Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Juin 2004

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

8 points

exercice 1 - Des résultats expérimentaux

On peut estimer l'âge de très vieux troncs d'arbres de deux façons :
d'une part, en étudiant les anneaux de croissance ;
d'autre part, en mesurant la radioactivité résiduelle du carbone 14.
On a ainsi analysé d'anciens morceaux de séquoias et de pins par les deux méthodes.
Voici le tableau des résultats obtenus :
$t$ , est l'âge, en milliers d'années, donné par la méthode des anneaux de croissance ;
$A_i$ est la radioactivité résiduelle exprimée en unité de radioactivité.

$t_i$	0,5	1	2	3	4	5	6,3	7,8
$A_i$	14,5	13,5	12	10,8	9,9	8,9	8	6,8

1. Recopier et compléter le tableau suivant où $\ln A_i$ , est le logarithme népérien de $A_i$ . On arrondira les valeurs trouvées au centième le plus proche.

$t_i$	0,5	1	2	3	4	5	6,3	7,8
$y_{i} = \ln A_{i}$	2,67							1,92

2. Tracer le nuage de points $M_i\left(t_{i} ; y_i\right)$
On prendra en abscisses : 1 cm pour 500 ans ; en ordonnées : 5 cm pour une unité.

3. a) Déterminer une équation de la droite $D$ passant par le premier et le dernier point de ce nuage.
    b) Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage.
    c) Le point $G$ appartient-il à $D$ ?
    d) Placer $G$ et $D$ sur le dessin précédent.

4. On trouve un autre tronc d'arbre que l'on estime (d'après la méthode des anneaux de croissance) vieux de 5 700 ans.
Donner alors la radioactivité résiduelle qu'on lui trouverait en utilisant la droite $D$ précédente :
    a) graphiquement, en faisant apparaître sur le dessin les traits permettant la lecture du résultat ;
    b) par le calcul, en prenant pour équation de $D : y = -0,1 t + 2,72$ .

12 points

exercice 2 - Des résultats théoriques

Partie A

Les êtres vivants contiennent du carbone 14 radioactif (constamment renouvelé) qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.
À leur mort, ce carbone 14 n'est plus renouvelé ; il est désintégré à une vitesse proportionnelle, à tout instant, au carbone 14 encore présent dans l'organisme. On montre que le coefficient de proportionnalité est voisin de 0,123.
Ainsi, la radioactivité du carbone 14 présent dans un organisme à l'instant $t$ après sa mort ( $t$ exprimé en milliers d'années), notée $f(t)$ , vérifie les deux conditions : $f'(t)=- 0,123f(t)$ et $f(0) = 15,3$ . Résoudre l'équation différentielle $y'= - 0,123 y$ et $y(0) = 15,3$ .

Partie B

On étudie sur $[0 ; +\infty[$ la fonction $f$ définie par $f(t) = 15,3 \text{e}^{-0,123t}$ .

1. a) Calculer la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+\infty$ .
b) En déduire l'existence d'une asymptote (que l'on précisera) à $\mathcal{C}$ courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

2. a) Pour tout nombre $t$ positif, calculer $f'(t)$ , où $f'$ désigne la dérivée de $f$ .
b) Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire les variations de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ .

3. Construire $\mathcal{C}$ en prenant :
2 cm pour 5 milliers d'années en abscisses,
1 cm pour 1 unité en ordonnées.
(On placera les points d'abscisses: 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 et 30).

4. Placer sur le dessin précédent la tangente T à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

Partie C

On considère que la fonction $f$ donnée dans la partie B donne la radioactivité du carbone 14 dans un organisme après sa mort, en fonction de $t$ (en milliers d'années).

1. On trouve dans une grotte des débris d'os présentant une radioactivité égale à 10,2 unités. Estimer l'âge de ces débris à l'aide d'une lecture graphique.

2. Lorsque la radioactivité devient inférieure à 1% de sa valeur initiale, le calcul de $f(t)$ est entaché de trop d'incertitude pour permettre de dater raisonnablement à l'aide du carbone 14. Trouver à partir de quel âge, un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.

Voir la correction

exercice 1 - Des résultats expérimentaux

1. Tableau :

$t_i$	0,5	1	2	3	4	5	6,3	7,8
$y_i=\ln (A_i)$	2,67	2,60	2,48	2,38	2,29	2,19	2,08	1,92

2. Le nuage :

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole juin 2004 - terminale : image 1

3. a) On cherche une équation de la droite $D$ qui passe par les deux points de coordonnées (0,5 ; 2,67) et (7,8 ; 1,92).
Si on note cette équation $D : y=at+b$ , il s'agit donc de trouver la valeur des deux réels $a$ et $b$ . On a :
$\begin{cases}2,67=0,5a+b \\1,92 = 7,8a+b \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}2,67=0,5a+b \\2,67-1,92=0,5a-7,8a+b-b\end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases}2,67=0,5a+b \\0,75=-7,3a\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}b=2,67-0,5\times(-0,103) \\ a=-\dfrac{0,75}{7,3}\approx -0,103\end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases}b\approx 2,72 \\a\approx -0,103\end{cases}$
On en déduit : $\boxed{D: y=-0.103t+2.72}$
3. b) Coordonnées du point $G$ :
$t_G=\dfrac{0,5+1+2+3+4+5+6,3+7,8}{8}=3,7$
$y_G=\dfrac{2,67+2,6+2,48+2,38+2,29+2,19+2,08+1,92}{8} \approx 2,326 \Longrightarrow \boxed{G(3,7 ; 2,326)}$

3. c) On calcule $-0,103t_G+2,72$ et si c'est égal à $y_G$ , alors le point $G$ appartient à $D$ , sinon, on a le cas contraire.
$-0,103t_G + 2,72 = -0,103 \times 3,7 + 2,72 \approx 2,339$
Or $2,339 \neq 2,326$ qui est la valeur de $y_G$ donc :
$\boxed{\text{ G n'appartient pas à D}}$
3. d) Voir figure au-dessus.

4. a) Graphiquement, on obtient l'ordonnée du point appartenant à $D$ et ayant 5,7 pour abscisse par projection (voir figure), toute valeur lue sur la graphique comprise entre 2,1 et 2,2 est acceptable, ici, on a pris 2,14.
On a donc : $\ln A = 2,14 \Longrightarrow A=e^{\ln A} = e^{2,14} \approx \boxed{8,5}$

4. b) On a : $y=-0,1\times 5,7+2,72=2,15$ , et donc : $A=e^y=e^{2,15} \approx \boxed{8,6}$

exercice 2 - Des résultats théoriques

Partie A

On sait que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle donné est : $S = \lbrace y : t \mapsto ke^{-0,123t} /k\in\mathbb{R}\rbrace$
La solution vérifiant la condition $y(0)=15,3$ est telle que $y(0)=15,3=ke^{-0,123\times 0}=ke^0=k\text{ d'où } k=15,3$
La solution recherchée est définie sur $\mathbb{R}$ par : $\boxed{y:t\mapsto 15,3e^{-0,123t}}$

Partie B

1. a) Comme : $\displaystyle \lim_{t\to+\infty}-0,123t=-\infty$
Alors : $\displaystyle \lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{t\to+\infty}15,3e^{-0,123t}=\boxed{0}$

1. b) Interprétation géométrique :
Directement : $\boxed{\text{ La droite d'équation }y=0 \text{ est asymptote à }\mathcal{C}\text{ lorsque } t~ \text{tend vers} +\infty}$

2. a) Soit $t\in[0,+\infty[$
$f'(t)=\left[15,3e^{-0,123t}\right]'=15,3\times(-0,123t)'e^{-0,123t}=15,3\times(-0,123)e^{-0,123t}=\boxed{-1,8819~e^{-0,123t}}$

2. b) On sait que pour tout réel $t$ positif, $e^{-0,123t} >0$ , donc :
$\boxed{\text{ Pour tout réel t positif : } f'(t)<0}$
Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCC|}\hline t& 0 & & +\infty \\\hline f'(t) & &- &\\\hline\niveau{2}{3} f& 15,3 & \decroit& 0\\\hline\end{tabvar}$
$f(0)=15,3e^{0}=15,3$

3. et 4. Pour justifier le tracé de la tangente au point de la courbe d'abscisse 0, on peut calculer $f'(0)=-1,8819$ .
Figure :

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole juin 2004 - terminale : image 2

Partie C

1. On trace la droite d'équation $y = 10,2$ qui rencontre $\mathcal{C}$ en un point dont l'abscisse est l'âge cherché.
On lit environ 3,3 qui correspond à : $\boxed{t \approx 3300 \text{ ans}}$

2. Puisque 1% de la valeur initiale correspond à $0,01\times 15,3=0,153$ , il s'agit de résoudre l'inéquation : $f(t)<0,153$
$f(t)<0,153 \Longleftrightarrow 15,3e^{-0,123t}<0,153 \Longleftrightarrow e^{-0,123t}<\dfrac{0,153}{15,3}\Longleftrightarrow e^{-0,123t}<0,01 \Longleftrightarrow -0,123t<\ln\left(0,01\right)\Longleftrightarrow t>-\dfrac{ln0,01}{0,123}$
Au delà de 37,440 milliers d'années, (soit 37 440 années), l'organisme ne peut plus être daté.

Publié par TP/dandave le 24-01-2014

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