Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2004

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.

5 points

exercice 1

Soit l'équation différentielle (E) : $y'' + 4y = 0$ .

1. Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{8}\right) = 0$ .

2. Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = 2 \cos \left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ .

3. Résoudre l'équation $f(x) = \sqrt{2}$ sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$ .

4. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; \dfrac{3\pi}{8}\right]$ .

5 points

exercice 2

Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ d'unité graphique 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .
Dans P, les points A et B ont pour affixes respectives 8 et 8i.

1. On appelle D l'image de A par la rotation R₁ de centre O et d'angle $-\dfrac{\pi}{3}$ et C l'image de B par la rotation R₂ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ .
    a) Quelles sont les fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ associées respectivement aux rotations R₁ et R₂.
    b) Calculer les affixes des points C et D.

2. a) Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer le cercle $\mathcal{C}$ dans le plan $P$ et représenter les points A, B, C et D.
    b) Quelle est la nature du triangle OCD ?

3. On note $a$ l'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{AD}}$ et $b$ celle du vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$ . Montrer que $b = a\sqrt{3}$ .
En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.

10 points

probleme

Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2 - \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}$ . On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unité graphique 2 cm.

Partie A

1. a) Déterminer les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ puis quand $x$ tend vers $-\infty$ .
b) En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes $D$ et $D'$ dont on donnera les équations.

2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.

3. Soit $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point I(0 ; 1). Déterminer une équation de la droite $T$ .

4. a) Pour tout réel $x$ , on appelle $M$ le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $M'$ celui d'abscisse $-x$ . Démontrer que I(0 ; 1) est le milieu du segment $[M M']$ .
b) Que représente le point I pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

5. Tracer les droites $D, D', T$ et la courbe $\mathcal{C}$ .

Partie B

1. Vérifier que, pour tout réel $x, f(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$ .
En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. $\alpha$ désigne un réel inférieur ou égal à 1.
On appelle $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, en cm², de la partie du plan, ensemble des points $M(x ; y)$ tels que : $\left\lbrace\begin{array}{l c c c l} \alpha&\le&x&\le&1 \\ 0&\le&y&\le&f(x) \end{array}\right.$
    a) Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ .
    b) Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}(0)$ puis sa valeur arrondie au cm².
    c) Calculer $\displaystyle\lim_{\alpha \to - \infty} \mathcal{A}(\alpha)$ .

Correction

exercice 1

1. Rappelons tout d'abord le théorème suivant :

Théorème :

Solution générale de l'équation différentielle de type $y'' + \omega^2 y = 0$
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ , où $\omega$ est un réel donné, est l'ensemble des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par: $\boxed{f(x) = \text{A} \cos(\omega x) + \text{B}\sin(\omega x)}$ , où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles quelconques.
Solution vérifiant des conditions initiales
En plus, la même équation différentielle admet une solution unique $f$ définie dans $\mathbb{R}$ vérifiant des conditions initiales de type: $f(x_0)=a \text{ et } f'(x_0)=b$ où $x_0, a, b \in\mathbb{R}$

Dans l'exercice, il s'agit de donner la solution de l'équation $(E):y''+4y=0$ et vérifiant en plus : $f \left(\dfrac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}$ et $f' \left(\dfrac{\pi}{8} \right)=0$
Puisque dans notre cas $\omega=2$ , la solution générale $f$ de (E) est définie dans $\mathbb{R}$ par: $f(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)$
A l'aide des conditions initiales, on détermine les constantes $A$ et $B$ qui caractérisent la solution unique comme cité dans le théorème, on a:
$f \left(\dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \Longrightarrow A\cos \left(2\dfrac{\pi}{4} \right) + B\sin \left(2\dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \Longrightarrow A\cos \left(\dfrac{\pi}{2} \right) + B\sin \left(\dfrac{\pi}{2} \right) = \sqrt{2} \Longrightarrow A\times 0+B \times 1=\sqrt{2}\Longrightarrow \boxed{B=\sqrt{2}}$
La deuxième condition est sur la dérivée, donc il faut dériver $f$ tout d'abord: $f'(x)=\left[A\cos(2x)+B\sin(2x)\right]'=\left[A\cos(2x)\right]'+\left[B\sin(2x)\right]'=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)$
$f' \left(\dfrac{\pi}{8} \right) = 0 \Longrightarrow -2A\sin \left( 2\dfrac{\pi}{8} \right) + 2B\cos \left(2\dfrac{\pi}{8} \right)=0 \Longrightarrow -2A\sin \left(\dfrac{\pi}{4} \right) + 2B\cos \left(\dfrac{\pi}{4} \right) = 0\Longrightarrow -2A\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2B\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0\Longrightarrow -A\sqrt{2}+B\sqrt{2}=0\\\Longrightarrow A=B \Longrightarrow \boxed{A=\sqrt{2}}$
Il est facile de vérifier que la solution trouvée f définie par $f(x)=\sqrt{2}(\cos(2x)+\sin(2x))$ convient.
La solution $f$ de $(E)$ vérifiant les conditions $f \left(\dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}$ et $f' \left(\dfrac{\pi}{8} \right)=0$ est définie sur $\mathbb{R}$ par:
$\boxed{f(x)=\sqrt{2}(\cos(2x)+\sin(2x))}$

2. Soit $x$ un réel, on a :
$\begin{matrix}2\cos \left(2x-\dfrac{\pi}{4} \right)&=&2\left[ \cos(2x)\cos \left(\dfrac{\pi}{4} \right)+\sin(2x)\sin \left(\dfrac{\pi}{4} \right)\right]&=&2\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x)\right]\\&=&\sqrt{2}\cos(2x)+\sqrt{2}\sin(2x)&=&\sqrt{2}(\cos(2x)+\sin(2x))\\&=&\boxed{f(x)}\end{matrix}$

3. Résolution de l'équation $f(x) = \sqrt{2}$ sur l'intervalle $[0 ,2\pi]$ .
$\begin{matrix}f(x) = \sqrt{2}&\Longleftrightarrow&2\cos \left(2x-\dfrac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\\&\Longleftrightarrow&\cos \left(2x-\dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\&\Longleftrightarrow&\begin{cases}2x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\\\text{ou}\\2x-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4}+2k'\pi\end{cases} \text{ avec }k~\text{et}~k'~\text{dans}~\mathbb{Z}\\&\Longleftrightarrow&\begin{cases}2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\\\text{ou}\\2x=2k'\pi\end{cases} \text{ avec }k~\text{et}~k'~\text{dans}~\mathbb{Z}\\&\Longleftrightarrow&\begin{cases}x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\\text{ou}\\x=k'\pi\end{cases} \text{ avec }k~\text{et}~k'~\text{dans}~\mathbb{Z}\end{matrix}$
Les solutions de cette équation dans l'intervalle $[0,2\pi]$ sont donc: $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi \text{ pour } k\in\lbrace 0,1 \rbrace \text{ et } x=k'\pi \text{ pour } k'\in\lbrace 0,1,2\rbrace$
On en déduit que : $\displaystyle\boxed{S= \left \lbrace 0,\dfrac{\pi}{4}, \pi, \dfrac{5\pi}{4}, 2\pi \right \rbrace}$

4. Rappelons l'expression de la valeur moyenne d'une fonction :

Définition :

Soient $a, b$ deux réels tels que $a<b$ et $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$ . On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ le nombre réel $m$ défini par: $\boxed{m=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_a^b f(x)dx}$

Dans notre cas, l'intervalle est $[0,\dfrac{3\pi}{8}]$ , donc, en notant la valeur moyenne $m$ , on a:
$\begin{matrix}m&=&\dfrac{1}{\frac{3\pi}{8}-0}\displaystyle \int_0^{\frac{3\pi}{8}} f(x)dx&=&\dfrac{8}{3\pi}\displaystyle \int_0^{\frac{3\pi}{8}} 2\cos(2x-\dfrac{\pi}{4})dx&=&\dfrac{8}{3\pi}\left[\sin(2x-\dfrac{\pi}{4})\right]_0^{\frac{3\pi}{8}}\\&=&\dfrac{8}{3\pi}\left[\sin(\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4})-\sin(-\dfrac{\pi}{4})\right]&=&\dfrac{8}{3\pi}\left[\sin(\dfrac{\pi}{2})+\sin(\dfrac{\pi}{4})\right]&=&\boxed{\dfrac{8}{3\pi}\left[1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]}\end{matrix}$

exercice 2

1. a) Rappelons la définition suivante :

Définition :

Rotation de centre $\Omega(\omega)$
Soit $a$ un nombre réel fixé, l'application $R$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: $z' - \omega = (z -\omega )e^{ia}$ est appelé la rotation de centre $\Omega (\omega)$ et d'angle $a$ . Et dans ce cas:
Le point $M'(z')$ s'appelle l'image de $M(z)$ par la rotation $R$
La fonction $\begin{matrix} f&:&\mathbb{C}&\to&\mathbb{C}\\&&z&\mapsto&(z-\omega)e^{ia}+\omega\end{matrix}$ s'appelle la fonction associée à la rotation $R$

On en déduit que les deux fonctions $f_1$ et $f_2$ associées respectivement à $R_1$ et $R_2$ ont pour expressions:
$\begin{cases}f_1(z)=(z-0)e^{-i\dfrac{\pi}{3}}}+0=ze^{-i\dfrac{\pi}{3}}=z \left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{3} \right)+i\sin \left(-\dfrac{\pi}{3} \right)\right) = z \left(\cos \left(\dfrac{\pi}{3} \right) - i\sin \left(\dfrac{\pi}{3} \right) \right)= z \left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\\ f_2(z)=(z-0)e^{i\dfrac{2\pi}{3}}}+0=ze^{i\dfrac{2\pi}{3}} = z \left(\cos \left(\dfrac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left(\dfrac{2\pi}{3} \right) \right) = z \left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\end{cases}$
Donc : $\boxed{\begin{cases} f_1(z)=z \left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ f_2(z)= z \left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\end{cases}}$

1. b) Pour D : Puisque l'affixe de $A$ est $8$ et puisque $D$ est l'image de $A$ par la rotation $R_1$ alors son affixe est : $f_1(8)=8 \left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=\boxed{4-4\sqrt{3}i }$
Pour C : Puisque l'affixe de $B$ est $8i$ et puisque $C$ est l'image de $B$ par la rotation $R_2$ alors son affixe est : $f_2(8i)=8i \left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \boxed{-4\sqrt{3}-4i }$

2. a) Puisque $|8|=|8i|=8$ , donc les points $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $8$ . Si c'est aussi le cas pour $C$ et $D$ , ce cercle sera $\mathcal{C}$
On a : $|4-4\sqrt{3}i|=4|1-\sqrt{3}i|=4\sqrt{1+3}=4\times 2 =8$ et $|-4\sqrt{3}-4i|=4|-\sqrt{3}-i|=4\sqrt{1+3}=4\times 2 =8$
On en déduit : A, B, C et D appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 8.

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Septembre 2004 : image 1

2. b) Comme $OC = OD = 8$ , le triangle $OCD$ est isocèle en $O$ .
$\begin{matrix}\text{On a: }CD^2&=& |z_D - z_C|^2&=& |4-4i\sqrt{3}-(-4\sqrt{3}-4i)|^2\\&=& |4-4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+4i|^2&=&|4(1+\sqrt{3})+4i(1-\sqrt{3})|^2\\&=&[4(1+\sqrt{3})]^2+[4(1-\sqrt{3})]^2&=&16(1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}+3)\\&=&16\times 8&=&128\end{matrix}$
D'autre part : $OC^2+OD^2=2OC^2=2\times 8^2=2\times 64=128$
Donc $OC^2+OD^2=CD^2$ et on déduit d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle $OCD$ est aussi rectangle en $O$ .
Conclusion : Le triangle OCD est rectangle isocèle en O.

Remarque : Les questions 1. et 2. pouvaient également être traitées en gardant la notation exponentielle.

3. On a $a=z_D-z_A=4-4i\sqrt{3}-8=-4-4i\sqrt{3}$
Et $b=z_C-z_B=-4\sqrt{3}-4i-8i=-4\sqrt{3}-12i=\sqrt{3} \left(-4-\dfrac{12}{\sqrt{3}}i \right)=\sqrt{3} \left(-4-\dfrac{12\sqrt{3}}{3}i \right)=\sqrt{3}(-4-4\sqrt{3}i)$
On en déduit donc : $\boxed{b=\sqrt{3}a}$
Le résultat trouvé peut s'écrire de la façon suivante : $\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}\overrightarrow{AD}$ . Ce qui veut dire que les deux vecteurs sont colinéaires et donc $(BC)//(AD)$
Conclusion : ABCD est un trapèze.

probleme

Partie A

1. a) La limite en $+\infty$ :
On a $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^x=+\infty$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{e^x+1}=0$ , on a alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}2-\dfrac{2}{e^x+1}=2-0=\boxed{2}$
La limite en $-\infty$
On a $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^x=0$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \dfrac{1}{e^x+1}=1$ , on a alors $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}2-\dfrac{2}{e^x+1}=2-2=\boxed{0}$

1. b) On déduit de $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2$ que : La droite d'équation $y=2$ est asymptote à la courbe en $+\infty$
De même, on déduit de $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ que : La droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe en $-\infty$

2. Soit $x$ un réel, on a :
$f'(x)=\left[2-\dfrac{2}{e^x+1}\right]'=0-\left(\dfrac{2}{e^x+1}\right)'=-2\left(\dfrac{1}{e^x+1}\right)'=-2\dfrac{-(e^x+1)'}{(e^x+1)^2}=\boxed{2\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}}$
Puisque pour tout réel $x$ on a $e^x>0$ et aussi $(e^x+1)^2>0$ , on déduit que $f'(x)>0$ sur $\mathbb{R}$ .
Ce qui veut dire que : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
D'où le tableau de variations de la fonction $f$ :
$\begin{tabvar}{|C|CCC|}\hline x& -\infty & & +\infty \\\hline f'(x) & &+ &\\\hline\niveau{2}{3} f& 0& \croit& 2\\\hline\end{tabvar}$

3. On sait que une équation de la tangente $T$ au point $I$ d'abscisse $0$ s'écrit : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
On a immédiatement $f(0)=1$ et $f'(0)=2\dfrac{e^0}{(e^0+1)^2}=2\dfrac{1}{(1+1)^2}=\dfrac{1}{2}$
Conclusion : $\boxed{T: y=\dfrac{1}{2}x+1}$

4. a) Puisque $M$ est un point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ alors $M(x,f(x))$ , de même pour $M'$ , donc $M'(-x,f(-x))$
Donc les coordonnées du point milieu de $[MM']$ sont:
$\bullet &\text{ } X=\dfrac{x+(-x)}{2}=\dfrac{x-x}{2}=\boxed{0}$
$\begin{matrix}\bullet \text{ } Y&=&\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}&=&\dfrac{2-\dfrac{2}{e^x+1}+2-\dfrac{2}{e^{-x}+1}}{2}&=&\dfrac{4-2\left(\dfrac{1}{e^x+1}+\dfrac{1}{e^{-x}+1}\right)}{2} \\ &=&2-\left(\dfrac{(e^{-x}+1)+(e^x+1)}{(e^{-x}+1)(e^x+1)}\right)&=&2-\left(\dfrac{e^{-x}+e^x+2}{e^{-x}e^x+e^{-x}+e^x+1}\right)&=&2-\left(\dfrac{e^{-x}+e^x+2}{e^{-x}+e^x+2}\right) \\ &=&2-1&=&\boxed{1}\end{matrix}$

Le point dont les coordonnées sont $X=0$ et $Y=1$ est le point $I(0,1)$
Conclusion : I(0 ; 1) est le milieu du segment [MM']

4. b)

Rappel :

Un point $K$ de coordonnées $(a,b)$ est dit le centre de symétrie d'une courbe représentative d'une fonction $f$ si et seulement si:
Pour tout réel $x$ : $\boxed{f(a+x)+f(a-x)=2b}$

D'après la question précédente, et exactement dans l'expression de l'ordonnée $Y$ , on a pour tout réel $x$ : $f(x)+f(-x)=f(0+x)+f(0-x)=2Y=2\Longrightarrow \boxed{f(0+x)+f(0-x)=2\times 1}$
Conclusion : I(0 ; 1) est le centre de symétrie de $\mathcal{C}$

5.

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Septembre 2004 : image 2

Partie B

1. Soit $x$ un réel, on a:
$f(x)=2-\dfrac{2}{e^x+1}=\dfrac{2(e^x+1)}{e^x+1}-\dfrac{2}{e^x+1}=\dfrac{2(e^x+1)-2}{e^x+1}=\dfrac{2e^x+2-2}{e^x+1}=\boxed{\dfrac{2e^x}{e^x+1}}$
On a donc : $f(x)=2\dfrac{e^x}{e^x+1}=2\dfrac{(e^x+1)'}{e^x+1}$ .
On sait qu'une primitive de $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ est $\ln|u(x)|$ . Ici, $u(x)=e^x+1$ et donc ne prend que des valeurs positives.
Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est définie par $F(x)=2\ln(e^x+1)$

2. a) La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[\alpha;~1]$ avec $\alpha<1.$ De plus, 1 u.a = 2 × 2 = 4 cm².
On a alors : $\mathcal{A}(\alpha)=\displaystyle 4\int_{\alpha}^{1}f(x)dx=4\left[F(x)\right]_{\alpha}^{1}=4[F(1)-F(\alpha)]=8\ln(e+1)-8\ln(e^{\alpha}+1)=\boxed{8\ln\left(\dfrac{e+1}{e^{\alpha}+1}\right) (cm^2)}$

Concusion : $\boxed{\mathcal{A}(\alpha)=8\ln\left(\dfrac{e+1}{e^{\alpha}+1}\right) (cm^2)}$

2. b) $\mathcal{A}(0)=8\ln\left(\dfrac{e+1}{e^{0}+1}\right)=8\ln\left(\dfrac{e+1}{2}\right)(cm^2)$
Conclusion : $\boxed{\mathcal{A}(0)=8\ln\left(\dfrac{e+1}{2}\right)(cm^2)}$
Valeur arrondie : $\boxed{\mathcal{A}(0)\approx 5~ cm^2}$

2. c) En sachant que $\displaystyle \lim_{\alpha\to-\infty}e^{\alpha}=0$ .
Alors $\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty}\mathcal{A}(\alpha)= \lim_{\alpha \to -\infty} 8\ln\left(\dfrac{e+1}{e^{\alpha}+1}\right)=\boxed{8\ln(e+1)}$

Publié par TP/dandave le 07-12-2013

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