Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Juin 2004
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L'utilisation des calculatrices est autorisée. Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Deux feuilles de papier millimétré sont mises à la disposition du candidat.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures
5 points
exercice 1
Une partie de dé est organisée selon les règles suivantes :
on mise 2 € puis on lance un dé parfaitement équilibré ;
pour la sortie du 6 on reçoit 6 € ;
pour la sortie du 5 on reçoit 2 € ;
pour la sortie du 4 on reçoit 1 €
et dans les autres cas on ne reçoit rien.
On appelle gain d'une partie la différence entre la somme reçue et la mise initiale.
1. On note la variable aléatoire qui à l'issue d'une partie associe le gain.
a) Quelles sont les valeurs prises par ?
b) Établir la loi de probabilité de c) Déterminer l'espérance mathématique E().
2. Un joueur se présente il a en poche 2,50 €.
a) Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue d'une partie ?
b) Déterminer la probabilité qu'il puisse jouer deux parties.
c) On suppose qu'il gagne assez à la première partie pour pouvoir jouer une deuxième partie. Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue des deux parties ?
5 points
exercice 2
1. Résoudre le système suivant d'inconnues complexes et :
On donnera les solutions sous forme algébrique.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonornial d'unité graphique 3 cm.
a) Placer dans le plan les points A, B et C d'affixes respectives , et .
b) Calculer les modules des nombres complexes : et .
Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
c) On note I le milieu du segment [AC]. Préciser l'affixe du point I puis calculer la distance BI.
d) Déterminer l'aire en cm2 du triangle ABC.
10 points
probleme
Partie 1
On considère la fonction définie sur par :
.
1. On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
a) Déterminer la limite de en .
b) On rappelle que : pour tout entier naturel.
En remarquant que , déterminer la limite de en .
En déduire que admet une asymptote dont on donnera une équation.
2. a) Démontrer que pour tout de on a : .
b) Déterminer le signe de puis les variations de .
Dresser le tableau de variations de (on donnera les valeurs exactes de et de ).
3. a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0.
b) Que peut-on dire de la tangente à au point d'abscisse 1 ? et au point d'abscisse 2 ?
4. Reproduire puis compléter le tableau suivant :
-2
-1
0
1
2
2,5
On donnera des valeurs approchées à 10-2 près par défaut.
5. Construire la droite T et la courbe .
Partie 2
1. a) Hachurer sur le dessin la partie du plan comprise entre la courbe , la droite d'équation et les deux axes du repère. On appelle son aire, en cm2.
b) En utilisant la partie 1 montrer que pour tout de l'intervalle [0 ; 1] on a :
.
c) En déduire l'encadrement suivant :
.
d) En utilisant l'encadrement ci-dessus justifier que l'aire est comprise entre 28 et 33 cm2.
2. a) Soit la fonction définie sur par :
.
Montrer que est une primitive de sur .
b) En déduire la valeur exacte de puis la valeur arrondie à l'unité près.
1. c) L'espérance mathématique :
2. a) Le joueur entre en jeu avec 2,50, il mise alors 2 et laisse 0,50 dans sa poche, alors :
Donc, après une partie, il peut rester au joueur : 6,50 ; 2,50 ; 1,50 ou 0,50 (euros)
2. b) Le joueur peut jouer une seconde partie seulement dans les deux premiers cas de probabilité (Sortie du 6 et Sortie de 5), dans les autres cas il n'aura pas assez pour miser puisqu'il ne lui restera que 0,50 ou encore 1,50 (la mise est 2).
Donc :
2. c) Cas 1 : Le joueur possède 6,50 après la 1ère partie.
Il mise pour la seconde partie 2 et laisse 4,50 dans sa poche, les résultats possibles :
Cas 2 : Le joueur possède 2,50 après la 1ère partie.
Il mise pour la seconde partie 2 et laisse 0,50 dans sa poche, les résultats possibles :
Conclusion :
Les sommes possibles après deux parties sont : 10,50 ; 6,50 ; 5,50 ; 4,50 ; 2,50 ; 1,50 ou 0,50 (euros)
exercice 2
1. En notant : , on procède par la différence suivante : , on obtient :
Ensuite, on remplace par sa valeur indifféremment dans ou dans . Utilisons :
Conclusion :
2. a) Voir figure en-dessous.
2. b) Calculons les modules :
Interprétation géométrique : En sachant que , on a : Conclusion :
Le triangle ABC est isocèle en B.
2. c) Puisque est le milieu du segment , on a :
Et on peut calculer la distance qui est :
2. d) Le triangle étant isocèle en , la droite qui est médiane est aussi hauteur de ce triangle, donc l'aire du triangle est égale à:
Puisque l'unité graphique est 3 cm, 1 u.a. = 3 × 3 = 9 cm²
Conclusion :
Figure :
probleme
Partie 1
1. a) On sait que et Alors :
1. b) En sachant que : pour tout n entier naturel, alors : , de plus on sait que Donc : Interprétation géométrique:
admet une asymptote d'équation (axe des abscisses) lorsque tend vers
2. a) Pour tout réel on a :
2. b) On sait que pour tout réel . Donc le signe de est celui de Calcul du discriminent : L'équation admet donc deux solutions: On en déduit le tableau de signes :
Le tableau de variations de la fonction est donc :
Après avoir calculé :
3. a) D'après le cours, une équation de la tangente au point d'abscisse est : On a : et Conclusion :
3. b) Les tangentes au points d'abscisses et sont horizontales car en ces valeurs, la dérivée s'annule.
Les tangentes sont horizontales aux points d'abscisses 1 et 2.
4. Calcul direct :
-2
-1
0
1
2
2,5
2,84
4,78
7
8,15
7,38
9,13
5. Le tracé :
Partie 2
1. a) Voir le tracé.
1. b) D'après le tableau de variations, la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
Donc :
Or on a vu que (d'après tableau de variations) et que (d'après 4.)
On en déduit :
1. c) Comme 0 < 1 d'après le théorème de la positivité, on a donc :
1.d) Puisque l'unité graphique est 2 cm, 1 u.a = 2 × 2 = 4 cm².
On a : , et on déduit:
2. a) Pour tout réel on a :
On en déduit que :
est bien une primitive de la fonction sur
2. b) On a :
Publié par TP/dandave
le
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