Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
1. Soit la suite définie par : a) Calculer et . On exprimera chacun de ces termes sous forme d'une fraction irréductible.
b) Comparer les quatre premiers termes de la suite aux quatre premiers termes de la suite définie sur par .
c) A l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel , .
2. Soit la suite de terme général défini par où ln désigne la fonction logarithme népérien.
a) Montrer que b) Soit la somme définie pour tout entier naturel non nul par : .
Exprimer en fonction de .
Déterminer la limite de lorsque tend vers .
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Un joueur dispose d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U1, U2 et U3 contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Il y a trois boules noires dans l'urne U1, deux boules noires dans l'urne U2 et une boule noire dans l'urne U3, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches.
Les boules sont indiscernables au toucher.
Une partie se déroule de la façon suivante :
le joueur lance le dé,
s'il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l'urne U1, note sa couleur et la remet dans l'urne U1;
s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U2, note sa couleur et la remet dans l'urne U2;
si le numéro amené par le dé n'est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U3, note sa couleur et la remet dans l'urne U3.
On désigne par A, B, C et N les évènements suivants :
A : "le dé amène le numéro 1."
B : "le dé amène un multiple de trois."
C : "le dé amène un numéro qui n'est ni le 1, ni un multiple de trois."
N : "la boule tirée est noire."
1. Le joueur joue une partie.
a) Montrer que la probabilité qu'il obtienne une boule noire est égale à .
b) Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire.
c) Déterminer pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit supérieure à .
d) Déterminer pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit égale à .
2. Dans cette question, est choisi pour que la probabilité d'obtenir une boule noire en jouant une partie soit égale à .
Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.
Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10-3, la probabilité qu'il obtienne au moins une fois une boule noire.
8 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
Soit la fonction définie sur par .
1. a) Déterminer les limites de en et en .
b) Etudier le sens de variations de puis dresser son tableau de variations sur .
2. Démontrer que l'équation admet deux solutions dans , dont l'une dans l'intervalle , qui sera notée .
Déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de .
3. En déduire le signe de sur et le présenter dans un tableau.
Partie B : Etude de la position relative de deux courbes et calcul d'aire
Ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de deux fonctions et .
Les fonctions et sont définies sur par : et .
Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal sont notées et .
1. Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la même tangente.
2. a) Démontrer que, pour tout nombre réel , où est la fonction étudiée dans la partie A. b) A l'aide d'un tableau, étudier le signe de sur .
c) En déduire la position relative des courbes et .
3. a) Montrer que la fonction définie sur par est une primitive sur de la fonction .
b) En déduire l'aire , exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par les deux courbes et et les droites d'équations et .
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10-4 de cette aire.
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : .
Les solutions seront notées et , désigant la solution dont la partie imaginaire est positive.
Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
2. Donner la valeur exacte de sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
Partie B
Le plan complexe est muni d'un repère orthogonal direct ; (unité graphique: 2 cm).
1. Montrer que les points A d'affixe et B d'affixe sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon.
Tracer ce cercle puis construire les points A et B.
2. On note O' l'image du point O par la rotation de centre A et d'angle et B' l'image du point B par la rotation de centre A et d'angle .
Calculer les affixes des points O' et B' et construire ces points.
3. Soit I le milieu du segment [OB].
a) Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO'B'?
b) Calculer l'affixe du vecteur .
Montrer que l'affixe du vecteur est égale à .
c) La conjecture émise à la question a) est-elle vraie ?
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal .
On considère les points A(0 ; 5 ; 5) et B(0 ; 0 ; 10).
1. Dans cette question, on se place dans le plan d'équation rapporté au repère .
On note le cercle de centre B passant par A.
Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle .
2. On nomme la sphère engendrée par la rotation du cercle autour de l'axe et le cône engendré par la rotation de la droite (OA) autour de l'axe .
a) Démontrer que le cône admet pour équation .
b) Déterminer l'intersection du cône et de la sphère .
Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques.
c) Illustrer ces objets par un schéma dans l'espace.
3. On coupe le cône par le plan d'équation .
Dans , l'une des trois figures ci dessous représente cette intersection.
Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires.
4. Soit un point du cône dont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls. Démontrer que et ne peuvent pas être simultanément impairs.
1.c) On veut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel , .
D'après 1.b), .
La propriété est vraie au rang .
Supposons que pour un certain entier naturel , . Montrons qu'elle est alors vraie au rang , c'est-à-dire montrons que .
.
La propriété est vraie au rang . L'hérédité est démontrée.
En conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, d'où :
2.a)
2.b) On a:
On en déduit:
exercice 2
L'urne contient trois boules noires et donc boules blanches.
L'urne contient deux boules noires et donc boules blanches.
L'urne contient une boule noire et donc boules blanches.
1.a) D'après la formule des probabilités totales, on a:
1.b)
1.c) . Or et d'après l'énoncé, . On en déduit alors .
1.d) Dans ce cas:
2. Soit la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues en réalisant parties indépendantes.
est donc binomiale de paramètre et La probabilité qu'il obtienne au moins une fois une boule noire est:
exercice 3
Partie A:
1.a)
car et
En posant
car et et .
1.b)
La fonction est définie et dérivable sur , et on a :
Pour tout
Et comme , le signe de la dérivée sera le même que celui de
, et est strictement décroissante sur .
, et est strictement croissante sur .
, et est strictement décroissante sur .
On calcule aussi les valeurs des extremums locaux :
2. Sur , la fonction admet un unique minimum en , donc l'équation admet une unique solution sur cet intervalle qui est .
Sur :
La fonction est dérivable donc continue et strictement décroissante sur D'autre part, et Donc, d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires: admet une solution unique En effectuant un balayage à la calculatrice, on obtient d'où l'encadrement suivant: Remarque : . L'encadrement trouvé convient.
Conclusion:
3. Sur , .
Sur , .
Partie B
1.
On a:
Donc
Puisqu'on a déjà , il reste à montrer que:
sont définies et dérivables sur , et on a pour tout réel :
On en déduit que : , et que :
2.a) Pour tout réel , on a:
2.b)
Puisque le discriminant de est : , alors pour tout réel on a : Donc, a le même signe que Or le signe de est connu d'après 3. et celui de est simple :
2.c)
Sur et sur , est en dessous de .
Sur et sur , est au dessus de .
De plus, et se coupent en , et .
3.a)
La fonction est définie et dérivable sur , et on a pour tout :
3.b) et on sait que sur , alors :
exercice 4 - CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Partie A
1. est une équation complexe de second degré, on calcule le discriminent Les deux solutions de l'équation sont :
2. Directement :
Conclusion :
Partie B
1. On a en utisant les notations exponentielles trouvées précédemment :
On en déduit que :
Pour la construction de A et B, il sufffit de tracer le cercle de centre O et de rayon 2, puis d'en prendre l'intersection avec la droite d'équation .
2. Pour construire O', il suffit de tracer le cercle de centre A passant par O, et de tracer la perpendiculaire en A à (OA). O' est le point de ce cercle tel que Pour construire B', il suffit de tracer le cercle de centre A passant par B, et de tracer la perpendiculaire en A à (AB). B' est le point de ce cercle tel que
3.a)
On peut conjecturer que :
3.b)
c. Evaluons le produit scalaire des deux vecteurs
Les vecteurs et sont orthogonaux, ainsi les droites (AI) et (O'B') sont perpendiculaires. La conjecture émise à la question a. est donc vraie:
.
Schéma.
exercice 4 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
1. On a:
Donc le produit scalaire vaut:
Les vecteurs et sont donc orthogonaux, ainsi les droites et sont perpendiculaires.
Or et est de rayon , donc:
2.a) L'équation du cône est de la forme : avec
Mais soit :
On en déduit que :
2.b) La sphère de centre B et de rayon AB a pour équation:
Or:
Donc:
L'intersection du cône et de la sphère S a ses coordonnées qui vérifient le système suivant:
Le discriminant de la 1ère équation est : , l'équation admet donc une unique solution .
0n en déduit que :
.
2.c)
3. est un plan parallèle à l'axe du cône. L'intersection de et de est donc soit deux droites sécantes, soit une hyperbole. (Cela ne peut donc pas être la figure (1)).
L'intersection de avec a ses coordonnées qui vérifient le système suivant:
ou
Ce n'est pas l'équation de deux droites, donc ce n'est pas la figure 2.
Conclusion :
4. Raisonnons par l'absurde et supposons que et soient impairs simultanément.
Si est impair, (où ) alors est impair.
Si est impair, (où ) alors est impair.
Ainsi :
Or : est impair puisque . Donc est un multiple de 2 mais pas un multiple de 4, ce qui est impossible pour un carré.
On aboutit à une contradiction, ainsi :
Publié par Tom_Pascal
le
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