Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Session Juin 2011 - Polynésie Française
Série Économique et Social

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7


Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter tous les exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l'ensemble ]- \infty ; 1[\, \cup\, ]1 ; + \infty[.
On note \left(\mathcal{C}_{f}\right) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
On suppose que f est dérivable sur chacun des intervalles ]- \infty ; 1[ et ]1 ; + \infty[ et on note f' la fonction dérivée de f.
Soit F une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]1 ; 6]. On suppose que f admet le tableau de variation ci-dessous :
bac économique et social Polynésie Française Juin 2011 - terminale : image 1
Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, une seule de ces trois propositions convient :
VRAIE ou FAUSSE ou LES INFORMATIONS DONNÉES NE PERMETTENT PAS DE CONCLURE.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

1. L'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ]- \infty ; 1[ \cup ]1 ; + \infty[.

2. La droite d'équation y = 1 est asymptote à la courbe \left(\mathcal{C}_{f}\right)·

3. Pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]1 ; + \infty[,\, f'(x) \ge 0.

4. La fonction F est décroissante sur l'intervalle ]1 ; 6].

5. \ln [f(x)] existe pour tout x appartenant à ]- \infty ;  0[.

6. Soit g la fonction définie sur ]- \infty ; 1[ \cup ]1 ; + \infty[ par g(x) = \text{e}^{f(x)}.
    a) g(6) = \text{e}^3.
    b) \displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} g(x) = +\infty.
    c) g'(3) \ge  0.


5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

L'objet de l'exercice consiste à étudier les évolutions du nombre de mariages et du nombre de pacs (pacte civil de solidarité) signés entre partenaires de sexe opposé en France à partir de l'année 2000.

Partie A : étude du nombre de mariages

Le tableau suivant donne le nombre de mariages en France, en milliers, de 2000 à 2008.
Année200020012002200320042005200620072008
Rang de l'année x_{i}012345678
Nombre de mariages y_{i} en milliers305296286283278283274274265
Source. INSEE

Pour i entier variant entre 0 et 8, on a représenté ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal le nuage de points M_{i}\left(x_{i} ; y_{i}\right) associé à cette série.
bac économique et social Polynésie Française Juin 2011 - terminale : image 2

Légende :
• série du nombre de mariages en fonction du rang de l'année


1. a) Écrire une équation de la droite d'ajustement affine D de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième).
    b) Représenter D dans le repère précédent.

2. En utilisant cet ajustement affine, déterminer par la méthode de votre choix une estimation du nombre de mariages en France en 2012 (le résultat sera arrondi au millier).

Partie B : étude du nombre de pacs

Le tableau suivant donne le nombre de pacs signés entre partenaires de sexe opposé en France, en milliers, de 2000 à 2008.
Année200020012002200320042005200620072008
Rang de l'année x_{i}012345678
Nombre de pacs Y_{i}1615212633536496138
Source. INSEE


1. Représenter dans le repère précédent le nuage points N_{i}\left(x_{i} ; Y_{i}\right) associé à cette nouvelle série statistique.
L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. Pour i entier variant entre 0 et 8 on pose Z_{i} = \ln Y_{i}.

2. Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant où z_{i} est arrondi au centième :
x_{i}012345678
Z_{i}2,77        


3. Une équation de la droite d'ajustement affine de Z en x par la méthode des moindres carrés est Z = 0,29x + 2,51 (les coefficients étant arrondis au centième).
    a) En utilisant la relation Z = \ln Y, justifier la relation : y = 12,30 \text{e}^{0,29 x}.
    b) En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre de pacs signés en France entre personnes de sexe opposé en 2012 (arrondir au millier).

Partie C : Comparaison

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Si les évolutions du nombre de mariages et du nombre de pacs signés entre personnes de sexe opposé en France se poursuivent selon les modèles décrits dans les parties A et B, estimer à partir de quelle année le nombre de pacs dépassera celui des mariages.


5 points

exercice 3 - Pour les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une session du baccalauréat se compose de deux parties :
    le premier groupe d'épreuves (encore appelé : «écrit» par abus de langage ou «premier tour») ;
    le second groupe d'épreuves (encore appelé : «oral de rattrapage» ou «second tour»).
]Ce second groupe d'épreuves concerne les candidats n'ayant pas obtenu le bac à l'issue du premier groupe, mais ayant obtenu une moyenne générale supérieure ou égale à 08/20.

Les résultats au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session de juin 2010 à l'issue du premier groupe d'épreuves sont les suivants :
    74,3 % des candidats ont été reçus à l'issue du premier tour (c'est-à-dire que leur moyenne générale m est telle que m \ge  10) ;
    17,8 % des candidats sont allés aux oraux de rattrapage (c'est-à-dire que leur moyenne générale m est telle que 8 \le m < 10) ;
    les autres candidats ont été recalés (c'est-à-dire que leur moyenne générale m est telle que m < 8).
Le taux final de réussite au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session 2010 à l'issue des deux groupes d'épreuves est 86,1 %.
On interroge au hasard un candidat ayant passé le baccalauréat ES en 2010.
On note :
    \mathrm{R}_{1} l'évènement: «le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue du premier tour» ;
    O l'évènement : «le candidat interrogé est allé à l'oral de rattrapage» ;
    \mathrm{E}_{1} l'évènement : «le candidat interrogé a été recalé à l'issue du premier tour» ;
    \mathrm{R}_{2} l'évènement : «le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue de l'oral de rattrapage» ;
    \mathrm{E}_{2} l'évènement : «le candidat interrogé a été recalé à l'issue de l'oral de rattrapage».
On peut modéliser la situation par l'arbre (partiellement pondéré) ci-dessous, qu'on ne demande pas de compléter pour l'instant :
bac économique et social Polynésie Française Juin 2011 - terminale : image 3
Si X est un évènement, on note p(X) sa probabilité.
Dans cet exercice les résultats demandés seront arrondis au millième.

1. Donner les valeurs des probabilités suivantes : p\left(\text{R}_{1}\right) ; p(\text{O}) et p\left(\text{E}_{1}\right).

2. On appelle A l'évènement: «le candidat interrogé a obtenu son baccalauréat» : on a donc p(\text{A}) = 0,861.
Montrer que p\left(\text{O} \cap  \text{R}_{2}\right) = 0,118 et interpréter ce résultat.

3. Calculer p_{\text{O}}\left(\text{R}_{2}\right), probabilité de l'évènement R_{2} sachant que l'évènement O est réalisé. Interpréter ce résultat.

4. Recopier et compléter l'arbre partiellement pondéré, donné ci-dessus.

5. On interroge au hasard trois candidats ayant passé le baccalauréat ES en 2010 pour savoir s'ils l'ont obtenu. On suppose que le nombre de candidats à cette session est suffisamment grand pour considérer ces trois réponses comme indépendantes.
    a) Calculer la probabilité que les trois candidats aient été admis.
    b) Calculer la probabilité qu'au moins deux des candidats aient été admis.


5 points

exercice 3 - Pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre

On considère le graphe \Gamma ci-dessous :
bac économique et social Polynésie Française Juin 2011 - terminale : image 4


Partie A : Étude d'un graphe

1. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? (La réponse devra être justifiée). Si oui donner une telle chaîne.

2. Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? (La réponse devra être justifiée). Si oui donner un tel cycle.

3. Donner la matrice M associée au graphe \Gamma (les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique: E ; H ; L ; O ; P ; T ; W).

Partie B : Voyage scolaire

La classe de Terminale d'Arthur est en voyage scolaire en Angleterre.
Les professeurs organisateurs de ce voyage décident de visiter plusieurs sites de Londres.
Les sites retenus dans Londres sont les suivants : Warren Street, Oxford Circus, Piccadilly Circus, Leicester Square, Holborn, Embankment et Temple. Ces lieux sont désignés respectivement par les lettres W, O, P, L, H, E et T et sont représentés dans le graphe \Gamma donné ci-dessus (chaque sommet représente un site à visiter et chaque arête une route reliant deux sites).
Les élèves sont laissés en autonomie deux heures pour faire du shopping et ramener des souvenirs à leurs familles. Le point de rendez-vous avec les organisateurs est fixé à Temple. Les temps de parcours en minutes entre chaque sommet ont été ajoutés sur le graphe.
bac économique et social Polynésie Française Juin 2011 - terminale : image 5
Arthur, qui est à Oxford Circus, n'a pas vu le temps passer. Lorsqu'il s'en rend compte, il ne lui reste plus que 40 minutes pour arriver à Temple.

1. Déterminer le plus court chemin en minutes reliant Oxford Circus à Temple. Justifier la réponse à l'aide d'un algorithme.

2. Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? Arthur sera-t-il en retard ?


6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Certains scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées, à partir de l'année 2011, grâce à la fonction f définie sur l'intervalle [11 ; +\infty[ par
f(x) = 17 280\text{e}^{- 0,024x}
de sorte que f(x) représente, en billions de barils (millions de millions de barils), l'estimation de la quantité de pétrole qui sera découverte au cours de l'année 2000 +  x.
On admet que la fonction f est continue et dérivable sur l'intervalle [11 ;  +\infty[ et on note f' sa fonction dérivée sur cet intervalle.

1. Calculer l'estimation du nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 d'après ce modèle (on arrondira le résultat au billion près).

2. Déterminer la limite de la fonction f en + \infty.

3. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [11 ;  +\infty[ puis dresser son tableau de variations.

4. Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours d'une même année, 15 000 billions de barils de pétrole soient découverts ?
Si oui, déterminer, en justifiant, cette (ces) année(s). Si non, justifier la réponse.

5. Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours de chaque année à partir de 2011, au moins 6 000 billions de barils de pétrole soient découverts ?
Si oui, justifier la réponse.
Si non, déterminer, en justifiant, l'année pour laquelle les découvertes de pétrole deviendront strictement inférieures à 6 000 billions de barils.

6. a) Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [11 ; +\infty[.
    b) Calculer la valeur exacte, puis donner la valeur arrondie à l'unité près, de l'intégrale I suivante :
I  = \displaystyle \int_{11}^{21} f(x)\:\text{d}x.

    c) En déduire le nombre moyen de barils, en billions, que l'on peut espérer découvrir par an d'après ce modèle, entre les années 2011 et 2021.
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