Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies Industrielles
Spécialité : Arts appliqués
Métropole - La Réunion - Session Juin 2004

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 2
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

8 points

exercice 1

Sophie et Luc jouent très mal aux échecs, c'est pourquoi ils ont inventé le jeu suivant :
Sophie possède un sac contenant cinq pièces blanches : une reine, une tour, deux cavaliers et un pion.
Le sac de Luc contient cinq pièces noires : une reine, deux tours, et deux pions.
Principe du jeu :
Chacun tire une pièce de son sac, celui qui a la pièce la plus forte gagne la partie.
Une reine bat toutes les autres pièces.
Une tour bat un cavalier ou un pion.
Un cavalier bat un pion.
Deux pièces identiques font partie nulle.
Exemples :
Sophie tire une reine et Luc une tour : Sophie gagne la partie.
Sophie et Luc tirent tous les deux un pion : il y a partie nulle.

1. Dans le tableau ci-dessous, chaque case correspond à une issue possible du jeu.

Sophie \ Luc	R	T₁	T₂	P₁	P₂
R
T
C₁
C₂
P

Recopier ce tableau et compléter chaque case :
    Par un S lorsque Sophie gagne.
    Par un L lorsque Luc gagne.
    Par un N lorsque la partie est nulle.
On suppose les tirages équiprobables.

2. Calculer les probabilités des évènements suivants :
    a) A : «La partie est nulle».
    b) B : «Sophie gagne».
    c) C : «Luc gagne».

3. Y a-t-il, du point de vue du contenu des sacs, un joueur avantagé par rapport à l'autre ?
Justifier la réponse.

12 points

exercice 2

Un musée souhaite orner ses publications d'un motif en filigrane.
Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unité graphique 5 cm.
L'axe des ordonnées sera centré sur la feuille de papier millimétré.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : $f(x) = 2\text{e}^x - 4x$ . On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni du repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

1. $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$ , calculer $f'(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de $f$ .

2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 0.

3. Tracer avec soin la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente T en A.

4. Calculer l'intégrale $\displaystyle I_f = \int_0^1 f(x)\:\text{d}x$ .

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : $g(x) = \ln(x + 1)$ . On appelle $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan muni du repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

1. étudier les variations de la fonction $g$ . Dresser son tableau de variations.

2. Tracer avec soin la courbe $\mathcal{C}_g$ dans le même repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ que précédemment.

3. Soit $G$ la fonction définie sur [0 ; 1] par $G(x) = (x+1)\ln (x+1) - (x+1)$ .
a) Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0 ; 1].
b) Calculer l'intégrale $\displaystyle I_g = \int_0^1 g(x)\:\text{d}x$ .

Partie C : constitution du motif

On nomme P le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1 et Q le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse 1.
La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées transforme les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ , respectivement en courbes $\mathcal{C}'_f$ et $\mathcal{C}'_g$ (les points P et Q ayant pour images respectives P' et Q').
Tracer les courbes $\mathcal{C}'_f$ et $\mathcal{C}'_g$ ainsi que les segments [PQ] et [P'Q'].
Le domaine limité par les courbes $\mathcal{C}_f$ , $\mathcal{C}'_f$ , $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}'_g$ ainsi que par les segments [PQ] et [P'Q'] constitue le motif que cherche à reproduire le musée.
Expliquer comment on peut calculer l'aire de ce motif et calculer cette aire en cm² (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^-2 près).

Voir la correction

exercice 1

1. Remplissage du tableau :

Sophie/Luc	$R$	$T_1$	$T_2$	$P_1$	$P_2$
$R$	$\black N$	$\red S$	$\red S$	$\red S$	$\red S$
$T$	$\blue L$	$\black N$	$\black N$	$\red S$	$\red S$
$C_1$	$\blue L$	$\blue L$	$\blue L$	$\red S$	$\red S$
$C_2$	$\blue L$	$\blue L$	$\blue L$	$\red S$	$\red S$
$P$	$\blue L$	$\blue L$	$\blue L$	$\black N$	$\black N$

2. a) $P(A)=\dfrac{5}{25}=\boxed{\dfrac{1}{5}}$
2. b) $P(B)=\dfrac{10}{25}=\boxed{\dfrac{2}{5}}$
2. c) $P(C)=\dfrac{10}{25}=\boxed{\dfrac{2}{5}}$
3. Puisque $P(B)=P(C)=\dfrac{2}{5}$ , alors : Aucun joueur n'est avantagé par rapport à l'autre.

exercice 2

Partie A

1. Calcul : Soit $x$ un réel appartenant à $[0,1]\text{ : }f'(x)=\left(2e^x-4x\right)'=2e^x-4=\boxed{2\left(e^x-2\right)}$
Étude de signe : On a : $\begin{cases}e^x-2\leq 0 \Longleftrightarrow e^x\leq 2 \Longleftrightarrow x\leq \ln 2 \\ e^x-2\geq 0 \Longleftrightarrow e^x\geq 2 \Longleftrightarrow x\geq \ln 2\end{cases}$
Donc : $\boxed{f'(x) \text{ est négatif dans } [0 ; \ln 2]\text{ et positif dans } [\ln 2 ; 1] }$
Tableau de variation :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline x& 0&&\ln 2 &&1\\\hline f'(x)&&-&\barre{0}&+&\\\hline\niveau{2}{3}f&2&\decroit&4-4\ln 2&\croit& 2e-4 \\\hline\end{tabvar}$
Avec : $f(0)=2 \text{ , } f(\ln 2)=4-4\ln 2 \text{ et } f(1)=2e-4$

2. Equation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point $0$ s'écrit: $T:y=f'(0)(x-0)+f(0)$
On a : $f'(0)=2(e^0-2)=2(1-2)=-2$ et on a vu que $f(0)=2$
On en déduit que : $\boxed{T: y= -2x+2}$
3. Voir figure à la fin.

4. L'intégrale demandée vaut :
$\begin{matrix}\mathcal{I}_f=\displaystyle \int_0^1 f(x)dx&=&\displaystyle\int_0^1 2e^x-4x dx&=& 2\left[e^x-x^2\right]_0^1&=&2\left[e-1-(1-0)\right]&=&\boxed{2(e-2)} \end{matrix}$

Partie B

1. Calcul de la dérivée : Pour tout réel $x$ de $[0,1]$ :
$g'(x)=\left[\ln(x+1)\right]'=\dfrac{(x+1)'}{x+1}=\boxed{\dfrac{1}{x+1}}$
Étude de signe :
Puisque pour tout $x$ appartenant à $[0,1]$ , on a $x+1>0$
Donc : $\boxed{g'(x) \text{ est positif sur } [0,1]}$
Tableau de variation :
$\begin{tabvar}{|C|CCCC|}\hline x& 0& &&1\\\hline g'(x)&&+&&\\\hline\niveau{2}{3}g&0&\croit&& \ln 2 \\\hline\end{tabvar}$

2. Voir figure à la fin.

3. a) Pour tout $x$ de $[0,1]$
$\begin{matrix} G'(x)&=&\left[(x+1)\ln (x+1) - (x+1)\right]'&=&(x+1)'\ln(x+1)+(x+1)\ln'(x+1)-1\\&=&\ln (x+1)+(x+1)\dfrac{1}{x+1}-1&=&\ln(x+1)+1-1\\&=&\ln(x+1)&=&\boxed{g(x)}\end{matrix}$
$G$ est donc une primitive de $g$ sur [0 ; 1]

3. b) Le calcul de l'intégrale demandée est :
$\mathcal{I}_g=\displaystyle \int_0^1 g(x) dx = \left[G(x)\right]_0^1=G(1)-G(0)=2\ln 2-2-(\ln 1-1)=2\ln 2-2+1=\boxed{2\ln 2-1 }$

Partie C

Figure :

bac STI arts appliqués, Métropole Juin 2004 - terminale : image 1

Explication : L'aire demandée est le double de l'aire correspondant aux valeurs positives de $x$ (partie délimitée par l'axe des ordonnées, $[PQ], \mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g)$ .
Sur [0 ; 1], le minimum de $f$ est $4-4 \ln2 \, (\approx 1,2)$ et le maximum de $g$ est $\ln2 ~(\approx 0,7)$ . On peut donc en déduire que sur [0 ; 1], $\mathcal{C}_f$ est toujours au dessus de $\mathcal{C}_g$ .
Enfin, 1 u.a = 5 × 5 = 25 cm²
L'aire vaut donc : $\mathcal{A}=2\times 25(I_f-I_g)= 50(2e-4-2\ln2+1)=\boxed{50(2e-2\ln2-3) \approx 52,51\text{ cm}^2}$

Publié par TP/dandave le 03-12-2013

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