c) Quelle fraction du volume du cylindre, le volume du sablier occupe-t-il ?
(On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
Rappel
La formule du volume du cône est \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}


2. On a mis 27 cm³ de sable dans le sablier.
Sachant que le sable va s'écouler d'un cône à l'autre avec un débit de 540 cm³/h, quel temps sera mesuré par ce sablier ?



exercice 3

Construire un carré dont l'aire est égale à la somme des aires des deux carrés représentés ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2012 - troisième : image 4

Vous laisserez apparentes toutes vos recherches.
Même si le travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation.



12 points

Problème

Dans un collège de Caen (Normandie) est organisé un échange avec le Mexique pour les élèves de 3e qui étudient l'espagnol en seconde langue.

Partie I - L'inscription des élèves

Le tableau ci-dessous permet de déterminer la répartition de la seconde langue étudiée par les 320 élèves de 4e et de 3e de ce sollège.

Seconde langue étudiée 4e 3e Total
Espagnol 84    
Allemand 22 24  
Italien 62 50  
Total     320

1. Combien d'élèves peuvent être concernés par cet échange ?

2. 24 élèves vont participer à ce voyage.
Est-il vrai que cela représente plus de 12% des élèves de 3e ?

Partie II - Le financement

Afin de financer cet échange, deux actions sont mises en oeuvre : un repas mexicain et une tombola.

1. Le repas mexicain, où chaque participant paye 15 €.
Au menu, on trouve un plat typique du Mexique, le Chili con carne.
Recette pour 4 personnes
50 g de beurre
2 gros oignons
2 gousses d'ail
30 cL de bouillon de boeuf
500 g de boeuf haché
65 g de concentré de tomate
400 g de haricots rouges
50 personnes participent à ce repas.
    a) Donner la quantité de boeuf haché, de haricots rouges, d'oignons et de concentré de tomate nécessaire.
    b) Les dépenses pour ce repas sont de 261 €, quel est le bénéfice ?

2. La tombola, où 720 tickets sont vendus au prix de 2 €.
Les lots sont fournis gratuitement par trois magasins qui ont accepté de sponsoriser le projet.
Il y a trois lots à gagner : un lecteur DVD portable, une machine à pain et une mini-chaîne Hifi.
Un élève achète 1 ticket.
    a) Quelle probabilité a-t-il de gagner l'un des lots ?
    b) Quelle probabilité a-t-il de gagner la mini-chaîne Hifi ?

3. Montrer que la somme récupérée par les deux actions est de 1929 €.

Partie III - Le voyage

Le voyage se décompose en deux parties : le trajets Caen-Paris (256 km) se fait en bus puis le trajet Paris-Mexico (9 079 km) en avion.

1. Le prix d'un billet d'avion aller-retour coûte 770,30 € par personne.
L'argent récolté par le repas mexicain et la tombola permet de réduire équitablement ce prix pour les 24 élèves participants.
Quelle est la participation demandée par élève pour les billets d'avion ? (arrondir à l'unité).

2. Le décollage se fait à 13 h 30. Cependant, les élèves et les accompagnateurs doivent être impérativement à l'aéroport de Paris-Roissy à 11 h 30.
On estime la vitesse poyenne du bus à 80 km/h.
Jusqu'à quelle heure peut-il partir de Caen ?

3. L'avion arrive à Mexico à 17 h 24 heure locale. Il faut compter 7 heures de décalage avec la France.
    a) Quelle est la durée du trajet ?
    b) Quelle est la vitesse moyenne de l'avion ? (arrondir à l'unité).






Activités numériques

exercice 1

Affirmation 1 : VRAIE
\dfrac{1}{8} = 0,125 est un nombre décimal.

Affirmation 2 : FAUSSE
Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72
72 a donc exactement douze diviseurs.

Affirmation 3 : VRAIE
Pour tout entier naturel n, on a :
(n - 1)(n + 1) + 1 = n^2 - 1 + 1 = n^2
Donc : si n est un entier, (n - 1)(n + 1) + 1 est toujours égal au carré d'un entier.

Affirmation 4 : FAUSSE
3 et 9 sont deux nombres impairs. Leurs diviseurs communs sont 1 et 3. Les nombres 3 et 9 ne sont donc pas premiers entre eux.



exercice 2

1. Nombre moyen de livres empruntés dans la classe n°1 :
\dfrac{1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+6+6+6+6+6+7+7+7}{21} = \dfrac{84}{21} = 4
Le nombre moyen de livres enpruntés dans la classe n°2 est aussi 4.
Donc le nombre moyen de livres empruntés dans les deux classes est le même.

2. Parmi les 21 élèves de la classe n°1, 8 sont des "grands lecteurs".
Dans la classe n°2, la médiane est 5. L'effectif étant 25, la médiane est le 13e élève. Donc au moins 13 élèves ont emprunté 5 livres ou plus.
Il y a donc plus de "grands lecteurs" dans la classe n°2.

3. Dans la classe n°1, les élèves ont emprunté au maximum 7 livres.
L'étendue de la classe n°2 est 8, donc dans la classe n°2, un élève a emprunté au moins 8 livres.
L'élève ayant emprunté le plus de livres se trouve donc dans la classe n°2.



exercice 3

Au bout d'une heure, la cellule est divisée en deux. On a alors deux cellules : 21.
Au bout de deux heures, les cellules se sont divisées en deux. On a alors : 22 cellules.
Au bout de trois heures, les cellules se sont divisées en deux. On a alors : 23 cellules.
...
Au bout de n heures, on a 2^n cellules.
On cherche n tel que 2^n > 200
On sait que : 27 = 128 et 28 = 256, donc elle notera, pour la première fois, plus de 200 cellules au bout de 8 heures, c'est-à-dire à 20 heures.


Activités géométriques

exercice 1

Les droites (BC) et (AD) sont sécantes en G. Les droites (CD) et (AB) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{GC}{GB} = \dfrac{GD}{GA} = \dfrac{CD}{AB}, donc \dfrac{30}{45} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{CD}{51}
De \dfrac{30}{45} = \dfrac{CD}{51} on déduit que CD = \dfrac{30 \times 51}{45} = 34
Donc : CD = 34 cm.



exercice 2

1. a) V = \pi \R^2 \times h = \pi \times AK^2 \times h = \pi \times 1,5^2 \times 6 = 13,5 \pi
Donc : V = 13,5 \pi \text{ cm}^3

1. b) Le sablier est composé de deux cônes identiques, donc :
V_1 = 2 \times \dfrac{\pi AK^2 \times AC}{3} = 2 \times \dfrac{\pi \times 1,5^2 \times 3}{3} = 4,5 \pi
Donc : V_1 = 4,5 \pi \text{ cm}^3

1. c) On cherche le nombre k (en écriture fractionnaire) telle que V_1 = k \times V. Donc :
k = \dfrac{v_1}{V} = \dfrac{4,5 \pi}{13,5 \pi} = \dfrac{45}{135} = \dfrac{5 \times 9}{5 \times 9 \times 3} = \dfrac{1}{3}
Le sablier occupe donc \dfrac{1}{3} du cylindre.

2. Le débit est de 540 cm³ en 1 heure (soit 60 minutes).
Donc : 27 cm³ s'écoulent en : \dfrac{27 \times 60}{540} = 3 min.
Ce sablier permet donc de mesurer 3 minutes.



exercice 3

L'aire du petit carré de côté c est de 4 cm², donc c^2 = 4, donc c = 2 cm. La longueur d'un côté du petit carré est de 2 cm.
On en déduit que la longueur d'un côté du grand carré est de 4 cm. Son aire est alors égale à 4² = 16 cm².
L'aire de ces deux carrés est donc égale à : 4 + 16 = 20 cm².
On doit donc construire un carré de côté a dont l'aire est égale à 20 cm², donc : a^2 = 20, soit a = \sqrt{20} cm.
On doit donc construire un carré de côté \sqrt{20} cm.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2012 - troisième : image 5



Problème

Partie I - L'inscription des élèves

1. Nombre total d'élèves en 4e : 84 + 22 + 62 = 168
Nombre total d'élèves en 3e : 320 - 168 = 152
Nombre total d'élèves en 3e étudiant l'espagnol en seconde langue : 152 - (50 + 24) = 78
78 élèves peuvent être concernés par cet échange.

2. 24 élèves parmi les 152 élèves de 3e vont participer à ce voyage.
On a : \dfrac{24}{152} \times 100 \approx 16
Cela représente plus de 12% des élèves de 3e.

Partie II - Le financement

1. a) 50 personnes participent à ce repas. La recette est pour 4 personnes. Les proportions doivent donc être multipliées par \dfrac{50}{4} = 12,5
Quantité de boeuf haché : 500 × 12,5 = 6 250 g, soit 6,250 kg
Quantité de haricots rouges : 400 × 12,5 = 5 000 g, soit 5 kg.
Quantité d'oignons : 2 × 12,5 = 25 oignons
Quantité de concentré de tomate : 65 × 12,5 = 812,5 g

1. b) Chaque participant paye 15 €. Les 50 repas rapportent donc : 15 × 50 = 750 euros.
Les dépenses pour ce repas sont de 261 €. Le bénéfice est donc de : 750 - 261 = 489 euros.

2. a) Il y a 3 tickets gagnants parmi 720 tickets.
Donc la probabilité de gagner l'un des trois lots est : \dfrac{3}{720} = \dfrac{1}{240}

2. b) Un seul ticket parmi les 720 permet de gagner la mini-chaîne Hifi.
Donc la probabilité de gagner la mini-chaîne Hifi est \dfrac{1}{720}.

3. La tombola rapporte : 720 × 2 = 1 440 euros.
Les deux actions permettent de récupérer : 489 + 1 440 = 1 929 euros.
La somme récupérée par les deux actions est de 1929 €.

Partie III - Le voyage

1. On a : \dfrac{1929}{24} = 80,375
L'argent récolté par le repas mexicain et la tombola permet de réduire le prix pour chaque participant de 80,375 euros.
On a : 770,30 - 80,375 = 689,925
La participation delandée par élève pour les billets d'avion est de 690 euros (arrondi à l'unité).

2. Durée du trajet en bus : la vitesse moyenne du bus est de 80 km/h.
Le bus parcourt 80 km en 1 heure (60 minutes).
Le bus parcourt 256 km en \dfrac{256 \times 60}{80} = 192 minutes, soit 3 h 12 min.
Pour que les élèves et les accompagnateurs soient au plus tard à 11 h 30 à l'aéroport, ils doivent partir au plus tard de Caen à 8 h 18 min.

3. a) L'avion arrive à Mexico à 17 h 24 heure locale, donc à 00 h 24 heure de Paris.
Le décollage se fait à 13 h 30, le vol dure donc 10 h 54 min (00 h 24 - 13 h 30).

3. b) 10 h 54 min = 10 h + \dfrac{54}{60} h = 10 h + 0,9 h = 10,9 h
L'avion parcourt 9 079 km en 10,9 h. Sa vitesse moyenne est donc : \dfrac{9079}{10,9} \approx   833 km/h.
La vitesse moyenne de l'avion est d'environ 833 km/h.
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