Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2004

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7 points

exercice

On désigne par f la fonction définie sur \mathbb{R} par     f(x) = x + a + b\text{e}^{-x}, où a et b sont des réels.
On rappelle que \text{e}^{-x} peut aussi s'écrire \dfrac{1}{\text{e}^{x}}.
La courbe \mathcal{C}, sur la feuille annexe à rendre avec la copie, est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}).
On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.

1. Pour tout nombre réel x, determiner f'(x).

2. Déterminer graphiquement les valeurs de f(0) et f'(0) sachant que ces valeurs sont de nombres entiers.

3. En déduire un système d'équations vérifié par les nombres réels a et b.
Résoudre ce système pour déterminer les nombres réels a et b.
On choisit pour la suite de l'exercice f(x) = x + 3 + \text{e}^{-x}.

4. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers + \infty.

5. Montrer que la droite D d'équation y =  x + 3 est une asymptote à la courbe \mathcal{C} au voisinage de +\infty.

6. On nomme A le point d'abscisse -1 de la courbe \mathcal{C}.
Déterminer une équation dc la tangente T à la courbe \mathcal{C} au point A.

7. Tracer la droite D et la tangente T dans le même repère que la courbe \mathcal{C} sur la feuille annexe que l'on joindra à la copie.
Bac TMD Métropole Juin 2004 - terminale : image 1



13 points

probleme

Soit f la fonction définie sur l'intervalle \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[ par :     f(x) = x^2\left(2\ln x - 3\right), et \mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 1 cm.

Partie A

1. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers + \infty.

2. On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[,~f'(x) = 4x(\ln x - 1).

3. Résoudre dans l'intervalle \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[, l'inéquation \ln x - 1> 0.
En déduire le signe de f'(x) sur l'intervalle \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[.

4. Déterminer les valeurs exactes de f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right),~ f(1),~ f\left(\sqrt{\text{e}}\right) et f(\text{e}).

5. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur cet intervalle.
On portera les valeurs de f(\text{e}) et f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right) et leur valeurs arrondies à 10-2 près.

6. On nomme A le point d'intersection de la courbe \mathcal{C} et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.

7. Tracer la courbe \mathcal{C} dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}).
On fera apparaître le point A et la tangente au point d'abscisse e à la courbe \mathcal{C}.

8. Soit m un nombre réel.
Déterminer graphiquement selon la valeur de m, le nombre de solutions de l'équation f(x) = m.

Partie B

1. Soit F la fonction définie sur l'intervalle \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[ par     F(x) = \dfrac{2}{3}x^3 \ln x - \dfrac{11}{9}x^3.
Montrer que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle \left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[.

2. Calculer l'intégrale \text{I} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x.
En donner la valeur exacte ainsi que la valeur décimale arrondie à 10-2.





exercice

1. Calculons f'(x) pour tout x \in \mathbb{R} :
On a pour tout x \in \mathbb{R} : f'(x)=1+b(-e^{-x})=\boxed{1-be^{-x}}

2. Déterminons f(0) et f'(0) graphiquement :
On peut lire directement sur le graphique : \boxed{f(0)=4}
La courbe \mathcal{C} présente une tangente horizontale au point d' abscisse 0, donc: \boxed{f'(0)=0}

3. Déduisons un système d'équations vérifié par a et b :
On a : f(0)=4, donc, en remplaçant dans l'expression de la fonction, on obtient : 0+a+be^{-0}=4 \Longleftrightarrow \boxed{a+b=4}
De même pour f'(0)=0, on remplace dans l'expression de la dérivée, on trouve : 1-be^{-0}=0 \Longleftrightarrow \boxed{1-b=0}
Ces deux équations trouvées forment le système recherché : \boxed{\begin{cases} a+b=4 \\1-b=0\end{cases}}
Résolvons ce système :
On a : \begin{cases} a+b=4 \\1-b=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=4-b \\b=1\end{cases}\Longleftrightarrow \boxed{\begin{cases} a=3 \\b=1\end{cases}}

4. Déterminons la limite en +\infty :
On a : \displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{x}}=0 et aussi \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x+3=+\infty

On en déduit que : \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x+3+e^{-x}= +\infty

5. Montrons que la droite D d'équation y =  x + 3 est une asymptote à la courbe \mathcal{C} au voisinage de +\infty :

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)-(x+3)=\lim_{x\to +\infty} x+3+e^{-x}-(x+3)=\lim_{x\to +\infty} e^{-x}= 0

La droite D d'équation y=x+3 est asymptote à la courbe \mathcal{C} au voisinage de +\infty


6. Déterminons une équation de la tangente T à la courbe \mathcal{C} au point A(-1,f(-1)) :
Une équation de la tangente à \mathcal{C} au point A d'abscisse -1 est: y=f'(-1)(x+1)+f(-1)
Or, f(-1)=-1+3+e^{-(-1)}=2+e et f'(-1)=1-e^{-(-1)}=1-e
Cette équation devient alors: y=(1-e)(x+1)+2+e \Longleftrightarrow y=(1-e)x+1-e+2+e

 \boxed{T:\,y=(1-e)x+3}


7. Figure:
Bac TMD Métropole Juin 2004 - terminale : image 3




probleme

Partie A

1. Déterminons la limite de la fonction f en +\infty :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^2=+\infty et \displaystyle \lim_{x\to +\infty} 2\ln x - 3= +\infty

Donc :
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty}


2. Montrons que, pour tout nombre réel x \in\left[\dfrac{1}{\text{e}},+ \infty\right[:~f'(x) = 4x(\ln x - 1).
f(x) est de la forme uv (de dérivée u'v+uv')
Pour tout x \in\left[\dfrac{1}{\text{e}},+ \infty\right[ :
\begin{matrix} f'(x)&=&2x\left(2\ln x - 3\right)+x^2\left(\dfrac{2}{x}\right)\\&=&4x\ln(x)-6x+2x\\&=&4x\ln(x)-4x\end{matrix}

\boxed{f'(x)=4x(\ln\,x-1)}


3. Résolvons dans l'intervalle \left[\dfrac{1}{\text{e}},+ \infty\right[ l'inéquation \ln x - 1> 0 :
On a: \ln x - 1> 0\Longleftrightarrow \ln x >1 \Longleftrightarrow x>e

Donc :
\boxed{S=]e,+\infty[}


Déduisons le signe de f'(x) sur l'intervalle \left[\dfrac{1}{\text{e}},+ \infty\right[ :
On a clairement 4x>0 sur \left[\dfrac{1}{e},+\infty\right[ , donc le signe de f'(x) est celui de \ln x - 1
On déduit alors d'après ce qui précède que dans \left[\dfrac{1}{e},+\infty\right[ :

\boxed{ f'(x)\leq 0 \text{ sur } \left[\dfrac{1}{e}, e\right] \text{ et } f'(x)\geq 0 \text{ sur } \left[e, +\infty[}


4. Calculons les images demandées :
f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\left(\dfrac{1}{e}\right)^2\left(2\ln\left(\dfrac{1}{e}\right)-3\right)=\dfrac{1}{e^2}(-2\ln(e)-3)=\dfrac{1}{e^2}(-2-3)=\boxed{-\dfrac{5}{e^2}}
f(1)=1^2(2\ln(1)-3)=2\times 0 -3=\boxed{-3}
f(\sqrt{e})=(\sqrt{e})^2\left(2\ln\sqrt{e}-3\right)=e\left(2\ln(e)^{\frac{1}{2}}-3\right)==e(2\dfrac{1}{2}\ln(e)-3)=e(1-3)=\boxed{-2e}
f(e)=e^2(2\ln(e)-3)=e^2(2-3)=\boxed{-e^2}

5.Dressons le tableau de variation :
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline x& \dfrac{1}{e}&&e&&+\infty\\\hline f'(x)&&-&\barre{0}&+&\\\hline\niveau{2}{3}f&\frac{-5}{e^2}&\decroit&-e^2&\croit& +\infty \\\hline\end{tabvar}

Les valeurs arrondies : f\left(\dfrac{1}{e}\right)\approx -0.68 et f(e)\approx -7.39

6. Déterminons les coordonnées du point A :
Notons tout d'abord les coordonnées du point A : A(x_A,y_A)
A est le point d'intersection de \mathcal{C} et de l'axe des abscisses,équivaut à dire : \begin{cases} y_A=x_A^2(2\ln x_A-3) \\y_A=0\end{cases}
\Longleftrightarrow \begin{cases} x_A^2(2\ln x_A-3)=0 \\y_A=0\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_A^2=0 \text{ ou }2\ln x_A-3=0 \\y_A=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_A=0 \text{ ou } \ln x_A=\dfrac{3}{2} \\y_A=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_A=0 \text{ ou } x_A=e^\frac{3}{2} \\y_A=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_A=0 \text{ ou } x_A=e\sqrt{e} \\y_A=0\end{cases}
On retient le point dont l' abscisse est dans l'intervalle \left[\dfrac{1}{e},+\infty\right[ soit: \boxed{A(e\sqrt{e},0)}

7. Figure :
Bac TMD Métropole Juin 2004 - terminale : image 2


8. Déterminons graphiquement le nombre de solutions :
Le nombre de solutions de l'équation f(x)=m correspond au nombres de points d'intersections de \mathcal{C} avec la droite horizontale d'équation y=m.
Si m<-e^2, la droite d' équation y=m ne coupe pas \mathcal{C}

donc l' équation f(x)=m n' a pas de solutions.

Si m=-e^2, la droite d' équation y=-e^2 est tangente à \mathcal{C} au point d' abscisse e,

donc le nombre de solutions de l'équation f(x)=m est 1

Si -e^2<m\leq -\dfrac{5}{e^2}: la droite d'équation y=m coupe \mathcal{C} en deux points, donc :

le nombre de solutions de l'équation f(x)=m est 2

Si m>-\dfrac{5}{e^2}: la droite d'équation y=m coupe \mathcal{C} en un point, donc :

le nombre de solutions de l'équation f(x)=m est 1


Partie B


1.Montrons que F est une primitive de la fonction f :
Pour tout x \in  \left[\dfrac{1}{\text{e}},+ \infty\right[: F(x) = \dfrac{2}{3}x^3 \ln x - \dfrac{11}{9}x^3; pour montrer que F est une primitive de f, il suffit de montrer que f est la dérivée de F:
\begin{matrix}F'(x)&=&\dfrac{2}{3}\left(3x^2\ln x+x^3\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{11}{9}3x^2\\&=& 2x^2\ln x+\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{11}{3}x^2\\&=&2x^2\ln(x)-\dfrac{9}{3}x^2\\&=&2x^2\ln(x)-3x^2\\&=&x^2(2\ln x-3)\\&=&\boxed{f(x)}\end{matrix}

2. Calculons l'intégrale I :
\begin{matrix}\displaystyle I=\int_{1}^{e} f(x)dx&=&\left[F(x)\right]_1^e\\&=&\left[\dfrac{2}{3}x^3 \ln x - \dfrac{11}{9}x^3\right]_1^e &=& \left(\dfrac{2}{3}e^3 \ln e - \dfrac{11}{9}e^3\right)- \left(\dfrac{2}{3}\times 1^3 \times\ln 1 - \dfrac{11}{9}\times 1^3\right)\\&=&\dfrac{2}{3}e^3-\dfrac{11}{9}e^3+\dfrac{11}{9}&=& \dfrac{6}{9}e^3-\dfrac{11}{9}e^3+\dfrac{11}{9}\\&=&\boxed{\dfrac{11-5e^3}{9} }\end{matrix}

Donnons la valeur décimale arrondie à 10^{-2} : \boxed{I\approx -9.94}
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