Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2004

7 points

exercice

On désigne par $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + a + b\text{e}^{-x}$ , où $a$ et $b$ sont des réels.
On rappelle que $\text{e}^{-x}$ peut aussi s'écrire $\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$ .
La courbe $\mathcal{C}$ , sur la feuille annexe à rendre avec la copie, est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .
On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .

1. Pour tout nombre réel $x$ , determiner $f'(x)$ .

2. Déterminer graphiquement les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$ sachant que ces valeurs sont de nombres entiers.

3. En déduire un système d'équations vérifié par les nombres réels $a$ et $b$ .
Résoudre ce système pour déterminer les nombres réels $a$ et $b$ .
On choisit pour la suite de l'exercice $f(x) = x + 3 + \text{e}^{-x}$ .

4. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

5. Montrer que la droite D d'équation $y = x + 3$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$ .

6. On nomme A le point d'abscisse -1 de la courbe $\mathcal{C}$ .
Déterminer une équation dc la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.

7. Tracer la droite D et la tangente T dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille annexe que l'on joindra à la copie.

Bac TMD Métropole Juin 2004 - terminale : image 1

13 points

probleme

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ par : $f(x) = x^2\left(2\ln x - 3\right)$ , et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 1 cm.

Partie A

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

2. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[,~f'(x) = 4x(\ln x - 1)$ .

3. Résoudre dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ , l'inéquation $\ln x - 1> 0$ .
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ .

4. Déterminer les valeurs exactes de $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right),~ f(1),~ f\left(\sqrt{\text{e}}\right)$ et $f(\text{e})$ .

5. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle.
On portera les valeurs de $f(\text{e})$ et $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$ et leur valeurs arrondies à 10^-2 près.

6. On nomme A le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.

7. Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .
On fera apparaître le point A et la tangente au point d'abscisse e à la courbe $\mathcal{C}$ .

8. Soit $m$ un nombre réel.
Déterminer graphiquement selon la valeur de $m$ , le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$ .

Partie B

1. Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ par $F(x) = \dfrac{2}{3}x^3 \ln x - \dfrac{11}{9}x^3$ .
Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$ .

2. Calculer l'intégrale $\text{I} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$ .
En donner la valeur exacte ainsi que la valeur décimale arrondie à 10^-2.

Voir la correction

exercice

1. Calculons $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x)=1+b(-e^{-x})=\boxed{1-be^{-x}}$

2. Déterminons $f(0)$ et $f'(0)$ graphiquement :
On peut lire directement sur le graphique : $\boxed{f(0)=4}$
La courbe $\mathcal{C}$ présente une tangente horizontale au point d' abscisse $0$ , donc: $\boxed{f'(0)=0}$

3. Déduisons un système d'équations vérifié par $a$ et $b$ :
On a : $f(0)=4$ , donc, en remplaçant dans l'expression de la fonction, on obtient : $0+a+be^{-0}=4 \Longleftrightarrow \boxed{a+b=4}$
De même pour $f'(0)=0$ , on remplace dans l'expression de la dérivée, on trouve : $1-be^{-0}=0 \Longleftrightarrow \boxed{1-b=0}$
Ces deux équations trouvées forment le système recherché : $\boxed{\begin{cases} a+b=4 \\1-b=0\end{cases}}$
Résolvons ce système :
On a : $\begin{cases} a+b=4 \\1-b=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=4-b \\b=1\end{cases}\Longleftrightarrow \boxed{\begin{cases} a=3 \\b=1\end{cases}}$

4. Déterminons la limite en $+\infty$ :
On a : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{x}}=0$ et aussi $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x+3=+\infty$

On en déduit que : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x+3+e^{-x}= +\infty$

5. Montrons que la droite $D$ d'équation $y = x + 3$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$ :

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)-(x+3)=\lim_{x\to +\infty} x+3+e^{-x}-(x+3)=\lim_{x\to +\infty} e^{-x}= 0$

La droite D d'équation $y=x+3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$

6. Déterminons une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A(-1,f(-1))$ :
Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse $-1$ est: $y=f'(-1)(x+1)+f(-1)$
Or, $f(-1)=-1+3+e^{-(-1)}=2+e$ et $f'(-1)=1-e^{-(-1)}=1-e$
Cette équation devient alors: $y=(1-e)(x+1)+2+e \Longleftrightarrow y=(1-e)x+1-e+2+e$

$\boxed{T:\,y=(1-e)x+3}$

7. Figure:

Bac TMD Métropole Juin 2004 - terminale : image 3

probleme

Partie A

1. Déterminons la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} 2\ln x - 3= +\infty$

Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty}$

2. Montrons que, pour tout nombre réel $x \in\left[\dfrac{1}{\text{e}},+ \infty\right[:~f'(x) = 4x(\ln x - 1)$ .
$f(x)$ est de la forme $uv$ (de dérivée $u'v+uv'$ )
Pour tout $x \in\left[\dfrac{1}{\text{e}},+ \infty\right[$ :
$\begin{matrix} f'(x)&=&2x\left(2\ln x - 3\right)+x^2\left(\dfrac{2}{x}\right)\\&=&4x\ln(x)-6x+2x\\&=&4x\ln(x)-4x\end{matrix}$

$\boxed{f'(x)=4x(\ln\,x-1)}$

3. Résolvons dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}},+ \infty\right[$ l'inéquation $\ln x - 1> 0$ :
On a: $\ln x - 1> 0\Longleftrightarrow \ln x >1 \Longleftrightarrow x>e$

Donc : $\boxed{S=]e,+\infty[}$

Déduisons le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}},+ \infty\right[$ :
On a clairement $4x>0$ sur $\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right[$ , donc le signe de $f'(x)$ est celui de $\ln x - 1$
On déduit alors d'après ce qui précède que dans $\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right[$ :

$\boxed{ f'(x)\leq 0 \text{ sur } \left[\dfrac{1}{e}, e\right] \text{ et } f'(x)\geq 0 \text{ sur } \left[e, +\infty[}$

4. Calculons les images demandées :
$f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\left(\dfrac{1}{e}\right)^2\left(2\ln\left(\dfrac{1}{e}\right)-3\right)=\dfrac{1}{e^2}(-2\ln(e)-3)=\dfrac{1}{e^2}(-2-3)=\boxed{-\dfrac{5}{e^2}}$
$f(1)=1^2(2\ln(1)-3)=2\times 0 -3=\boxed{-3}$
$f(\sqrt{e})=(\sqrt{e})^2\left(2\ln\sqrt{e}-3\right)=e\left(2\ln(e)^{\frac{1}{2}}-3\right)==e(2\dfrac{1}{2}\ln(e)-3)=e(1-3)=\boxed{-2e}$
$f(e)=e^2(2\ln(e)-3)=e^2(2-3)=\boxed{-e^2}$

5.Dressons le tableau de variation :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline x& \dfrac{1}{e}&&e&&+\infty\\\hline f'(x)&&-&\barre{0}&+&\\\hline\niveau{2}{3}f&\frac{-5}{e^2}&\decroit&-e^2&\croit& +\infty \\\hline\end{tabvar}$
Les valeurs arrondies : $f\left(\dfrac{1}{e}\right)\approx -0.68$ et $f(e)\approx -7.39$

6. Déterminons les coordonnées du point $A$ :
Notons tout d'abord les coordonnées du point $A$ : $A(x_A,y_A)$
$A$ est le point d'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses,équivaut à dire : $\begin{cases} y_A=x_A^2(2\ln x_A-3) \\y_A=0\end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x_A^2(2\ln x_A-3)=0 \\y_A=0\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_A^2=0 \text{ ou }2\ln x_A-3=0 \\y_A=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_A=0 \text{ ou } \ln x_A=\dfrac{3}{2} \\y_A=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_A=0 \text{ ou } x_A=e^\frac{3}{2} \\y_A=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_A=0 \text{ ou } x_A=e\sqrt{e} \\y_A=0\end{cases}$
On retient le point dont l' abscisse est dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right[$ soit: $\boxed{A(e\sqrt{e},0)}$

7. Figure :

Bac TMD Métropole Juin 2004 - terminale : image 2

8. Déterminons graphiquement le nombre de solutions :
Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$ correspond au nombres de points d'intersections de $\mathcal{C}$ avec la droite horizontale d'équation $y=m$ .
Si $m<-e^2$ , la droite d' équation $y=m$ ne coupe pas $\mathcal{C}$

donc l' équation $f(x)=m$ n' a pas de solutions.

Si $m=-e^2$ , la droite d' équation $y=-e^2$ est tangente à $\mathcal{C}$ au point d' abscisse $e$ ,

donc le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$ est 1

Si $-e^2<m\leq -\dfrac{5}{e^2}$ : la droite d'équation $y=m$ coupe $\mathcal{C}$ en deux points, donc :

le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$ est 2

Si $m>-\dfrac{5}{e^2}$ : la droite d'équation $y=m$ coupe $\mathcal{C}$ en un point, donc :

le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$ est 1

Partie B

1.Montrons que $F$ est une primitive de la fonction $f$ :
Pour tout $x \in \left[\dfrac{1}{\text{e}},+ \infty\right[$ : $F(x) = \dfrac{2}{3}x^3 \ln x - \dfrac{11}{9}x^3$ ; pour montrer que $F$ est une primitive de $f$ , il suffit de montrer que $f$ est la dérivée de $F$ :
$\begin{matrix}F'(x)&=&\dfrac{2}{3}\left(3x^2\ln x+x^3\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{11}{9}3x^2\\&=& 2x^2\ln x+\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{11}{3}x^2\\&=&2x^2\ln(x)-\dfrac{9}{3}x^2\\&=&2x^2\ln(x)-3x^2\\&=&x^2(2\ln x-3)\\&=&\boxed{f(x)}\end{matrix}$

2. Calculons l'intégrale $I$ :
$\begin{matrix}\displaystyle I=\int_{1}^{e} f(x)dx&=&\left[F(x)\right]_1^e\\&=&\left[\dfrac{2}{3}x^3 \ln x - \dfrac{11}{9}x^3\right]_1^e &=& \left(\dfrac{2}{3}e^3 \ln e - \dfrac{11}{9}e^3\right)- \left(\dfrac{2}{3}\times 1^3 \times\ln 1 - \dfrac{11}{9}\times 1^3\right)\\&=&\dfrac{2}{3}e^3-\dfrac{11}{9}e^3+\dfrac{11}{9}&=& \dfrac{6}{9}e^3-\dfrac{11}{9}e^3+\dfrac{11}{9}\\&=&\boxed{\dfrac{11-5e^3}{9} }\end{matrix}$

Donnons la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ : $\boxed{I\approx -9.94}$

Publié par TP/dandave le 10-01-2017

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