Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2004
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7 points
exercice
On désigne par la fonction définie sur par , où et sont des réels.
On rappelle que peut aussi s'écrire .
La courbe , sur la feuille annexe à rendre avec la copie, est la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal .
On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
1. Pour tout nombre réel , determiner .
2. Déterminer graphiquement les valeurs de et sachant que ces valeurs sont de nombres entiers.
3. En déduire un système d'équations vérifié par les nombres réels et .
Résoudre ce système pour déterminer les nombres réels et .
On choisit pour la suite de l'exercice .
4. Déterminer la limite de la fonction quand tend vers .
5. Montrer que la droite D d'équation est une asymptote à la courbe au voisinage de .
6. On nomme A le point d'abscisse -1 de la courbe .
Déterminer une équation dc la tangente T à la courbe au point A.
7. Tracer la droite D et la tangente T dans le même repère que la courbe sur la feuille annexe que l'on joindra à la copie.
13 points
probleme
Soit la fonction définie sur l'intervalle par : , et sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.
Partie A
1. Déterminer la limite de la fonction quand tend vers .
2. On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que, pour tout nombre réel de l'intervalle .
3. Résoudre dans l'intervalle , l'inéquation .
En déduire le signe de sur l'intervalle .
4. Déterminer les valeurs exactes de et .
5. Dresser le tableau de variations de la fonction sur cet intervalle.
On portera les valeurs de et et leur valeurs arrondies à 10-2 près.
6. On nomme A le point d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
7. Tracer la courbe dans le repère .
On fera apparaître le point A et la tangente au point d'abscisse e à la courbe .
8. Soit un nombre réel.
Déterminer graphiquement selon la valeur de , le nombre de solutions de l'équation .
Partie B
1. Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
Montrer que est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
2. Calculer l'intégrale .
En donner la valeur exacte ainsi que la valeur décimale arrondie à 10-2.
2.Déterminons et graphiquement : On peut lire directement sur le graphique : La courbe présente une tangente horizontale au point d' abscisse , donc:
3.Déduisons un système d'équations vérifié paret: On a : , donc, en remplaçant dans l'expression de la fonction, on obtient : De même pour , on remplace dans l'expression de la dérivée, on trouve : Ces deux équations trouvées forment le système recherché : Résolvons ce système : On a :
4.Déterminons la limite en: On a : et aussi
On en déduit que :
5.Montrons que la droited'équationest une asymptote à la courbeau voisinage de:
La droite D d'équation est asymptote à la courbe au voisinage de
6.Déterminons une équation de la tangente à la courbeau point: Une équation de la tangente à au point d'abscisse est: Or, et Cette équation devient alors:
7.Figure:
probleme
Partie A
1.Déterminons la limite de la fonctionen : et
Donc :
2.Montrons que, pour tout nombre réel.
est de la forme (de dérivée )
Pour tout :
3.Résolvons dans l'intervallel'inéquation :
On a:
Donc :
Déduisons le signe desur l'intervalle : On a clairement sur , donc le signe de est celui de On déduit alors d'après ce qui précède que dans :
4.Calculons les images demandées :
5.Dressons le tableau de variation :
Les valeurs arrondies : et
6.Déterminons les coordonnées du point: Notons tout d'abord les coordonnées du point : est le point d'intersection de et de l'axe des abscisses,équivaut à dire : On retient le point dont l' abscisse est dans l'intervalle soit:
7.Figure :
8.Déterminons graphiquement le nombre de solutions : Le nombre de solutions de l'équation correspond au nombres de points d'intersections de avec la droite horizontale d'équation .
Si , la droite d' équation ne coupe pas
donc l' équation n' a pas de solutions.
Si , la droite d' équation est tangente à au point d' abscisse ,
donc le nombre de solutions de l'équation est 1
Si : la droite d'équation coupe en deux points, donc :
le nombre de solutions de l'équation est 2
Si : la droite d'équation coupe en un point, donc :
le nombre de solutions de l'équation est 1
Partie B
1.Montrons queest une primitive de la fonction: Pour tout : ; pour montrer que est une primitive de , il suffit de montrer que est la dérivée de :
2.Calculons l'intégrale :
Donnons la valeur décimale arrondie à:
Publié par TP/dandave
le
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