Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Juin 2004

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.

5 points

exercice 1

L'iode 131 est un produit radioactif. Tout échantillon d'iode 131 a sa masse qui diminue régulièrement par désintégration.

1. Dans un premier livre de physique, on lit que la masse de tout échantillon d'iode 131 diminue de 8,3% chaque jour.
On dispose d'un échantillon de masse initiale M₀ = 100 g.
    a) Calculer, arrondie au dixième, la masse M₁ de l'échantillon au bout d'une journée puis sa masse M₂ au bout de deux jours.
    b) On note $M_n$ la masse de l'échantillon au bout de $n$ jours. Démontrer que la suite $\left(M_n\right)$ est une suite géométrique.
    c) Calculer la masse M $_{10}$ de l'échantillon au bout de 10 jours, arrondie au dixième.

2. Dans un second livre de physique, on lit que la masse de tout échantillon d'iode 131 est une fonction du temps, $M : t \longmapsto M(t)$ qui est solution de l'équation différentielle : $M'(t) = \lambda \cdot M(t)\qquad (\text{E})$ où $t$ est le temps exprimé en jours et $\lambda$ une constante réelle.
    a) Résoudre l'équation (E).
    b) Sachant que lorsque $t = 0$ , la masse de l'échantillon est de 100 g, exprimer $M(t)$ en fonction de $t$ et de $\lambda$ .
    c) Calculer $M(1)$ en fonction de $\lambda$ . Pour quelle valeur de $\lambda$ a-t-on $M(1)$ = 91,7 ?
On donnera une valeur approchée de $\lambda$ arrondie au dix-millième.

5 points

exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ (unite graphique : 1 cm).
i désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$ .
À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan complexe, on fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'= (1 + \text{i})z - 2\text{i}$ .

1. Déterminer le nombre complexe $z$ tel que $z'= z$ .

2. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} =2$ et $z_{\text{B}} = - 1 + 3\text{i}$ .
    a) Déterminer les affixes des points A' et B'. Que peut-on dire du point A' ?
    b) Placer les points A, B et B' dans le repère $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .
    c) Démontrer que le triangle ABB' est un triangle rectangle et isocèle.

3. a) Vérifier l'égalité : $\left|z'\right| = \sqrt{2} \times | z - (1 + \text{i})|$ .
    b) Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = 1 + \text{i}$ .
Interpréter géométriquement $|z|$ et $|z- (1 + \text{i})|$ .
    c) Déduire des questions précédentes l'ensemble (D) des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z'| = \sqrt{2} \times |z|$ et tracer (D) dans le repère précédent.

10 points

probleme

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = 2x+1 + \dfrac{1}{\text{e}^x - 1}$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées).

1. Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $0$ , $x$ réel positif.
En déduire que $\mathcal{C}$ possède une asymptote dont on précisera l'équation.

2. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ .
Montrer que la droite D d'équation $y = 2x + 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$ .
Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite D.

3. a) Calculer, pour tout $x$ réel strictement positif, le nombre dérivé $f'(x)$ .
Montrer que, pour tout $x$ réel strictement positif, $f'(x) = 2 \dfrac{\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\text{e}^x - 2 \right)}{\left(\text{e}^x - 1\right)^2 }$ .
b) Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$ .
En déduire le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.

4. Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et ses asymptotes.

5. a) Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que pour tout $x > 0$ , $f(x) = ax + b + \dfrac{c\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}$ .
b) Hachurer la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$ .
Déterminer l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.

Voir la correction

exercice 1

1. a) On a :
$M_1=M_0 \left(1 - \dfrac{8,3}{100} \right) = M_0(1 - 0,083) = 0,917M_0 = 0,917 \times 100 = \boxed{91,7 \text{ (g)}}$
$M_2 = M_1 \left(1 - \dfrac{8,3}{100} \right) = 0,917 M_1 = 0,917 \times 91,7 \approx \boxed{84,1 \text{ (g)}}$

1. b) Pour tout $n$ entier naturel, $M_{n+1}=M_n-\dfrac{8,3}{100}M_n= \left(1 - \dfrac{8,3}{100} \right)M_n = 0,917M_n$
La suite $(M_n)$ est donc une suite géométrique de raison 0,917.
Son premier terme est $M_0=100$ , on obtient donc $M_n= 0,917^nM_0=\boxed{100(0,917)^n}$
$(M_n)$ est la suite géométrique de raison 0,917 et de premier terme 100.

1. c) En remplaçant directement $n$ par 10 dans l'expression trouvée dans 1. b) : $M_{10}=100 \times 0,917^{10} \approx \boxed{42,0 \text{ (g)}}$

2. a) D'après le cours, l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est : $\boxed{S=\lbrace M:t\mapsto Ke^{\lambda t} \text{ tels que : } K\in\mathbb{R}\rbrace}$

2. b) On a $M(t)=Ke^{\lambda t}$ avec $M(0)=100 \text{ (g)}$
Et puisque $M(0)=Ke^{\lambda \times 0}=K$ , donc $K=100$ et on déduit alors que : $\boxed{M(t)=100e^{\lambda t}}$

2. c) Directement : $M(1)=100e^{\lambda \times 1}=\boxed{100e^\lambda}$
Maintenant en sachant que $M(1)=91.7$ , on peut retrouver $\lambda$ , il suffit de résoudre l'équation $100e^\lambda = 91,7$
$100e^\lambda=91,7 \Longleftrightarrow e^{\lambda}=\dfrac{91,7}{100}} \Longleftrightarrow e^\lambda = 0,917 \Longleftrightarrow \ln(e^\lambda)=\ln(0,917) \Longleftrightarrow \boxed{\lambda\approx -0,0866}$

exercice 2

1. Il s'agit de déterminer le complexe $z$ vérifiant $z'=z$ , on a :
$z'=z\Longleftrightarrow (1+i)z-2i=z\Longleftrightarrow (1+i)z-z=2i\Longleftrightarrow iz=2i\Longleftrightarrow \boxed{z=2}$

2. a)
L'affixe de A' : Puisque $z_A=2$ , alors pas la peine de calculer car d'après la question précédente, $z_{A'}=z_A$ et donc $\boxed{z_A'=2}$
L'affixe de B' : $z_{B'}=(1+i)z_B-2i=(1+i)(-1+3i)-2i=-1+3i-i-3-2i=-4$ , donc $\boxed{z_{B'}=-4}$
On peut dire que : Le point A' (ou encore A) est invariant par la transformation définie par la relation $z'=(1+i)z-2i$

2. b) Voir la figure en-dessous.

2. c) Calculons $AB, \,BB'$ et $AB'$
On a : $\begin{cases} AB=|z_B-z_A|=|-1+3i-2|=|-3+3i|=3|-1+i|=3\sqrt{(-1)^2+1^2}=3\sqrt{2}\\ BB'=|z_{B'}-z_B|=|-4-(-1+3i)|=|-4+1-3i|=|-3-3i|=3|-(1+i)|=3|1+i|=3\sqrt{1^2+1^2}=3\sqrt{2} \\ AB'=|z_{B'}-z_A|=|-4-2|=|-6|=6\end{cases}$
On en déduit que :
$AB=BB'=3\sqrt{2}$ , donc ABB' est un triangle isocèle en B.
$AB^2+BB'^2=2AB^2=2\times(3\sqrt{2})^2=2\times 18=36=6^2=AB'^2$ , donc ABB' est un triangle rectangle en B (Pythagore réciproque).
Conclusion : ABB' est un triangle rectangle isocèle en B

3. a) On a :
$\begin{matrix}|z'|&=&|(1+i)z - 2i|&=&\left|(1+i)\left[ z-\dfrac{2i}{1+i}\right]\right|&=&|1+i|\left|z-\dfrac{2i}{1+i}\right|&=&\sqrt{1^2+1^2}\left|z-\dfrac{(2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}\right|\\&=&\sqrt{2}\left|z-\dfrac{(2i)(1-i)}{1^2-i^2}\right|&=&\sqrt{2}\left|z-\dfrac{(2i)(1-i)}{2}\right|&=&\sqrt{2}|z-i(1-i)|&=&\sqrt{2}|z-i-1|\\&=&\boxed{\sqrt{2}|z-(i+1)|}\end{matrix}$

3. b) On sait que l'affixe de M est $z$ et que l'affixe de O est 0, on a donc : $OM =|z-0|=|z|$
$\boxed{|z| \text{ représente géométriquement la distance } OM: OM=|z|}$
On sait que l'affixe de M est $z$ et que l'affixe de C est $1+i$ , on a donc : $CM =|z-z_C|=|z-(1+i)|$
$\boxed{|z-(1+i)| \text{ représente géométriquement la distance } CM: CM=|z-(1+i)|}$

3. c) On cherche l'ensemble $(D)$ des points M d'affixe $z$ vérifiant : $|z'|=\sqrt{2}|z|$
D'après 3. a), $|z'|=\sqrt{2}|z-(i+1)|$
On en déduit que $|z'|=\sqrt{2}|z|\Longleftrightarrow \sqrt{2}|z-(i+1)|=\sqrt{2}|z|\Longleftrightarrow |z-(i+1)|=|z|\Longleftrightarrow \boxed{CM=OM }$
Conclusion : $(D)$ est la médiatrice du segment [OC]
Figure :

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Juin 2004 : image 1

probleme

1. Quand $x$ tend vers 0 par valeurs supérieures, $x>0$ donc $e^x>1$ et $e^x-1>0.$
$\displaystyle \lim_{x\to 0}e^x-1=0+\text{ donc }\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{1}{e^x-1}=+\infty$ .
Or $\displaystyle \lim_{x\to 0}=2x+1=1$
Donc : $\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0}2x+1+\dfrac{1}{e^x-1}=1+\infty=\boxed{+\infty}$
On en déduit que : La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote à $\mathcal{C}$

2. On sait que : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^x=+\infty$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{e^x-1} = 0$
D'autre part $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}2x-1=+\infty$ .
On en déduit que : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty} 2x+1+\dfrac{1}{e^x-1}=+\infty+0=\boxed{+\infty}$

Montrons que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x + 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$ :
$f(x)-y= 2x+1+\dfrac{1}{e^x-1}-(2x+1)=\dfrac{1}{e^x-1}$
Et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)-y=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^x-1}=0$

Conclusion : La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x + 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$

Étude de la position relative de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{D}$
Il suffit pour cela d'étudier le signe de la différence $f(x)-y$ calculée précédemment.
Pour tout $x>0~,~e^x>1\text{ donc }e^x-1>0 \text{ et } \dfrac{1}{e^x-1}>0 \text{ soit } f(x)-y>0 \text{ ou encore } f(x)>y$
Conclusion : La courbe $\mathcal{C}$ est toujours au dessus de la droite $\mathcal{D}$

3. a) Pour tout $x$ appartenant à $]0,+\infty[$ :
$\begin{matrix} f'(x)&=&\left(2x+1+\dfrac{1}{e^x-1}\right)'&=&(2x+1)'+\left(\dfrac{1}{e^x-1}\right)'&=&2-\dfrac{(e^x-1)'}{(e^x-1)^2}&=&\boxed{2-\dfrac{e^x}{(e^x-1)^2}}\end{matrix}$
Retrouvons à présent l'expression demandée. Pour tout $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$ :
$f'(x)=2-\dfrac{e^x}{(e^x-1)^2}=\dfrac{2(e^x-1)^2-e^x}{(e^x-1)^2}=\dfrac{2(e^{2x}-2e^x+1)-e^x}{(e^x-1)^2}=\dfrac{2e^{2x}-4e^x+2-e^x}{(e^x-1)^2}=\dfrac{2e^{2x}-5e^x+2}{(e^x-1)^2}$
Or, pour tout réel $x$ strictement positif : $2\left(e^x-\dfrac{1}{2}\right)(e^x-2)=2[e^{2x}-2e^x-\dfrac{1}{2}e^x+1]=2e^{2x}-4e^x-e^x+2=\boxed{2e^{2x}-5e^x+2}$
On en déduit que pour tout $x$ de $]0,+\infty[$ : $\boxed{f'(x) = 2 \dfrac{\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\text{e}^x - 2 \right)}{\left(\text{e}^x - 1\right)^2 }}$

3. b) A partir de la dernière expression de $f'(x)$ , le dénominateur est positif, donc le signe $f'(x)$ est celui du numérateur $2\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\text{e}^x - 2 \right)$
On a : $e^x-\dfrac{1}{2} >0 \Longleftrightarrow e^x>\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow x> \ln(\dfrac{1}{2}) \Longleftrightarrow x> -\ln(2)$ . Et puisque dans l'exercice $x\in ]0,+\infty[$ , donc pour tout $x\in ]0,+\infty[ \text{ : } e^x-\dfrac{1}{2} >0$
D'autre part : $e^x-2 >0\Longleftrightarrow e^x>2 \Longleftrightarrow x>\ln(2)$ , de même $e^x-2 <0 \Longleftrightarrow x<\ln(2)$
Tableau de signes : $\begin{array}{|c||ccccc|}x &0&&\ln(2)&&+\infty \\e^x-\dfrac{1}{2}& &+&&+& \\e^x-2& &-&0&+&\\f'(x)& &-&0&+&\end{array}$
On en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & \ln(2) & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & +\infty & \decroit & 2\ln(2)+1 & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

4. Voir figure ci-dessous

5. a) On a : $f(x)=2x+1+\dfrac{1}{e^x-1}=2x+\dfrac{e^x-1+1}{e^x-1}=\boxed{2x+\dfrac{e^x}{e^x-1}}$
Par identification on obtient : $\boxed{a=2, b=0 \text{ et } c=1 }$

5. b)

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Juin 2004 : image 2

La fonction $f$ étant positive sur [1 ; 3], l'aire de la partie hachurée est égale à l'intégrale suivante :
$\mathcal{A}=\displaystyle \int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{3} 2x+\dfrac{e^x}{e^x-1} dx = \int_{1}^{3} 2x dx + \int_1^3 \dfrac{(e^x-1)'}{e^x-1} dx=[x^2]_1^3+[\ln|e^x-1|]_1^3 \\ \mathcal{A} =3^2-1+\ln(e^3-1)-\ln(e-1) =\boxed{8+\ln\left(\dfrac{e^3-1}{e-1}\right)~u.a }$

Publié par TP/dandave le 23-12-2013

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