Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies Industrielles
Spécialité : Arts appliqués
Métropole - La Réunion - Session Septembre 2004

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 2
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

8 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Parmi les réponses proposées à chaque question ou sous-question, une seule est correcte. Dans chaque cas une seule réponse est attendue : on indiquera seulement sur la copie la réponse exacte (aucune justification n'est demandée). Toutes les questions sont indépendantes. Chaque réponse exacte rapporte un point.

1. Des jetons contenus dans une urne peuvent être de 3 formes (ronds, carrés ou triangulaires) et de 4 couleurs (rouge, bleu, vert ou jaune). Toutes les possibilités de formes et de couleurs sont présentes dans l'urne. Le nombre de jetons différents est :

2. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de l'évènement «tirer une dame ou un cœur» est :

$\dfrac{12}{32}$

$\dfrac{1}{11}$

$\dfrac{11}{32}$

$\dfrac{1}{12}$

3. On considère un repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ du plan. Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique, dans ce repère, de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x +20$ .
Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2 est :

$y = 2x+14$

$y = 3x$

$y = 18$

$y = 3x+12$

4. On considère un repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ du plan. Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique, dans ce repère, de la fonction $f$ définie sur $]2 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{3x- 4}{x - 2}$ . Cette courbe admet comme asymptote la droite d'équation :

$y = 2$

$y=3x-4$

$x=2$

$y=x-2$

5. L'équation $\ln (x + 3) + \ln (x + 5) = \ln 15$ admet pour ensemble de solutions :

$\left\lbrace\dfrac{7}{2}\right\rbrace$

$\left\lbrace0\right\rbrace$

$\left\lbrace0 ; -8\right\rbrace$

$\left\lbrace1 ; \text{e}^{-8}\right\rbrace$

6. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ on considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $25x^2 + 36y^2 - 900 = 0$ .
a) la courbe $\mathcal{C}$ est :

une ellipse

un cercle

une hyperbole

une parabole

b) un de ses foyers F a pour coordonnées dans le repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ :

$\text{F}\left(0 ; \sqrt{11}\right)$

$\text{F}\left(\sqrt{11} ; 0\right)$

$\text{F}\left(0 ; \sqrt{61}\right)$

$\text{F}\left(\sqrt{61} ; 0\right)$

c) un de ses sommets A a pour coordonnées :

A(0 ; 5)

A(5 ; 0)

A(36 ; 0)

A(0 ; 36)

12 points

exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{2x} - 5\text{e}^x + 4$ . On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthogonal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

1. Recopier et compléter le tableau suivant, en donnant pour chaque valeur de $x$ une valeur approchée de $f(x)$ à 10^-1 près.

$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	1,5	2
$f(x)$

2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ . En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ dont on donnera une équation.

3. a) Vérifier que pour tout réel $x$ , $f (x) = \text{e}^{2x}\left(1 - 5\text{e}^{-x} + 4\text{e}^{-2x}\right)$ .
    b) En déduire $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$ .

4. a) On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ , calculer $f'(x)$ et vérifier que pour tout $x$ réel $f'(x) = \text{e}^x\left(2\text{e}^x - 5\right)$
    b) étudier le signe de $f'(x)$ .
    c) Dresser le tableau de variation de $f$ .

5. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^2 - 5X + 4 =$ d'inconnue $X$ .
    b) A l'aide de la question a) et en posant $X= \text{e}^x$ , résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 0$ d'inconnue $x$ .
    c) En déduire les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

6. Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et l'asymptote $D$ dans le repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

7. a) Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ .
    b) Hachurer sur le graphique la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 4$ . On appelle $\mathcal{A}$ cette partie du plan.
    c) On admet que la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[0 ; \ln 4]$ .
Calculer, en cm², la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{A}$ puis une valeur approchée à 10^-2 près.

Voir la correction

exercice 1

1. Réponse correcte est : 12
On a 3 formes de jetons qui peuvent avoir 4 couleurs, donc le nombre de jetons différents est : 3 × 4 = 12.

2. Réponse correcte est : $\dfrac{11}{32}$
Dans un jeu de 32 cartes, il y a 3 dames "non coeurs", 1 dame coeur et 7 coeurs "non dames".
Il y a donc 3 + 1 + 7 = 11 chances sur 32 de tirer un as ou un coeur soit une probabilité de $\dfrac{11}{32}$

3. Réponse correcte est : $y=3x+12$
On sait qu'une équation de la tangente au point d'abscisse 2 s'écrit : $y=f'(2)(x-2)+f(2)$
On a pour tout réel $x$ : $f'(x)=\left(-x^3+6x^2-9x+20\right)'=-3x^2+12x-9$
Donc : $\begin{cases}f(2)=-8+24-18+20=18\\f'(2)=-12+24-9=3\end{cases}$
Cette équation s'écrit donc : $y=f'(2)(x-2)+f(2) \Longleftrightarrow y=3(x-2)+18 \Longleftrightarrow y=3x+12$

4. Réponse correcte est : $x = 2$
On a : $\displaystyle \lim_{x\to2^+}(3x-4)=2~,~\displaystyle \lim_{x\to2^+}(x-2)=0^+~,\text{ donc }\displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x)=+\infty$
Donc $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $x=2$ comme asymptote.

5. Réponse correcte est : $\lbrace 0 \rbrace$
En effet, 0 est manifestement solution puisque $\ln 3 + \ln 5 = \ln(3 \times 5) = \ln 15$
mais -8 ne peut l'être car -8 n'appartient pas à l'ensemble d'étude qui est : $]-3;+\infty[$

6. a) Réponse correcte est : Une ellipse
L'équation donnée est une équation de type $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=1$ qui correspond à une équation d'ellipse :
$25x^2 + 36y^2 - 900 = 0 \Longleftrightarrow 25x^2+36y^2=900 \Longleftrightarrow \dfrac{25}{900}x^2+\dfrac{36}{900}y^2=1$ $\Longleftrightarrow \dfrac{x^2}{\dfrac{900}{25}}+\dfrac{y^2}{\dfrac{900}{36}}=1\Longleftrightarrow \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{25}=1\Longleftrightarrow \dfrac{x^2}{6^2}+\dfrac{y^2}{5^2}=1$

6. b) Réponse correcte est : $F(\sqrt{11},0)$
Puisque $a=6 \text{ et } b=5$ , alors $a>b$ , et dans ce cas, l'axe focal est l'axe des abscisses, et les coordonnées des foyers sont : $F(\sqrt{a^2-b^2},0)$ et $F'(-\sqrt{a^2-b^2},0)$
$\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}$ , donc les foyers sont $F(\sqrt{11},0) \text{ et } F'(-\sqrt{11},0)$

6. c) Réponse correcte est : A(0 ; 5)
Les sommets d'une ellipse dans le cas $a>b$ sont de coordonnées $(a; 0)\text{ , } (-a;0)\text{ , } (0;b) \text{ et }(0;-b)$
Donc les sommets dans notre cas sont : $(6;0)\text{ , } (-6;0)\text{ , } (0;5) \text{ et }(0;-5)$

exercice 2

1. Calcul :

$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	1,5	2
$f(x)$	3,9	3,8	3,3	2,3	0	-2,2	1,7	21,7[

2.On sait que : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0$
On a donc: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{2x}-5e^x+4=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(e^{x})^2-5e^x+4=0-0+4=\boxed{4}$
Interprétation géométrique :
La droite d'équation $y=4$ est asymptote à $\mathcal{C}$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$

3. a) Pour tout réel $x$ :
$e^{2x}\left(1 - 5e^{-x} + 4e^{-2x}\right)=e^{2x}-5e^{-x}e^{2x}+4e^{-2x}e^{2x}=e^{2x}-5e^{-x+2x}+4e^{-2x+2x}=e^{2x}-5e^x+4=\boxed{f(x)}$

3. b) On sait que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0 \text{ et } \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty$
On en déduit : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}e^{2x}\left(1 - 5e^{-x} + 4e^{-2x}\right)=\lim_{x\to+\infty}(e^{x})^2\left(1 - 5e^{-x} + 4(e^{-x})^{2}\right)=+\infty(1-0+0)=\boxed{+\infty}$

4. a) Pour tout réel $x$ :
$f'(x)=\left[e^{2x}-5e^x+4\right]'=2e^{2x}-5e^{x}=\boxed{e^{x}(2e^x-5)}$

4. b) On sait que pour tout réel $x$ , $e^x>0$
Donc le signe de $f'(x)$ et celui de $2e^x-5$
On a : $2e^x-5\leq 0 \Longleftrightarrow 2e^x\leq 5\Longleftrightarrow e^x\leq\dfrac{5}{2} \Longleftrightarrow x\leq \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)$ et $2e^x-5\geq 0 \Longleftrightarrow 2e^x\geq 5\Longleftrightarrow e^x\geq\dfrac{5}{2} \Longleftrightarrow x\geq \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)$
On en déduit que $\boxed{\begin{cases}f'(x) \leq 0 \text{ pour tout } x\in ]-\infty,\ln\left(\dfrac{5}{2}\right) ]\\f'(x) \geq 0 \text{ pour tout } x\in [\ln\left(\dfrac{5}{2}\right) ,+\infty[\end{cases}}$

4. c) Tableau de variations:
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & -\infty & & \ln\left(\dfrac{5}{2}\right) & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & 4 & \decroit & \frac{-9}{4} &\croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$
Remarque : $f\left(\ln\left(\frac{5}{2}\right)\right)=e^{2ln(\frac{5}{2})}-5e^{ln(\frac{5}{2})}+4=(e^{ln(\frac{5}{2})})^2-5e^{ln(\frac{5}{2})}+4=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+4=-\frac{9}{4}$

5. a) Calculons le discriminant $\Delta$ : $\Delta=(-5)^2-4\times 4\times 1=25-16=9>0$
Donc l'équation admet deux solutions : $X_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{9}}{2}=\dfrac{5-3}{2}=1 \text{ et } X_2= \dfrac{-(-5)+\sqrt{9}}{2}=\dfrac{5+3}{2}=4$
L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est donc : $\boxed{S=\lbrace 1,4\rbrace}$

5. b) On a : $e^x=1 \Longleftrightarrow x=\ln 1=0 \text{ et } e^x=4=\Longleftrightarrow x=\ln(4)\approx 1,39$
Donc les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses sont : $\boxed{O(0 ; 0) \text{ et } (\ln (4) ; 0)}$
6.

bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2004 - terminale : image 1

7. a) On sait que $x \mapsto e^x$ a pour primitive elle-même, que $x\mapsto e^{2x}$ a pour primitive $x\mapsto \dfrac{e^{2x}}{2}$ et que $x\mapsto 4$ a pour primitive $x\mapsto 4x$
Donc une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ peut s'écrire : $\boxed{\text{Pour tout }x\text{ de }\mathbb{R},~ F(x)=\dfrac{e^{2x}}{2}-5e^x+4x}$

7. b) Voir graphique ci-dessus.

7. c) Comme $0 < \ln 4$ , comme la fonction est négative sur l'intervalle $[0 ; \ln 4]$ et que $1\text{u.a}=2\times 1=2\text{cm}^{2}$ , alors :
$\mathcal{A} = -2\displaystyle\int_{0}^{\ln 4}f(x)dx \\ \mathcal{A} = -2\left[\dfrac{e^{2x}}{2}-5e^x+4x\right]_{0}^{\ln 4} \\ \mathcal{A} = -2\left[\dfrac{e^{2\ln 4}}{2}-5e^{\ln 4}+4\ln 4 -\left(\dfrac{e^{2\times 0}}{2}-5e^0+4\times 0\right)\right]$
$\mathcal{A} = -2 \left(\dfrac{4^2}{2}-5\times 4+4\ln 4-\dfrac{1}{2}+5-0 \right) \\ \mathcal{A} = -2 \left(8-20-\dfrac{1}{2}+5+4\times \ln 4 \right)$
$\mathcal{A} = 15-8\ln 4 \\ \mathcal{A} \approx \boxed{3,91 \text{ cm}^2}$

Publié par TP/dandave le 21-12-2013

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