Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Septembre 2004

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2


La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.


8 points

exercice 1

Afin de mettre en évidence le réchauffement de l'atmosphère (effet de serre), on a mesuré la température moyenne annuelle de la planète.
Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la température (en degrés Celsius) depuis 1974.
Année : x_i1974197819821986199019941998
Température : y_i (en °C)19,1219,7019,622020,6020,8820,92


1. Représenter le nuage de points M_i\left(x_i ;  y_i\right) dans un repère orthogonal.
On prendra pour origine le point (1970 ; 19) et comme unités graphiques :
1 cm pour 2 ans sur l'axe des abscisses
5 cm pour 1 degré sur l'axe des ordonnées.
Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?

2. On désigne par G1 le point moyen des trois premiers points du nuage et par G2 le point moyen des quatre derniers.
    a) Calculer les coordonnées de G1 et de G2 et tracer la droite (G1G2) sur le graphique.
    b) Déterminer une équation de la droite (G1G2).
On considère que cette droite réalise un bon ajustement du nuage.

3. Si la tendance se confirme, déterminer
    a) la température que l'on peut prévoir en 2005, à l'aide d'une lecture graphique ;
    b) par le calcul, en quelle année la température aura dépassé 22°C.


12 points

exercice 2

La désintégration radioactive du Zirconium 95 se fait en deux étapes : formation de Niobium (Nb) puis transformation qui conduit à un isotope stable. On s'intéresse à l'évolution du 95Nb en fonction du temps.
À l'instant t (exprimé en jours), on note N(t) le nombre d'atomes de 95Nb.
On admet que sur l'intervalle [0 ; +\infty [, l'expression de N(t) est :
N(t) = 200\left(\text{e}^{-0,01t} - \text{e}^{-0,02t}\right).
On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction N dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
1 cm pour 10 jours sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

1. Calculer N(0).

2. a) Calculer la limite de N(t) lorsque t tend vers +\infty.
    b) Que peut-on en déduire pour la courbe \mathcal{C} ?

3. a) Montrer que la fonction N' dérivée de N vérifie
N'(t) = 200 \text{e}^{-0,02t}\left(0,02 - 0,01\text{e}^{0,01t}\right).

    b) Résoudre l'équation N'(t) = 0.
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10-1 près de la solution t_0 de cette équation.
    c) Résoudre dans [0 ; +\infty [ l'inéquation N'(t) \ge 0.
En déduire le tableau de variations de la fonction N. Préciser la valeur exacte de N\left(t_{0}\right).

4. Construire la courbe \mathcal{C} sur l'intervalle [0 ; 150].

5. Déterminer graphiquement l'intervalle de temps pour lequel N(t) \ge 40.
(On laissera apparaître sur la figure les constructions utiles).



exercice 1

1. Le nuage :
Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole septembre 2004 - terminale : image 2

Puisque le nuage ne s'écarte pas trop d'une droite, alors : on peut envisager un ajustement affine.

2. a) Concernant le point G_1 :
x_{G_{1}}=\dfrac{1974+1978+1982}{3}=\boxed{1978} \text{ et } y_{G_1}=\dfrac{19.12+19.70+19.62}{3}=\boxed{19.48}

      Concernant le point G_2 :
x_{G_{2}}=\dfrac{1986+1990+1994+1998}{4}=\boxed{1992} \text{ et } y_{G_2}=\dfrac{20+20.6+20.88+20.92}{4}=\boxed{20.6}

Conclusion :
\boxed{G_1(1978;19.48) \text{ et } G_2(1992;20.6)}


2. b) Soit y=mx+p, avec m et p réels à déterminer, l'équation réduite de la droite (G_1G_2) :
\begin{matrix}\begin{cases} G_1\in (G_1G_2)\\G_2\in (G_1G_2)\end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} 19,48=1978m+p \text{ \red (I)}\\ 20,6=1992m+p \text{ \red (II)}\end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} 19,48=1978m+p \text{ \red (I)}\\1.12=14m \text{ \red (II)-(I)}\end{cases}\\&\Longleftrightarrow& \begin{cases} 19,48=1978m+p \\m=\dfrac{1,12}{14}=\boxed{0.08} \end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases}p=19,48-1978m=19,48-1978\times 0,08=\boxed{-138,76}\\m=\boxed{0,08}\end{cases}\end{matrix}
Donc :
\boxed{(G_1G_2): y=0,08x-138,76}


3. a) On trace la droite d'équation x = 2005 qui coupe la droite (G_1G_2) en un point, l'ordonnée de ce dernier représente la température qu'on cherche, donc :
\boxed{T_{2005}=21,65 °C}


3. b) Il faut résoudre l'inéquation : y>22
y>22 \Longleftrightarrow 0,08x-138,76>22 \Longleftrightarrow 0,08x > 138,76+22\Longleftrightarrow 0,08x>160,76\Longleftrightarrow x>\dfrac{160,76}{0,08}\Longleftrightarrow\boxed{x > 2009,5}
La température dépassera 22 °C au cours de l'année 2009.





exercice 2

1. N(0)=200 \left(e^{-0,01\times 0}-e^{-0,02\times 0}\right)=200(1-1)=\boxed{0}

2. a) On sait que : \displaystyle \lim_{t\to+\infty} e^{-t}=\lim_{X\to-\infty} e^{X}=0 donc  \displaystyle \lim_{t\to+\infty} e^{-0.01t}= 0 ainsi que  \displaystyle \lim_{t\to+\infty} e^{-0.02t}= 0
On a alors : \displaystyle \lim_{t\to+\infty} N(t)= \lim_{t\to+\infty}200\left(e^{-0.01t}-e^{-0.02t}\right)=\boxed{0}

2. b) Interprétation géométrique :
Directement :
La courbe \mathcal{C} admet pour asymptote la droite d'équation y=0 (axe des abscisses) lorsque x tend vers +\infty.


3. a) Pour tout réel positif t :
\begin{matrix} N'(t) &=& \left[200\left(e^{-0,01t}-e^{-0,02t}\right)\right]' &=& 200\left(e^{-0,01t}-e^{-0,02t}\right)' \\ &=& 200\left((e^{-0,01t})'-(e^{-0,02t})'\right) &=& 200\left(-0,01e^{-0.01t}+0.02e^{-0,02t}\right)\\ &=& 200e^{-0,02t}\left(-0,01\dfrac{e^{-0,01t}}{e^{-0,02t}}+0,02\right)&=& 200e^{-0,02t}\left(-0,01e^{-0,01t-(-0,02t)}+0,02\right)\\ &=& 200e^{-0,02t}\left(-0,01e^{0,01t}+0,02\right)&=& \boxed{200e^{-0,02t}\left(0,02-0,01e^{0,01t}\right)} \end{matrix}

3. b) On a :
\begin{matrix}N'(t)=0&\Longleftrightarrow& 200e^{-0,02t}\left(0,02-0,01e^{0,01t}\right)=0&\Longleftrightarrow& e^{-0,02t}=0 \text{ ou } 0,02-0,01e^{0,01t}=0 \\ &\Longleftrightarrow& 0,02-0,01e^{0,01t}=0  &\Longleftrightarrow& e^{0,01t}=\dfrac{0,02}{0,01} \\ &\Longleftrightarrow& e^{0,01t}=2&\Longleftrightarrow& 0,01t=\ln 2 \\ &\Longleftrightarrow& t=\dfrac{\ln 2}{0,01} &\Longleftrightarrow& \boxed{t=100\ln 2}\end{matrix}
Valeur approchée : t=100\ln 2\approx 100\times 0,693 = \boxed{69,3}

3. c) On résout de la même façon l'inéquation N'(t)\geq 0 \Longleftrightarrow t\leq 100\ln 2 \text{ de même } N'(t)\leq 0 \Longleftrightarrow t\geq 100\ln 2
On en déduit que : La fonction est croissante sur [0 ,100\ln 2[ et décroissante sur [100\ln 2,+\infty[.
Tableau de variations :
On a N(100\ln 2)= 50 (calcul simple)
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline t                     & 0       &          & 100\ln 2             &        & +\infty   \\ \hline N'(t)                 &  & +        & \barre{0}            & -      &           \\ \hline \niveau{2}{3} N        &0  & \croit &    50       & \decroit &   0 \\ \hline \end{tabvar}


4.
Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole septembre 2004 - terminale : image 1


5. Lecture directe à partir du tracé : Graphiquement, l'intervalle pour lequel N(t)\geq 40 est [32,5 ; 129].
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