Fiche de mathématiques

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Bac Economique et Social
Pondichéry - Session Avril 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.

1. Le prix d'un produit dérivé du pétrole a augmenté de 60 % durant l'année 2005. Pour revenir à sa valeur initiale, ce prix doit baisser de :
70 %.
60 %.
40 %.
37,5 %.

2. Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux évènements indépendants A et B qui vérifient P(A) = 0,3 et P(B) = 0,5. On a alors :
P(A $\cup$ B) = 0,65.
P(A $\cup$ B) = 0,8.
P(A $\cup$ B) = 0,15.
Les données ne permettent pas de calculer P(A $\cup$ B).

3. $f$ est la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = 2x - 1 + \frac{1}{x}$ .
La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal du plan admet pour asymptote la droite d'équation :
y = 0.
y = 2x - 1.
x = 2
y = -x + 1.

4. Le nombre $\text{A} = 2\ln \left(\displaystyle \frac{\text{e}}{4}\right) + 5\ln 2 + \ln\left(\displaystyle \frac{8}{\text{e}} \right)$ est égal à :
1 + 4 ln 2.
4 ln 2 + 3.
2 ln 5 + 1.
8 ln 2.

5 points

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations : la destination A, la destination G et la destination M.
50 % des clients choisissent la destination A.
30 % des clients choisissent la destination G.
20 % des clients choisissent la destination M.

Au retour de leur voyage, tous les clients de l'agence répondent à une enquête de satisfaction.
Le dépouillement des réponses à ce questionnaire permet de dire que 90 % des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits, de même que 80 % des clients ayant choisi la destination G.
On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires recueillis.

On note les évènements :
A : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination A ";
G : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination G ";
M : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination M ";
S : " le questionnaire est celui d'un client satisfait ";
$\overline{\text{S}}$ " le questionnaire est celui d'un client insatisfait ".

1. Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité.

2. a) Traduire par une phrase les évènements G $\cap$ S et M $\cap$ S puis calculer les probabilités P(G $\cap$ S)et P(M $\cap$ S).
b) L'enquête montre que 72 % des clients de l'agence sont satisfaits. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer P(A $\cap$ S).
c) En déduire P_A(S), probabilité de l'évènement S sachant que l'évènement A est réalisé.

3. Le questionnaire prélevé est celui d'un client qui est satisfait. Le client a omis de préciser quelle destination il avait choisie. Déterminer la probabilité qu'il ait choisi la destination G (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).

4. On prélève successivement au hasard trois questionnaires dans la pile d'enquêtes. On suppose que le nombre de questionnaires est suffisamment élevé pour considérer que les tirages successifs sont indépendants.
Calculer la probabilité de l'évènement : " les trois questionnaires sont ceux de clients insatisfaits " (on donnera le résultat arrondi au millième).

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Un centre d'appel comptait en 2001 soixante-six employés. Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre d'employés en fonction du rang de l'année.

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Rang de l'année x_i	1	2	3	4	5	6	7
Nombre d'employés y_i	66	104	130	207	290	345	428

On cherche à étudier l'évolution du nombre y d'employés en fonction du rang x de l'année. Une étude graphique montre qu'un ajustement affine ne convient pas.
On pose alors $z = \sqrt{y} - 3$ .

1. Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième).

Rang de l'année x_i	1	2	3	4	5	6	7
z_i	5,12

2. Représenter le nuage de points M_i(x_i ; z_i) associé à cette série statistique, dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.
Un ajustement affine vous paraît-il approprié ? Justifier la réponse.

3. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis au centième).
Tracer cette droite sur le graphique précédent.

4. En utilisant cet ajustement, à partir de quelle année peut-on prévoir que l'effectif de ce centre d'appel dépassera 900 employés ?

7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Les trois parties sont indépendantes.
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par $f(x) = (ax + b) \text{e}^{x - 1} + c$ , où a, b et c sont trois réels que l'on se propose de déterminer dans la partie A.
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ .
La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal est représentée ci-dessous.
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(1 ; 5), elle admet la droite $\mathcal{D}$ comme tangente en ce point.
Le point B(0 ; 2) appartient à la droite $\mathcal{D}$ .
La courbe $\mathcal{C}$ admet également une tangente horizontale au point d'abscisse $- \displaystyle \frac12$ .

bac économique et social Pondichéry 2008 - terminale : image 1

Partie A

1. a) Préciser les valeurs de $f(1)$ et $f'\left(- \displaystyle \frac{1}{2}\right)$ .
b) Déterminer le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$ . En déduire $f'(1)$ .

2. Montrer que, pour tout réel $x$ , $f'(x) = (ax + a + b)\text{e}^{x-1}$ .

3. Montrer que a, b et c vérifient le système : $\left \lbrace \begin{array}{l} a + b + c = 5\\ a + 2b = 0\\ 2a + b = 3\\ \end{array} \right.$
Déterminer les valeurs de a, b et c.

Partie B

On admet pour la suite de l'exercice que, pour tout réel $x, \, f(x) = (2x - 1)\text{e}^{x-1} + 4$ .

1. a) Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$ .
   b) Vérifier que, pour tout réel $x, f(x) = \displaystyle \frac{2}{\text{e}} x \text{e}^x - \displaystyle \frac{1}{\text{e}}\text{e}^x + 4$ .
En déduire $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x)$ (on rappelle que $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$ ).
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

2. a) Donner, pour tout réel $x$ , l'expression de $f'(x)$ .
   b) Etablir le tableau de variations de $f$ .
Déterminer le signe de $f(x)$ pour tout réel $x$ .
   c) Montrer que l'équation $f(x) = 6$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur l'intervalle [1 ; 2]. On donnera un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,1.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Partie C

1. On considère la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ par $F(x) = (2x -3)\text{e}^{x-1} + 4x$ .
Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Soit $\Delta$ la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ .
Calculer l'aire de la partie $\Delta$ exprimée en unités d'aire ; on donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au dixième.

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Réponse 4 : 37,5%
Augmentation du prix de 60% = multiplication par 1,6. Pour revenir au prix initial, il faut alors diviser par 1,6, c'est-à-dire multiplier par $\displaystyle \frac{1}{1,6} = 0,675$ . Cela correspond à une baisse de 37,5 %.

2. Réponse 1 : 0,65
Pour des évènements indépendants, $p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A}) \times p(\text{B})$ , donc $p(\text{A} \cup \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A}) \times p(\text{B}) = 0,3 + 0,5 - 0,3 \times 0,5 = \boxed{0,65}$ .

3. Réponse 2 : $y = 2x - 1$
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x) - (2x-1) = \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} = 0$

4. Réponse 1 : 1 + 4 ln 2
$A = 2\ln\left(\displaystyle \frac{e}{4}\right) + 5\ln 2 + \ln\left(\displaystyle \frac{8}{e}\right) = 2\ln(e) - 2\ln 4 + 5\ln 2 + \ln 8 - \ln(e) \\ = 2 - 2 \ln(2^2) + 5\ln 2 + \ln(2^3)- 1 = 1 - 4\ln 2 + 5 \ln 2 + 3\ln 2 = 1 + 4\ln2$

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

bac économique et social Pondichéry 2008 - terminale : image 2

2. a) $\text{G} \cap \text{S}$ = "le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination G et satisfait"
$\text{M} \cap \text{S}$ = "le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination M et satisfait"
$p(\text{G} \cap \text{S}) = p(\text{G}) \times p_{\text{G}}(\text{S}) = 30\% \times 80\% = 24\% \\ p(\text{M} \cap \text{S}) = p(\text{M}) \times p_{\text{M}}(\text{S}) = 20\% \times 90\% = 18\%$

2. b) A, G et M forment une partition de l'ensemble des clients, donc :
$p(\text{S}) = p(\text{A} \cap \text{S}) + p(\text{G} \cap \text{S}) + p(\text{M} \cap \text{S})$
donc $p(\text{A} \cap \text{S}) = p(\text{S}) - p(\text{G} \cap \text{S}) - p(\text{M} \cap \text{S}) = 72\% - 24\% - 18\% = 30\%$

2. c) $p_{\text{A}}(\text{S}) = \displaystyle \frac{p(\text{A} \cap \text{S})}{p(\text{A})} = \displaystyle \frac{30\%}{50\%} = 60\%$

3. On cherche $p_{\text{S}}(\text{G})$ :
$p_{\text{S}}(\text{G}) = \displaystyle \frac{p(\text{G} \cap \text{S})}{p(\text{S})} = \displaystyle \frac{24\%}{72\%} = \frac{1}{3}$

4. Les tirages successifs sont indépendants, donc $p(\bar{\text{S}} \bar{\text{S}} \bar{\text{S}}) = p(\bar{\text{S}})^3 = (1 - p(\text{S}))^3 = (1 - 72\%)^3 = (28\%)^3 = 0,021$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Rang de l'année x_i	1	2	3	4	5	6	7
z_i	5,12	7,20	8,40	11,39	14,03	15,57	17,69

2. Voici le nuage de points, avec l'échelle en ordonnée modifiée par rapport à l'énoncé :

bac économique et social Pondichéry 2008 - terminale : image 3

Les points sont presque alignés, un ajustement affine parait donc pertinent.

3. On détermine les moyennes : $\bar x = 4$ et $\bar z = 11,34$
La méthode des moindres carrés permet d'approximer les valeurs par une droite d'équation $z = ax+b$ où les coefficients sont donnés par :
$a = \displaystyle \frac{(x_1-\bar x)(z_1-\bar z)+(x_2-\bar x)(z_2-\bar z)+(x_3-\bar x)(z_3-\bar z)+(x_4-\bar x)(z_4-\bar z)+(x_5-\bar x)(z_5-\bar z)+(x_6-\bar x)(z_6-\bar z)+(x_7-\bar x)(z_7-\bar z)}{(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+(x_3-\bar x)^2+(x_4-\bar x)^2+(x_5-\bar x)^2+(x_6-\bar x)^2+(x_7-\bar x)^2}$
et $b = \bar z - a\bar x$
On trouve (à la calculatrice), $a = 2,15$ et $b = 2,76$
La droite d'ajustement a pour équation : $\boxed{z = 2,15x+2,76}$

4. On cherche n tel que $y_n \ge 900$
$y_n \ge 900 \: \Longleftrightarrow \: \sqrt(y_n)\ge 30 \: \Longleftrightarrow \: \sqrt(y_n)-3 \ge 27 \: \Longleftrightarrow \: z_n\ge 27 \: \Longleftrightarrow \: 2,15x_n+2,76\ge 27 \: \Longleftrightarrow \: 2,15x_n\ge 24,24 \: \Longleftrightarrow \: x_n\ge \dfrac{24,24}{2,15}$
Or, $\dfrac{24,24}{2,15} \approx 11,3$ , donc le nombre d'employés sera donc supérieur à 900 à partir du rang 12, c'est-à-dire à partir de 2012.
On retrouve aussi ce résultat sur le graphique.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. a) A(1 ; 5) appartient à la courbe, donc $\boxed{f(1) = 5}$
La courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-\frac{1}{2}$ donc $\boxed{f'\left(-\frac{1}{2}\right)=0}$

1. b) La droite passe par les points A et B, son coefficient directeur est donc donné par :
$a = \displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-5}{0-1} = 3$ donc $\boxed{f'(1)=3}$

2. On a : $f(x) = (ax+b)e^{x-1}+c$
On pose $u(x) = ax+b$ et $v(x) = e^{x-1}$ . Alors $u'(x)=a$ et $v'(x)=e^{x-1}$ ( $\text{car } (e^{u})'=u'.e^{u}$ )
$f = uv+c$ donc $f'=u'v+uv'$
$f'(x)=ae^{x-1}+(ax+b)e^{x-1}\\ \boxed{f'(x)=(ax+a+b)e^{x-1}}$

3. $f(1)=5$ . Or $f(1) = (a+b)e^0+c=a+b+c$ donc $a+b+c=5$
$f'\left(-\frac{1}{2}\right)=0$ , or $f'\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}a+a+b\right)e^{-\frac{1}{2}-1} = \left(\frac{1}{2}a+b\right)e^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2}(a+2b)e^{-\frac{3}{2}}$ donc $\frac{1}{2}(a+2b)e^{-\frac{3}{2}}=0$ donc $a+2b=0$ car une exponentielle est toujours strictement positive.
$f'(1)=3$ , or $f'(1) = (a+a+b)e^0=2a+b$ donc $2a+b=3$
a, b et c vérifient donc le système $a+2b=0$ donc $a=-2b$ , or $2a+b=3$ donc $2(-2b)+b=3$ ; $-4b+b=3$ ; $-3b=3$ ; $b=-1$
Donc $a=-2b=-2(-1)=2$ , or $a+b+c=5$ donc $c=5-a-b=5-2-(-1)=3+1=4$
D'où : $\boxed{a=2} \hspace{25pt} \boxed{b=-1} \hspace{25pt} \boxed{c=4}$

Partie B

1. a) $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}2x-1 = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{x-1} = \displaystyle \lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty$ donc $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

1. b) $\frac{2}{e}xe^x-\frac{1}{e}e^x+4 = 2e^{-1}xe^x-1e^{-1}e^x+4 = 2xe^{x-1}-e^{x-1}+4=(2x-1)e^{x-1}+4$
donc $\boxed{f(x) = \frac{2}{e}xe^x-\frac{1}{e}e^x+4}$
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{2}{e}xe^x=0$ et $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}-\frac{1}{e}e^x=0$ donc $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0+0+4=4$ ; $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=4}$
La courbe $\mathcal{C}$ admet donc au voisinage de $-\infty$ une asymptote horizontale d'équation $y=4$ .

2. a) On a montré en A. 2. que $f'(x) = (ax+a+b)e^{x-1}$ . Or $a=2 \, ; \, b=-4$ donc $f'(x) = (2x+2-1)e^{x-1}$
$\boxed{f'(x)=(2x+1)e^{x-1}}$

2. b) Une exponentielle est toujours strictement positive, donc $f'(x)$ est du signe de $2x+1$ . On rappelle que $f$ est strictement croissante (respectivement décroissante) si et seulement si $f'$ est strictement positive (respectivement négative). On en déduit le tableau de variations de $f$ :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & -\frac{1}{2} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \hspace{1pt} & 4 & & & & +\infty \\ f(x) & & \searrow & & \nearrow & \\ \hspace{1pt} & & & f\left(-\frac{1}{2}\right)=4-2e^{-\frac{3}{2}}=3,55 & & \\ \hline \end{array}$
On en déduit que le minimum de la fonction est atteint pour $x = -\frac{1}{2}$ et qu'il vaut $4 - 2e^{-\frac{3}{2}}$ soit environ 3,55.
La fonction $f$ est donc strictement positive sur $\mathbb{R}$ .

2. c) On complète le tableau avec les valeurs de $f(1) = 5$ et $f(2) = (4-1)e^{2-1}+4=3e+4=12,15$
$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x&-\infty&&-\frac{1}{2}&&1&&2&&+\infty \\ \hline {f'(x)}& &-&0&+&&+&&+& \\ \hline \hspace{1pt} & 4 & & & & & & & & +\infty \\ \hspace{1pt} & & & & & & & & \nearrow & \\ f(x) & & \searrow & & & & & 12, 15 & & \\ \hspace{1pt} & & & & & & \nearrow & & & \\ \hspace{1pt} & & & & & 5 & & & & \\ \hspace{1pt} & & & & \nearrow & & & & & \\ \hspace{1pt} & & & 3,55 & & & & & & \\ \hline \end{array}$
Sur [1 ; 2] $f$ est strictement croissante de 5 à 12,15, or $6 \in [5 ; 12,15]$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha \in [1;2]$ tel que $f(\alpha) = 6$ .
On approche cette valeur, "à tâtons" :
$f(1,5) = 7,3$ donc $\alpha \in [1 ; 1,5]$
$f(1,3)=6,16$ donc $\alpha \in [1;1,3]$
$f(1,2) = 5,71$ donc $\alpha\in[1,2 ; 1,3]$
$\boxed{1,2 < \alpha < 1,3}$

Partie C

1. $F(x) = (2x-3)e^{x-1}+4x$
Alors $F'(x) = 2e^{x-1}+(2x-3)e^{x-1}+4 = (2x-1)e^{x-1}+4 = f(x)$ en utilisant les formules $(uv)' = u'v+uv' \, ; \, (e^{u})'=u'e^{u} \text{ et } (u+v)' = u' + v'$
Donc F est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Par définition, cette aire est donnée par : $A = \displaystyle \int_0^1 f(x) \text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1)-F(0)$
Or $F(0) = -3e^{-1}+0 = -\displaystyle \frac{3}{e}$ et $F(1) = (2-3)e^0+4=-1+4=3$ , donc $\boxed{A = 3+\frac{3}{e} = 4,1}$

Publié par Cel/Aurélien le 17-02-2009

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