Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Septembre 2004

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

8 points

exercice 1

Afin de mettre en évidence le réchauffement de l'atmosphère (effet de serre), on a mesuré la température moyenne annuelle de la planète.
Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la température (en degrés Celsius) depuis 1974.

Année : $x_i$	1974	1978	1982	1986	1990	1994	1998
Température : $y_i$ (en °C)	19,12	19,70	19,62	20	20,60	20,88	20,92

1. Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i ; y_i\right)$ dans un repère orthogonal.
On prendra pour origine le point (1970 ; 19) et comme unités graphiques :
1 cm pour 2 ans sur l'axe des abscisses
5 cm pour 1 degré sur l'axe des ordonnées.
Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?

2. On désigne par G₁ le point moyen des trois premiers points du nuage et par G₂ le point moyen des quatre derniers.
    a) Calculer les coordonnées de G₁ et de G₂ et tracer la droite (G₁G₂) sur le graphique.
    b) Déterminer une équation de la droite (G₁G₂).
On considère que cette droite réalise un bon ajustement du nuage.

3. Si la tendance se confirme, déterminer
    a) la température que l'on peut prévoir en 2005, à l'aide d'une lecture graphique ;
    b) par le calcul, en quelle année la température aura dépassé 22°C.

12 points

exercice 2

La désintégration radioactive du Zirconium 95 se fait en deux étapes : formation de Niobium (Nb) puis transformation qui conduit à un isotope stable. On s'intéresse à l'évolution du ⁹⁵Nb en fonction du temps.
À l'instant $t$ (exprimé en jours), on note $N(t)$ le nombre d'atomes de ⁹⁵Nb.
On admet que sur l'intervalle $[0 ; +\infty [$ , l'expression de $N(t)$ est : $N(t) = 200\left(\text{e}^{-0,01t} - \text{e}^{-0,02t}\right)$ . On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $N$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
1 cm pour 10 jours sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

1. Calculer $N(0)$ .

2. a) Calculer la limite de $N(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ .
    b) Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

3. a) Montrer que la fonction $N'$ dérivée de $N$ vérifie $N'(t) = 200 \text{e}^{-0,02t}\left(0,02 - 0,01\text{e}^{0,01t}\right)$ .
    b) Résoudre l'équation $N'(t) = 0$ .
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^-1 près de la solution $t_0$ de cette équation.
    c) Résoudre dans $[0 ; +\infty [$ l'inéquation $N'(t) \ge 0$ .
En déduire le tableau de variations de la fonction $N$ . Préciser la valeur exacte de $N\left(t_{0}\right)$ .

4. Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle [0 ; 150].

5. Déterminer graphiquement l'intervalle de temps pour lequel $N(t) \ge 40$ .
(On laissera apparaître sur la figure les constructions utiles).

Voir la correction

exercice 1

1. Le nuage :

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole septembre 2004 - terminale : image 2

Puisque le nuage ne s'écarte pas trop d'une droite, alors : on peut envisager un ajustement affine.

2. a) Concernant le point $G_1$ :
$x_{G_{1}}=\dfrac{1974+1978+1982}{3}=\boxed{1978} \text{ et } y_{G_1}=\dfrac{19.12+19.70+19.62}{3}=\boxed{19.48}$
Concernant le point $G_2$ :
$x_{G_{2}}=\dfrac{1986+1990+1994+1998}{4}=\boxed{1992} \text{ et } y_{G_2}=\dfrac{20+20.6+20.88+20.92}{4}=\boxed{20.6}$
Conclusion : $\boxed{G_1(1978;19.48) \text{ et } G_2(1992;20.6)}$

2. b) Soit $y=mx+p$ , avec $m$ et $p$ réels à déterminer, l'équation réduite de la droite $(G_1G_2)$ :
$\begin{matrix}\begin{cases} G_1\in (G_1G_2)\\G_2\in (G_1G_2)\end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} 19,48=1978m+p \text{ \red (I)}\\ 20,6=1992m+p \text{ \red (II)}\end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} 19,48=1978m+p \text{ \red (I)}\\1.12=14m \text{ \red (II)-(I)}\end{cases}\\&\Longleftrightarrow& \begin{cases} 19,48=1978m+p \\m=\dfrac{1,12}{14}=\boxed{0.08} \end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases}p=19,48-1978m=19,48-1978\times 0,08=\boxed{-138,76}\\m=\boxed{0,08}\end{cases}\end{matrix}$
Donc : $\boxed{(G_1G_2): y=0,08x-138,76}$

3. a) On trace la droite d'équation $x = 2005$ qui coupe la droite $(G_1G_2)$ en un point, l'ordonnée de ce dernier représente la température qu'on cherche, donc :
$\boxed{T_{2005}=21,65 °C}$

3. b) Il faut résoudre l'inéquation : $y>22$
$y>22 \Longleftrightarrow 0,08x-138,76>22 \Longleftrightarrow 0,08x > 138,76+22\Longleftrightarrow 0,08x>160,76\Longleftrightarrow x>\dfrac{160,76}{0,08}\Longleftrightarrow\boxed{x > 2009,5}$
La température dépassera 22 °C au cours de l'année 2009.

exercice 2

1. $N(0)=200 \left(e^{-0,01\times 0}-e^{-0,02\times 0}\right)=200(1-1)=\boxed{0}$

2. a) On sait que : $\displaystyle \lim_{t\to+\infty} e^{-t}=\lim_{X\to-\infty} e^{X}=0$ donc $\displaystyle \lim_{t\to+\infty} e^{-0.01t}= 0$ ainsi que $\displaystyle \lim_{t\to+\infty} e^{-0.02t}= 0$
On a alors : $\displaystyle \lim_{t\to+\infty} N(t)= \lim_{t\to+\infty}200\left(e^{-0.01t}-e^{-0.02t}\right)=\boxed{0}$

2. b) Interprétation géométrique :
Directement :
La courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=0$ (axe des abscisses) lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .

3. a) Pour tout réel positif $t$ :
$\begin{matrix} N'(t) &=& \left[200\left(e^{-0,01t}-e^{-0,02t}\right)\right]' &=& 200\left(e^{-0,01t}-e^{-0,02t}\right)' \\ &=& 200\left((e^{-0,01t})'-(e^{-0,02t})'\right) &=& 200\left(-0,01e^{-0.01t}+0.02e^{-0,02t}\right)\\ &=& 200e^{-0,02t}\left(-0,01\dfrac{e^{-0,01t}}{e^{-0,02t}}+0,02\right)&=& 200e^{-0,02t}\left(-0,01e^{-0,01t-(-0,02t)}+0,02\right)\\ &=& 200e^{-0,02t}\left(-0,01e^{0,01t}+0,02\right)&=& \boxed{200e^{-0,02t}\left(0,02-0,01e^{0,01t}\right)} \end{matrix}$

3. b) On a :
$\begin{matrix}N'(t)=0&\Longleftrightarrow& 200e^{-0,02t}\left(0,02-0,01e^{0,01t}\right)=0&\Longleftrightarrow& e^{-0,02t}=0 \text{ ou } 0,02-0,01e^{0,01t}=0 \\ &\Longleftrightarrow& 0,02-0,01e^{0,01t}=0 &\Longleftrightarrow& e^{0,01t}=\dfrac{0,02}{0,01} \\ &\Longleftrightarrow& e^{0,01t}=2&\Longleftrightarrow& 0,01t=\ln 2 \\ &\Longleftrightarrow& t=\dfrac{\ln 2}{0,01} &\Longleftrightarrow& \boxed{t=100\ln 2}\end{matrix}$
Valeur approchée : $t=100\ln 2\approx 100\times 0,693 = \boxed{69,3}$

3. c) On résout de la même façon l'inéquation $N'(t)\geq 0 \Longleftrightarrow t\leq 100\ln 2 \text{ de même } N'(t)\leq 0 \Longleftrightarrow t\geq 100\ln 2$
On en déduit que : La fonction est croissante sur $[0 ,100\ln 2[$ et décroissante sur $[100\ln 2,+\infty[$ .
Tableau de variations :
On a $N(100\ln 2)= 50$ (calcul simple)
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline t & 0 & & 100\ln 2 & & +\infty \\ \hline N'(t) & & + & \barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} N &0 & \croit & 50 & \decroit & 0 \\ \hline \end{tabvar}$

4.

Bac STL Biochimie Génie Biologique, Métropole septembre 2004 - terminale : image 1

5. Lecture directe à partir du tracé : Graphiquement, l'intervalle pour lequel $N(t)\geq 40$ est [32,5 ; 129].

Publié par TP/dandave le 24-11-2013

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