Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Polynésie Française - Session Juin 2004

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

8 points

exercice 1

Une personne possède une cave de 2 400 bouteilles de vin, rouge et blanc, de trois régions, Bordeaux, Bourgogne et Loire.
La moitié de ses vins sont des Bordeaux, et il y a deux fois plus de bouteilles venant de Bourgogne que de bouteilles venant de Loire.
75% des vins sont rouges et, parmi eux. 54% viennent du Bordelais.
Dans les vins de Loire, il y a autant de blancs que de rouges.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

	Bordeaux	Bourgogne	Loire	Total
Blanc
Rouge
Total

2. On prend, au hasard, une bouteille dans cette cave.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
A : «le vin est blanc» ;
B : «le vin vient de Bordeaux»,
puis la probabilité des évènements A $\cap$ B et A $\cup$ B.

3. On choisit une bouteille de vin blanc.
Calculer la probabilité que ce soit un Bordeaux.

4. On choisit une bouteille de Bourgogne.
Calculer la probabilité que ce soit un vin blanc.

12 points

exercice 2

On injecte dans le sang 100 mg d'un médicament A.
Pendant l'élimination naturelle, la dose restant dans le sang à l'instant $t$ est donnée en mg par la fonction $f$ définie par : $f(t) = 100\text{e}^{-0,4t}$ où $t$ est exprimé en heure.

Partie A

Étude de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$

1. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ .

2. Calculer $f'(t)$ et justifier son signe.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ .

4. On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal (unités : 1 cm pour 1 h en abscisse et 1 cm pour 10 mg en ordonnée). Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ au point A d'abscisse 0.

Partie B

On injecte une deuxième dose de 100 mg huit heures après la première.

1. Calculer la dose totale dans le sang juste après cette deuxième injection.

2. La dose restant dans le sang après la deuxième injection est donnée en mg par la fonction $g$ définie sur $[8 ; +\infty[$ par $g(t) =100\text{e}^{-0,4t} \left(1 + \text{e}^{3,2}\right)$ où $t$ est exprimé en heure.
Tracer T et $\mathcal{C}$ sur [0 ; 8] puis la courbe $\mathcal{C}'$ représentative de $g$ sur [8 ; 16].

Partie C

On répondra aux questions suivantes par lecture graphique.
On considère que le médicament est efficace lorsque la dose restant dans le sang est supérieure à 20 mg.

1. Au bout de combien de temps la première injection perd-elle son effet ?

2. Sur quels intervalles de temps le médicament agit-il ?

Correction

exercice 1

	Bordeaux	Bourgogne	Loire	TOTAL
Blanc	228	172	200	600
Rouge	972	628	200	1800
TOTAL	1200	800	400	2400

2.
$P(A)=\dfrac{600}{2400}=\dfrac{1}{4}=\boxed{0,25}$
$P(B)=\dfrac{1}{2}=\boxed{0,5}$
$P(A\cap B)=\dfrac{228}{2400}=\dfrac{19}{200}=\boxed{0,095}$
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,25+0,5-0,095=\boxed{0,655}$

3. $p_1=\dfrac{228}{600}=\dfrac{38}{100}=\boxed{0,38}$

4. $p_2=\dfrac{172}{800}=\dfrac{43}{200}=\boxed{0,215}$

exercice 2

Partie A

$f(t) = 100e^{-0,4t}$
1. On a : $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}e^{-t}=0$ et donc $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}e^{-0,4t}=\lim_{t\to+\infty}\left(e^{-t}\right)^{0,4}=0$
On en déduit : $\boxed{\displaystyle \lim_{t\to+\infty}f(t)=0}$

2. Pour tout réel positif $t$ : $f'(t)=\left[100e^{-0,4t}\right]'=100(-0,4t)'e^{-0,4t}=100\times (-0,4)e^{-0,4t}=\boxed{-40e^{-0,4t}}$
Étude de signe :
On a $e^{-0,4t} >0$ pour tout $t$ de $[0,+\infty[$ , donc $f'(t)<0$ pour tout réel positif $t$ .

3. Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCC|}\hline x& 0 & & +\infty \\\hline f'(x) & &- &\\\hline\niveau{2}{3} f& 100& \decroit& 0\\\hline\end{tabvar}$
Avec : $f(0)=100$

4. Une équation de la tangente au point d'abscisse 0 est: $T:y=f'(0)(x-0)+f(0)$
On a : $\begin{cases} f'(0)=-40e^{0}=-40 \\ f(0)=100\end{cases}$ ,
Donc : $\boxed{T: y=-40x+100}$

Partie B

1. Au bout de 8 heures, il reste de la première injection $f(8)=100e^{-0,4\times 8}=100e^{-3,2}$
La dose totale après la deuxième injection est donc égale à : $100+100e^{-3,2}=100(1+e^{-3,2})\approx \boxed{104\text{ (mg)}}$

2. Figure :

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Polynésie Française juin 2004 - terminale : image 2

Partie C

1. On trace la droite horizontale d'équation $y = 20$ qui coupe $\mathcal{C}$ en un point, l'abscisse de ce dernier correspond au temps recherché :
La première injection perd sont effet au bout de 4 h.

2. On cherche, de la même façon que la question précédente, l'intersection de la droite $y = 20$ mais cette fois avec la courbe $\mathcal{C}'$ , on obtient approximativement 12 h 10 min.
Conclusion :
Les intervalles solutions sont : [0 , 4h] et [8 h , 12 h 10 min]

Publié par TP/dandave le 08-02-2014

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