Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2004

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Deux feuilles de papier millimétré sont mises à la disposition du candidat.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures

5 points

exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 4z\sqrt{3} + 16 = 0$ .

2. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 1 cm.
Soit les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$ ;    $z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}$ et    $z_{\text{C}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ .
    a) Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ .
    b) Construire les points A, B et C.
    c) Calculer $\left|z_{\text{A}} - z_{\text{B}}\right|$ .
    d) Quelle est la nature du triangle OAB ? (justifier la réponse).

3. a) Écrire $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique.
    b) Montrer que C est le milieu du segment [OA].

4. Quelle est la nature du triangle ABC ? (justifier la réponse).

4 points

exercice 2

Une urne contient trois boules : une jaune J, une verte V et une rouge R, indiscernables au toucher.
On tire successivement deux boules dans l'urne, en remettant la première, après avoir noté sa couleur, avant de tirer la deuxième.
On appelle résultat, un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage, et le second élément celle obtenue au second tirage.
Par exemple, le couple (J ; V) est un résultat différent du couple (V ; J).

1. Déterminer l'ensemble des 9 résultats possibles (on pourra s'aider d'un tableau ou d'un arbre).

2. On convient de la règle de jeu suivante, associée au tirage précédent :
    pour chaque boule jaune tirée, le joueur perd 3 €;
    pour chaque boule verte tirée, le joueur gagne 1 €;
    pour chaque boule rouge tirée, le joueur gagne $k$ € (où $k$ est un nombre positif).
On désigne par X la variable aléatoire qui à tout tirage associe le gain (positif ou négatif) du joueur.
Par exemple, pour le tirage (J ; V) le gain est de -2 €.
    a) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
    b) Donner la loi de probabilité de X
    c) Calculer l'espérance E(X) de la variable X en fonction de $k$ .
    d) Quelle valeur faut-il donner à $k$ pour que le jeu soit équitable ?

11 points

probleme

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = - 2x^2 - 1 + \ln x$ .

1. Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$ . Étudier son signe sur $]0 ; +\infty[$ .

2. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0 ; +\infty[$ . (On ne demande pas les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition).

3. En déduire que pour tout $x$ de $]0 ; + \infty[$ , $g(x) < 0$ .

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = -x + 1 - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\ln x}{x}$ . On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

1. a) Calculer la limite de $f$ en 0.
Interpréter graphiquement ce résultat.
    b) Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ .
    c) Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = - x + 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ .
    d) Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\Delta$ sur $]0 ; + \infty[$ .

2. a) Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$ .
    b) Vérifier que pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$ , $f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$ .
    c) Déduire de la Partie A. le tableau de variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ .
    d) Calculer $f(1)$ . En déduire le signe de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ .

3. Dans le plan muni du repère $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ , tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ .

Partie C

1. Vérifier que la fonction $F$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = - \dfrac{1}{2}x^2 + x - \dfrac{1}{4}(\ln x)^2$ est une primitive de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ .

2. Calculer l'intégrale $\displaystyle I = \int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$ . (on donnera la valeur exacte).

3. a) Hachurer sur le graphique la partie $\mathcal{E}$ du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =1$ et $x=\text{e}$ .
b) Déduire de la question 2. de la Partie C la valeur exacte de l'aire $S$ de $\mathcal{E}$ en cm², puis en donner la valeur arrondie en cm², au mm² près.

Voir la correction

exercice 1

1. On calcule le discriminant: $\Delta= (-4\sqrt{3})^2-4\times 16\times 1= 48-64=-16=16i^2=(4i)^2$
On déduit alors les solutions de l'équation: $z_1=\dfrac{-(-4\sqrt{3})-4i}{2}=2\sqrt{3}-2i$ et $z_2=\dfrac{-(-4\sqrt{3})+4i}{2}=2\sqrt{3}+2i$
$\boxed{S=\lbrace 2\sqrt{3}-2i \text{ , } 2\sqrt{3}+2i \rbrace}$

2. a) Le point A :
Module : $|z_A|=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(2)^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=\boxed{4}$
Alors : $z_A=2\sqrt{3}+2i=4\left( \dfrac{2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{2}{4}i\right)=4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=\boxed{4\left( \cos \left(\dfrac{\pi}{6} \right)+i\sin \left(\dfrac{\pi}{6} \right)\right)}$
Conclusion : $\boxed{|z_A|=4 \text{ et } \arg(z_A)=\dfrac{\pi}{6}}$
Le point B :
Module : $|z_B|=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(-2)^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=\boxed{4}$
Alors : $z_B=2\sqrt{3}-2i=4\left( \dfrac{2\sqrt{3}}{4}-\dfrac{2}{4}i\right)=4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)=\boxed{4\left( \cos \left(-\dfrac{\pi}{6} \right) + i\sin \left(-\dfrac{\pi}{6} \right)\right)}$
Conclusion : $\boxed{|z_B|=4 \text{ et } \arg(z_B)=-\dfrac{\pi}{6}}$

2. b) La figure :

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole septembre 2004 - terminale : image 1

2. c) $|z_A-z_B|=|2\sqrt{3}+2i-(2\sqrt{3}-2i)|=|2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+2i+2i|=|4i|=\boxed{4}$

2. d) Puisque $\begin{cases} OA=|z_A-z_O|=|z_A|=4\\OB=|z_B-z_O|=|z_B|=4\\AB=|z_A-z_B|=4\end{cases}$
Alors $OA=OB=AB$ , et on en déduit directement que :
OAB est un triangle équilatéral.

3. a) $z_C = 2e^{i\frac{\pi}{6}}=2\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{6} \right) + i\sin \left(\dfrac{\pi}{6} \right)\right)=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=\boxed{\sqrt{3}+i}$

3. b) On a : $\dfrac{z_A+z_O}{2}=\dfrac{z_A}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}+2i}{2}=\dfrac{2(\sqrt{3}+i)}{2}=\sqrt{3}+i=z_C$
Donc :C est le milieu du segment [OA]

4. $C$ étant le milieu de $[OA]$ , la droite $(BC)$ est la médiane, mais aussi la hauteur issue de $B$ car le triangle $OAB$ est équilatéral.
Donc $(BC)$ est perpendiculaire à $(OA)$ , et donc :
Le triangle ABC est rectangle en C.

exercice 2

1. L'ensemble des résultats possibles est: $\boxed{\lbrace (V,V) \text{ , } (V,J) \text{ , } (V,R) \text{ , } (J,J) \text{ , } (J,V) \text{ , } (J,R) \text{ , } (R,R) \text{ , } (R,V) \text{ , } (R,J) \rbrace}$
2. a) On a :
$\begin{cases} \text{Si } (J,J) \text{ alors } X=-6 \\\text{Si } (J,V) \text{ ou } (V,J) \text{ alors } X=-2 \\\text{Si } (J,R) \text{ ou } (R,J) \text{ alors } X=-3+k \\\text{Si } (V,V) \text{ alors } X=2\\\text{Si } (V,R) \text{ ou } (R,V) \text{ alors } X=k+1\\\text{Si } (R,R) \text{ alors } X=2k\end{cases}$
Conclusion : $\boxed{X\in\lbrace -6;-2,2,k-3,k+1,2k\rbrace}$

2. b) La loi :

$X=x_i$	$-6$	$-2$	$2$	$k-3$	$k+1$	$2k$
$P\left(X=x_i\right)$	$\dfrac{1}{9}$	$\dfrac{2}{9}$	$\dfrac{1}{9}$	$\dfrac{2}{9}$	$\dfrac{2}{9}$	$\dfrac{1}{9}$

2. c) L'espérance de la variable $X$ est :
$\begin{matrix}E(X)&=&-6\times\dfrac{1}{9}-2\times \dfrac{2}{9} +2\times\dfrac{1}{9}+(k-3)\times\dfrac{2}{9}+(k+1)\times\dfrac{2}{9}+2k\times\dfrac{1}{9}\\&=&\dfrac{-6-4+2+2(k-3)+2(k+1)+2k}{9}\\&=&\dfrac{-12+6k}{9}\\&=&\dfrac{-4+2k}{3}\\&=&\boxed{\dfrac{2}{3}(k-2)}\end{matrix}$
2. d) Le jeu est équitable pour une espérance nulle :
$\begin{matrix}E(x)=0&\Longleftrightarrow& \dfrac{2}{3}(k-2)=0 &\Longleftrightarrow& k-2=0 &\Longleftrightarrow& \boxed{k=2}\end{matrix}$

probleme

Partie A

On a : $\forall x\in ]0,+\infty[ \text{ : } g(x) =-2x^2-1+\ln x$

1. Calcul de la dérivée, soit $x$ de $]0,+\infty[$ :
$g'(x)=\left(-2x^2-1+\ln x\right)'=(-2x^2-1)'+(\ln x)'=-4x+\dfrac{1}{x}=\boxed{\dfrac{-4x^2+1}{x}}$
Etude de signe :
Puisque $x\in]0,+\infty[$ , alors le signe de $g'(x)$ est celui de $-4x^2+1$
On a : $-4x^2+1=1-4x^2=1-2^2x^2=1-(2x)^2=(1-2x)(1+2x)$
Puisque $x$ est de $]0,+\infty[$ , donc: $x>0\Longrightarrow 2x>0 \Longrightarrow 1+2x>1>0$
On en déduit que le signe de $4x^2+1$ (et donc de $g'(x)$ ) est celui de $1-2x$
Tableau de signes :
$\begin{array}{|c||ccccc|}x &0&&\dfrac{1}{2}&&+\infty \\-2x+1& &+&0&-&\\g'(x)& &+&0&-&\end{array}$
$\boxed{\text{Pour tout } x \in ]0,\dfrac{1}{2}] \text{ : }g'(x)\geq 0 \text{ et pour tout } x\in[\dfrac{1}{2},+\infty[ \text{ : }g'(x)\leq 0}$

2. On a directement le tableau de variations :
On a : $g\left(\dfrac{1}{2} \right) = - \dfrac{2}{4}-1+\ln \left(\dfrac{1}{2} \right) = -\dfrac{1}{2}-1-\ln(2)=-\dfrac{3}{2}-\ln(2)=-\left(\dfrac{3}{2}+\ln 2\right)$
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & \dfrac{1}{2} & & +\infty \\ \hline g'(x) & \dbarre & + & \barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} g & & \croit & -\left(\dfrac{3}{2}+\ln 2\right) & \decroit & \\ \hline \end{tabvar}$

3. D'après le tableau de variations ci-dessus, la valeur maximale de la fonction $g$ est $-\left(\dfrac{3}{2}+\ln 2\right) <0$
Alors, pour tout $x$ de $]0,+\infty[\text{ : } g(x)\leq -\left(\dfrac{3}{2}+\ln 2\right) <0$
Donc : $\boxed{\forall x\in ]0,+\infty[ \text{ : } g(x)< 0}$

Partie B

On a : $\forall x\in ]0 +\infty[ \text{ : } f(x) = -x + 1 - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\ln x}{x}$

1. a) On sait que : $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\ln x}{x}=-\infty$ et que $\displaystyle \lim_{x\to 0} -x+1=1$
On en déduit que: $\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to 0} -x + 1 - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\ln x}{x}= 1-\dfrac{1}{2}\times (-\infty)=1+\infty=\boxed{+\infty}$
Interprétation géométrique : La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote à $\mathcal{C}$ .

1. b) On a $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} -x+1=-\infty$
On en déduit que : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to +\infty} -x + 1 - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\ln x}{x}= -\infty-\dfrac{1}{2}\times 0=\boxed{-\infty}$

1. c) On a $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)-y=\displaystyle \lim_{x\to +\infty} -x + 1 - \dfrac{\ln x}{2x}-(-x+1)= \displaystyle \lim_{x\to +\infty}- \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\ln x}{x}=\boxed{0}$
La droite $\Delta$ d'équation $y = -x + 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$ .

1. d) Soit $x$ un réel strictement positif, on sait que : $f(x)-y=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{-\ln x}{2x}$ .
$x$ étant positif, le signe de $f(x)-y$ est celui de $-\ln x$ .
On sait que pour $x$ appartenant à ]0 ; 1], on a $\ln x \leq 0$ et que pour $x$ de $[1 ; +\infty[$ on a $\ln x \geq 0$ .
Donc, pour $x$ appartenant à ]0 ; 1], on a $-\ln x \geq 0$ et que pour $x$ de $[1 ; +\infty[$ on a $-\ln x \leq 0$ .
Ce qui veut dire que : pour $x$ appartenant à ]0 ; 1], on a $f(x)-y \geq 0$ et que pour $x$ de $[1,+\infty[$ on a $f(x)-y \leq 0$
Interprétation géométrique :
$\boxed{\begin{matrix} \mathcal{C} \text{ est en-dessus de } \Delta \text{ dans l'intervalle } ]0,1]\\ \text{et }\mathcal{C} \text{ est en-dessous de } \Delta \text{ dans l'intervalle } [1,+\infty[ \\ \text{ avec intersection au point } I(1,f(1))\text{ , c'est-à-dire au point } I(1,0) \end{matrix}}$

2. a) Soit $x$ un réel strictement positif, on a :
$f'(x)=\left[-x + 1 - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\ln x}{x}\right]'=(-x+1)'-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)'=-1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x(\ln x)'-\ln x(x)'}{x^2}\right)=-1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x\dfrac{1}{x}-\ln x}{x^2}\right)=\boxed{-1-\dfrac{1-\ln x}{2x^2}}$

2. b) Soit $x$ un réel strictement positif, on a :
$f'(x)=-1-\dfrac{1-\ln x}{2x^2}=\dfrac{-2x^2-(1-\ln x)}{2x^2}=\dfrac{-2x^2-1+\ln x)}{2x^2}=\boxed{\dfrac{g(x)}{2x^2}}$

2. c) Puisque le dénominateur de $f'(x)$ est toujours positif, alors son signe est celui du nominateur $g(x)$ , or, on a vu dans la Partie A que $g(x)<0$ dans $]0,+\infty[$ , il en est donc de même pour $f'(x)$ .
Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x & 0 & & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre && - & \\ \hline \niveau{2}{3} f & \dbarre&+\infty & \decroit & -\infty \\ \hline \end{tabvar}$

2. d) On avait vu dans la question 1. d) que $f(1)=0$ (que l'on peut rajouter dans le tableau précédent).
Et puisque la fonction est strictement décroissante de $+\infty$ vers $-\infty$ , alors :
$\boxed{\text{ f est positive dans l'intervalle } ]0,1] \text{ et négative dans } [1,+\infty[}$

3. La courbe représentative :

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole septembre 2004 - terminale : image 2

Partie C

1. Les fonctions $f$ et $F$ sont définies toutes deux sur $]0; +\infty[$ .
$F'(x) = \left[- \dfrac{1}{2}x^2 + x - \dfrac{1}{4}(\ln x)^2\right]'=\left(- \dfrac{1}{2}x^2 + x\right)'-\left( \dfrac{1}{4}(\ln x)^2\right)'=-x+1-\dfrac{2}{4}(\ln x)'(\ln x)=-x+1-\dfrac{1}{2}\dfrac{\ln x}{x}=\boxed{f(x)}$
Donc : $F$ est une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$ .

2. $\displaystyle\int_1^e f(x)dx=\left[F(x)\right]_1^e=\left[- \dfrac{1}{2}x^2 + x - \dfrac{1}{4}(\ln x)^2\right]_1^e= - \dfrac{1}{2}e^2 + e - \dfrac{1}{4}(\ln e)^2 -\left(- \dfrac{1}{2} + 1 - \dfrac{1}{4}(\ln 1)^2\right)=- \dfrac{1}{2}e^2 + e - \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=\boxed{ -\dfrac{1}{2}e^2 + e - \dfrac{3}{4}}$

3. a) Voir la courbe représentative ci-dessus.

3. b) L'intégrale est l'aire algébrique ; en sachant que $\mathcal{C}$ est en-dessous de l'axe des abscisses (parce que $f$ est négative sur $[1,e]$ ), l'aire recherchée correspond à $-\displaystyle\int_1^e f(x)dx$ (u.a)
Pour avoir cette aire en cm², on sait que 1 u.a = 1 × 2 = 2 cm²
$\mathcal{A}=-2\displaystyle\int_1^e f(x)dx=-2\left( -\dfrac{1}{2}e^2 + e - \dfrac{3}{4}\right)=e^2-2e+\dfrac{3}{2} \text{ cm}^2$ qui est la valeur exacte. La valeur arrondie au cm² est donc 3 cm² et la valeur approchée au mm² est 3,45 cm² .

Publié par TP/dandave le 11-01-2014

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