Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Juin 2004

Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

7 points

exercice 1

Dans tout l'exercice, on arrondira les prix au centime d'euro.

A compter du 1^er janvier 2004, un restaurateur décide d'augmenter tous les ans au 1^er janvier les prix de sa carte de 3 %.

1. a) Quel est le prix, sur la carte 2004 d'un plat qui coûtait 9,50 € en 2003 ?
    b) Quel était le prix en 2003 d'un dessert qui cûte 6,90 € en 2004 ?

2. La carte du restaurateur proposait en 2003 une "Formule Midi" à 7,50 €s. On note $P_n$ le prix, en euro, de la "Formule Midi" au 1^er janvier de l'année (2003 $+n)$ . (Ainsi $P_0=7,50$ pour 2003; $P_1$ pour 2004, etc ...)
    a) Calculer $P_1$ et $P_2$ .
    b) Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ . Quelle est la nature de cette suite ? Quelle est sa raison ?
    c) En déduire $P_n$ en fonction de $n$ .
    d) Combien coûtera la "Formule Midi" en 2010 ?
    e) A partir de quelle année le prix de la "Formule Midi" dépassera-t-il 10 €?

13 points

exercice 2

Le tableau ci-dessous récapitule les résultats d'une étude effectuée sur une semaine par un restaurateur en vue de connaître le coût moyen de production d'un repas en fonction du nombre de couverts servis.

Dans ce tableau, $x_i$ désigne le nombre de couverts servis, et $y_i$ désigne le coût moyen d'un repas en euro pour le $i$ ème jour de la semaine. (Par exemple : le deuxième jour de la semaine, pour un service de 15 couverts, chaque repas a coûté en moyenne 8,90 €).

$x_i$	4	15	25	35	45	50
$y_i$	19,30	8,90	6,50	6,40	7,20	8,10

Partie A

1. Représenter sur du papier millimétré le nuage de points $(x_i;y_i)$ . On prendra :
    en abscisses : 1 cm pour 5 repas,
    en ordonnées : 1 cm pour 2 €.

2. Calculer les coordonnées de $G$ , le point moyen du nuage et placer $G$ sur le graphique.

3. Le restaurateur décide d'effectuer un ajustement affine du nuage par la droite $D$ d'équation : $y=-0,2x+15,2$ .
    a) Tracer $D$ sur le graphique.
    b) La droite $D$ passe-t-elle par $G$ ? (On justifiera la réponse par un calcul).
    c) Que pensez-vous de cet ajustement ? (Expliquer).

Partie B

On se propose dans cette partie d'effectuer un ajustement plus précis du nuage par la fonction $f$ , définie sur [4 ; 50] par : $f(x)=0,4x+35-12\ln x$
(Les valeurs trouvées par calcul seront arrondies au centième près).

1. Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que $f'(x)=\dfrac{0,4x-12}{x}$

2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur [4 ; 50] et dresser le tableau de variations de $f$ .

3. Compléter le tableau suivant :

$x$	4	10	20	30	40	50
$f(x)$			7,05

4. Représenter la fonction $f$ dans le même repère que le nuage de points.

5. On considère que $f$ réalise un bon ajustement du nuage de points.
a) Selon cet ajustement, pour quel nombre de couverts le coût moyen d'un repas est-il minimum ?
Quel est ce coût minimum ?
b) En utilisant cet ajustement, déterminer graphiquement pour quels nombres de couverts le coût moyen d'un repas est inférieur à 7 €. (On fera figurer les traits de construction de la réponse sur le graphique).

Voir la correction

exercice 1

1. a) L'augmentation étant de 3%, le coefficient multiplicateur est alors $1 + \dfrac{3}{100} = 1,03$ . Le prix en 2004 est : $\boxed{9,5 \times 1,03 \approx 9,79 \text{ euros}}$

1. b) Le prix en 2003 était de $\boxed{\dfrac{6,90}{1,03} \approx 6,70 \text{ euros}}$

2. a) On a toujours le coefficient multiplicateur 1,03, de sorte que $P_1=1,03P_0=1,03\,\times 7,50$ , d'où $\boxed{P_1\approx 7,73 \text{ euros}}$
De même, $P_2=1.03\,P_1\approx 1,03\times 7,73$ , d'où $\boxed{P_2\approx 7,96 \text{ euros}}$

2. b) et 2. c) Pour tout entier naturel $n,~P_{n+1}=P_{n}+\dfrac{3}{100}P_n=1,03P_n$
Il s'agit donc de la suite géométrique de premier terme $P_0= 7,50$ et de raison $q=1,03$
On trouve donc $\boxed{P_{n+1}=1,03\,P_n\text{ et }P_n=7,50\,(1,03)^n}$ pour tout entier naturel $n$ .

2. d) Puisque $P_0$ désigne l'année 2003, alors $P_7$ désigne l'année 2010 et $\boxed{P_7=7,50\,(1,03)^7\approx 9,22\text{ euros}}$

2. e) Pour retrouver l'année demandée, on peut résoudre l'inéquation suivante : $P_n> 10$ où l'entier $n$ est à déterminer. Or,

$\begin{matrix} P_n> 10&\Longleftrightarrow&7,50(1,03)^n > 10 \\&\Longleftrightarrow& (1,03)^n> \dfrac{10}{7,50} \\&\Longleftrightarrow& \ln((1,03)^n)> \ln\left(\dfrac{4}{3}\right) \\&\Longleftrightarrow& n\ln(1,03) >\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)\\&\Longleftrightarrow& n > \dfrac{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)}{\ln(1,03)}\end{matrix}$
$\dfrac{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)}{\ln(1.03)} \approx 9,73$ , or $n$ est entier, c'est donc à partir de $n= 10$ que la formule dépassera 10 euros.
Et on déduit que L'année cherchée est 2013

exercice 2

Partie A

Bac hôtellerie Métropole 2004 - terminale : image 1

2. L'abscisse du point G est : $x_G= \dfrac{4+15+25+35+45+50}{6} = 29$
L'ordonnée du point G est : $y_G=\dfrac{19,30+8,90+6,50+6,40+7,20+8,10}{6} = 9,4$
Le point moyen G du nuage a pour coordonnées G(29 ; 9,4)

3. a) Voir graphique ci-dessus

3. b) Puisque $D : y=-0,2x+15,2$ , calculons alors $-0,2x_G+15,2$
On a : $-0,2x_G+15,2=-0,2 \times 29+15,2 =\boxed{9,4=y_G}$
Donc : $\boxed{G \in D}$

3. c) On observe que la forme du nuage ne justifie pas cet ajustement affine.
L'ajustement affine est très imprécis et ne convient donc pas.

Partie B

1. Soit $x$ un réel appartenant à [4 ; 50] :
$f'(x)=\left[0,4x+35-12\ln(x)\right]' = (0,4x)'+(35)'-(12\ln(x))'= 0,4 + 0 - \dfrac{12}{x} = \boxed{0,4-\dfrac{12}{x}}$
On en déduit que : $f'(x)=\dfrac{0,4x}{x}-\dfrac{12}{x}=\boxed{\dfrac{0,4x-12}{x}}$

2. Puisque $x$ appartient à [4 ; 50] le dénominateur est positif, et $f'(x)$ a le même signe que le numérateur $0,4x-12$
$0,4x-12=0 \Longleftrightarrow 0,4x = 12 \Longleftrightarrow x=\dfrac{12}{0,4}\Longleftrightarrow x=30$
Tableau de signes :
$\begin{array}{|c|ccccc|}x &4&&30&&50 \\0.4x-12& &-&0&+&\end{array}$
Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 4 & & 30 & & 50 \\ \hline f'(x) & & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & f(4) & \decroit & f(30) & \croit & f(50) \\ \hline \end{tabvar}$

3. Simple calcul d'images : on obtient

$x$	4	10	20	30	40	50
$f(x)$	19,96	11,37	7,05	6,19	6,73	8,06

4. Voir graphique ci-dessus.

5. a) Vu que la fonction $f$ atteint un minimum en $x=30$ , alors le coût moyen est minimum pour 30 couverts.

Autrement dit, Le coût moyen minimum est $f(30)\approx 6,19$ euros.

5. b) On trace la droite d'équation $y = 7$ et on lit graphiquement les valeurs de $x$ (entières) pour lesquelles la courbe $C_f$ est en-dessous de cette droite (voir graphique)
On obtient : le coût moyen d'un repas est inférieur à 7 euros Entre 21 et 42 couverts.

Publié par TP/ le 11-01-2014

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