Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Juin 2004

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Deux feuilles de papier millimétré sont mises à la disposition du candidat.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures

5 points

exercice 1

Une partie de dé est organisée selon les règles suivantes :
on mise 2 € puis on lance un dé parfaitement équilibré ;
pour la sortie du 6 on reçoit 6 € ;
pour la sortie du 5 on reçoit 2 € ;
pour la sortie du 4 on reçoit 1 €
et dans les autres cas on ne reçoit rien.
On appelle gain d'une partie la différence entre la somme reçue et la mise initiale.

1. On note $X$ la variable aléatoire qui à l'issue d'une partie associe le gain.

    a) Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
    b) Établir la loi de probabilité de $X$
    c) Déterminer l'espérance mathématique E( $X$ ).

2. Un joueur se présente il a en poche 2,50 €.
    a) Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue d'une partie ?
    b) Déterminer la probabilité qu'il puisse jouer deux parties.
    c) On suppose qu'il gagne assez à la première partie pour pouvoir jouer une deuxième partie. Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue des deux parties ?

5 points

exercice 2

1. Résoudre le système suivant d'inconnues complexes $z$ et $z'$ : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} z+\text{i}z'&=&-1 \\ z-z'&=&2+\text{i} \end{array}\right.$ On donnera les solutions sous forme algébrique.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonornial $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 3 cm.
    a) Placer dans le plan les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1$ , $z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = -2 + \text{i}$ .
    b) Calculer les modules des nombres complexes : $z_{\text{B}} - z_{\text{C}}$ et $z_{\text{B}} - z_{\text{A}}$ .
Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
    c) On note I le milieu du segment [AC]. Préciser l'affixe du point I puis calculer la distance BI.
    d) Déterminer l'aire en cm² du triangle ABC.

10 points

probleme

Partie 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \left(x^2 - 5x + 7\right)\text{e}^x$ .

1. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unité graphique 2 cm.
    a) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .
    b) On rappelle que : $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0$ pour tout $n$ entier naturel.
En remarquant que $f(x) = x^2\text{e}^x - 5x\text{e}^x + 7\text{e}^x$ , déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ .
En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.

2. a) Démontrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ on a : $f'(x) = (x^2 - 3x + 2)\text{e}^x$ .
    b) Déterminer le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ (on donnera les valeurs exactes de $f(1)$ et de $f(2)$ ).

3. a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
    b) Que peut-on dire de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 ? et au point d'abscisse 2 ?

4. Reproduire puis compléter le tableau suivant :

$x$	-2	-1	0	1	2	2,5
$f(x)$

On donnera des valeurs approchées à 10^-2 près par défaut.

5. Construire la droite T et la courbe $\mathcal{C}$ .

Partie 2

1. a) Hachurer sur le dessin la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$ , la droite d'équation $x = 1$ et les deux axes du repère. On appelle $\mathcal{A}$ son aire, en cm².
    b) En utilisant la partie 1 montrer que pour tout $x$ de l'intervalle [0 ; 1] on a : $7 \le f(x) \le 3\text{e}$ .
    c) En déduire l'encadrement suivant : $\displaystyle 7 \le \int_0^1 f(x)\:\text{d}x \le 3\text{e}$ .
    d) En utilisant l'encadrement ci-dessus justifier que l'aire $\mathcal{A}$ est comprise entre 28 et 33 cm².

2. a) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \left(x^2 - 7x+ 14\right)\text{e}^x$ . Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    b) En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis la valeur arrondie à l'unité près.

Voir la correction

exercice 1

1. a) On a :
$\begin{cases}\text{ Sortie du 6: gain-mise}=6-2=4 \\ \text{ Sortie du 5: gain-mise}=2-2=0\\\text{ Sortie du 4: gain-mise}=1-2=-1\\\text{ Sortie du 3,2 ou 1: gain-mise}=0-2=-2\end{cases}$
On en déduit : $\boxed{X\in \lbrace -2,-1,0,4\rbrace}$
1. b) La loi de probabilité de $X$ :

$X=x_i$	-2	-1	0	4
$P(X=x_i)$	$\dfrac{3}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

1. c) L'espérance mathématique $E(X)$ :
$E(X)=-2\times \dfrac{3}{6}-1\times \dfrac{1}{6}+0\times \dfrac{1}{6}+4\times \dfrac{1}{6}\\ E(X)=\dfrac{-6}{6}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{6}=-\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{2}=\boxed{-0,5 \text{ (euros)}}$
2. a) Le joueur entre en jeu avec 2,50, il mise alors 2 et laisse 0,50 dans sa poche, alors :
$\begin{cases}\text{ Sortie du 6 : } 2+4(+0,50)=6,50 \\ \text{ Sortie du 5 : } 2 + 0(+0,50)=2,50\\ \text{ Sortie du 4 : } 2-1(+0,50)=1,50\\ \text{ Sortie du 3,2 ou 1 : } 2- 2(+0,50)=0,50\end{cases}$
Donc, après une partie, il peut rester au joueur : 6,50 ; 2,50 ; 1,50 ou 0,50 (euros)

2. b) Le joueur peut jouer une seconde partie seulement dans les deux premiers cas de probabilité (Sortie du 6 et Sortie de 5), dans les autres cas il n'aura pas assez pour miser puisqu'il ne lui restera que 0,50 ou encore 1,50 (la mise est 2).
Donc : $p=\dfrac{2}{6}\Longrightarrow \boxed{p=\dfrac{1}{3}}$
2. c)
Cas 1 : Le joueur possède 6,50 après la 1ère partie.
Il mise pour la seconde partie 2 et laisse 4,50 dans sa poche, les résultats possibles :
$\begin{cases}\text{ Sortie du 6 : } 2+4(+4.50)=10,50 \\ \text{ Sortie du 5 : }2+0(+4.50)=6,50\\ \text{ Sortie du 4 : } 2-1(+4,50)=5,50\\ \text{ Sortie du 3,2 ou 1 : }2-2(+4.50)=4,50 \end{cases}$
Cas 2 : Le joueur possède 2,50 après la 1ère partie.
Il mise pour la seconde partie 2 et laisse 0,50 dans sa poche, les résultats possibles :
$\begin{cases}\text{ Sortie du 6 : } 2+4(+0,50)=6,50 \\ \text{ Sortie du 5 : }2+0(+0,50)=2,50\\ \text{ Sortie du 4 : } 2-1(+0,50)=1,50\\ \text{ Sortie du 3,2 ou 1 : }2-2(+0,50)=0,50\end{cases}$
Conclusion : Les sommes possibles après deux parties sont : 10,50 ; 6,50 ; 5,50 ; 4,50 ; 2,50 ; 1,50 ou 0,50 (euros)

exercice 2

1. En notant : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} z+\text{i}z'&=&-1 \text{ (I)} \\ z-z'&=&2+\text{i (II)} \end{array}\right$ , on procède par la différence suivante : $(I)-(II)$ , on obtient :
$\begin{matrix}z+iz'-(z-z')=-1-(2+i)&\Longleftrightarrow& iz'+z'=-3-i&\Longleftrightarrow& z'(1+i)=-3-i \\ &\Longleftrightarrow& z'=\dfrac{-3-i}{1+i}&\Longleftrightarrow& z'=\dfrac{(-3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}\\ &\Longleftrightarrow& z'=\dfrac{-3+3i-i-1}{2}&\Longleftrightarrow& z'=\dfrac{2(-2+i)}{2}\\ &\Longleftrightarrow&\boxed{z'=-2+i}\end{matrix}$
Ensuite, on remplace $z'$ par sa valeur indifféremment dans $(I)$ ou dans $(II)$ . Utilisons $(I)$ :
$z+iz'=-1\Longleftrightarrow z=-1-iz'\Longleftrightarrow z=-1-i(-2+i) \Longleftrightarrow z=-1+2i+1\Longleftrightarrow \boxed{z=2i}$
Conclusion : $\boxed{\text{ La solution du système est: } S=\lbrace (2i,-2+i)\rbrace}$

2. a) Voir figure en-dessous.

2. b) Calculons les modules :
$|z_B-z_C|=|2i-(-2+i)|=|2i+2-i|=|2+i|=\sqrt{2^2+1^2}=\boxed{\sqrt{5}}$
$|z_B-z_A|=|2i-(-1)|=|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\boxed{\sqrt{5}}$
Interprétation géométrique :
En sachant que $|z_B-z_C|=CB \text{ et } |z_B-z_A|=AB$ , on a : $AB=CB =\sqrt{5}$
Conclusion : Le triangle ABC est isocèle en B.

2. c) Puisque $I$ est le milieu du segment $[AC]$ , on a :
$z_I=\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{-1+(-2+i)}{2}=\dfrac{-1-2+i}{2}=\dfrac{-3+i}{2}=\boxed{-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}i}$
Et on peut calculer la distance $BI$ qui est :
$BI=|z_I-z_B|=|-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}i-2i|=|-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1-4}{2}i|=|-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}i|=\dfrac{3}{2}|-1-i|=\dfrac{3}{2}\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\boxed{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}$

2. d) Le triangle $ABC$ étant isocèle en $B$ , la droite $(BI)$ qui est médiane est aussi hauteur de ce triangle, donc l'aire $\mathcal{A}$ du triangle $ABC$ est égale à:
$\begin{matrix}\mathcal{A}&=&\dfrac{AC\times BI}{2}&=&\dfrac{|z_C-z_A|\times BI}{2}&=&\dfrac{|-2+i+1|\times BI}{2}&=&\dfrac{|-1+i|\times BI}{2}\\&=&\dfrac{\sqrt{(-1)^2+1^2}\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}{2}&=&\dfrac{\sqrt{2}\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}{2}&=&\dfrac{\sqrt{2}\times 3\times \sqrt{2}}{2\times 2}&=&\dfrac{3\sqrt{2}^2}{4}\\&=&\dfrac{3\times 2}{4}&=&\boxed{\dfrac{3}{2} \text{ (u.a)}}\end{matrix}$
Puisque l'unité graphique est 3 cm, 1 u.a. = 3 × 3 = 9 cm²
Conclusion : $\boxed{\mathcal{A}=\dfrac{3}{2}\text{ (u.a)}= \dfrac{27}{2} \text{ cm}^2=13,5\text{ cm}^2}$
Figure :

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole juin 2004 - terminale : image 2

probleme

Partie 1

1. a) On sait que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^2 - 5x + 7=\lim_{x\to+\infty}=x^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty$
Alors : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty} \left(x^2 - 5x + 7\right)e^x=+\infty\times +\infty=\boxed{+\infty}$

1. b) En sachant que : $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0$ pour tout n entier naturel, alors : $\begin{cases} \displaystyle \lim_{x \to - \infty} x^2\text{e}^x = 0 \text{ (Pour n=2)}\\\displaystyle \lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0 \text{ (Pour n=1)}\end{cases}$ , de plus on sait que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^x=0$
Donc : $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)= \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(x^2 - 5x + 7\right)\text{e}^x=\displaystyle \lim_{x\to-\infty} x^2\text{e}^x - 5x\text{e}^x + 7\text{e}^x= 0-5\times 0+7\times 0=\boxed{0}$
Interprétation géométrique:
$\mathcal{C}$ admet une asymptote d'équation $y=0$ (axe des abscisses) lorsque $x$ tend vers $-\infty$

2. a) Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{matrix}f'(x)&=&\left[\left(x^2 - 5x + 7\right)\text{e}^x\right]'&=&\left(x^2 - 5x + 7\right)'e^x+\left(x^2 - 5x + 7\right)(e^x)'\\ &=&(2x-5)e^x+\left(x^2 - 5x + 7\right)\text{e}^x&=&2xe^x-5e^x+x^2e^x-5xe^x+7e^x\\ &=&x^2e^x+(2xe^x-5xe^x)+(7e^x-5e^x)&=&x^2e^x-3xe^x+2e^x \\ &=&\boxed{\left(x^2-3x+2\right)e^x}\end{matrix}$

2. b) On sait que pour tout réel $x \text{ : } e^x>0$ . Donc le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2-3x+2$
Calcul du discriminent : $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 1=9-8=1>0$
L'équation $x^2-3x+2=0$ admet donc deux solutions: $x=\dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\times 1}=1 \text{ et } x=\dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\times 1}=2$
On en déduit le tableau de signes : $\begin{array}{|c|ccccccc|}x &-\infty&&1&&2&&+\infty \\x^2-3x+2&&+&0&-&0&+&\end{array}$
Le tableau de variations de la fonction $f$ est donc :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|} \hline x & -\infty & & 1 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \barre{0} & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & 0 & \croit & 3e & \decroit & e^2 &\croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$
Après avoir calculé : $\begin{cases} f(1)=(1-5+7)e^1=3e\\f(2)=(4-10+7)e^2=e^2\end{cases}$

3. a) D'après le cours, une équation de la tangente $\mathcal{T}$ au point d'abscisse $0$ est : $y=f'(0)(x-0)+f(0)\Longrightarrow y=f'(0)x+f(0)$
On a : $f'(0)=\left(0^2-3\times 0+2\right)e^0=2$ et $f(0)=\left(0^2 - 5\times 0 + 7\right)e^0=7$
Conclusion : $\boxed{\mathcal{T}: y=2x+7}$

3. b) Les tangentes au points d'abscisses $x=1$ et $x=2$ sont horizontales car en ces valeurs, la dérivée s'annule.
Les tangentes sont horizontales aux points d'abscisses 1 et 2.

4. Calcul direct :

$x$	-2	-1	0	1	2	2,5
$f(x)$	2,84	4,78	7	8,15	7,38	9,13

5. Le tracé :

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole juin 2004 - terminale : image 1

Partie 2

1. a) Voir le tracé.
1. b) D'après le tableau de variations, la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
Donc : $f(0)\leq f(x)\leq f(1)$
Or on a vu que $f(1)=3e$ (d'après tableau de variations) et que $f(0)=7$ (d'après 4.)
On en déduit : $\boxed{7\leq f(x)\leq 3e}$

1. c) Comme 0 < 1 d'après le théorème de la positivité, on a donc :
$7\leq f(x)\leq 3e\Longrightarrow \displaystyle \int_{0}^{1}7 dx \leq \int_0^1 f(x) dx\leq \int_0^1 3e dx \Longrightarrow [7x]_0^1\leq \int_0^1 f(x) dx \leq [3ex]_0^1\Longrightarrow \boxed{7\leq \int_0^1 f(x) dx\leq 3e }$

1.d) Puisque l'unité graphique est 2 cm, 1 u.a = 2 × 2 = 4 cm².
$\displaystyle 7\leq \int_0^1 f(x) dx\leq 3e \text{ (u.a)} \Longrightarrow 7\times 4\leq 4\int_0^1 f(x) dx \leq 4\times 3e \text{ (cm}^2\text{)}\Longrightarrow 28 \leq \mathcal{A}\leq 12e \text{ (cm}^2\text{)}$
On a : $12e \approx 32.6\leq 33$ , et on déduit: $\boxed{28 \leq \mathcal{A}\leq 33 \text{ (cm}^2\text{)}}$

2. a) Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{matrix}g'(x)&=&\left[\left(x^2 - 7x+ 14\right)\text{e}^x\right]'&=&\left(x^2 - 7x+ 14\right)'\text{e}^x+\left(x^2 - 7x+ 14\right)(\text{e}^x)'\\ &=&\left(2x-7\right)e^x+\left(x^2 - 7x+ 14\right)\text{e}^x&=&\left(2x-7+x^2-7x+14\right) e^x\\ &=&\left(x^2-5x+7)e^x&=&\boxed{f(x)}\end{matrix}$
On en déduit que : $g$ est bien une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$

2. b) On a : $\displaystyle \mathcal{A}\text{ (cm}^2\text{)}=4\int_0^1 f(x)dx = 4\left[g(x)\right]_0^1=4\left[g(1)-g(0)\right]=4\left[\left(1^2 - 7\times 1+ 14\right)\text{e}^1 -\left(0^2 - 7\times 0+ 14\right)\text{e}^0\right]=4\left[ (1-7+14)e-14\right]=\boxed{32e-56 \text{ (cm}^2\text{)}\approx 31 \text{ (cm}^2\text{)}}$

Publié par TP/dandave le 29-01-2014

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