Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Mai 2013 - Liban
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé .
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(1 ; -1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(-3 ; 5 ; 4) et D(1 ; 2 ; 3).
On note la droite ayant pour représentation paramétrique
, et la droite ayant pour représentation paramétrique , .
On note le plan d'équation .
Question 1 : Proposition a) Les droites et sont parallèles.
Proposition b) Les droites et sont coplanaires.
Proposition c) Le point C appartient à la droite .
Proposition d) Les droites et sont orthogonales.
Question 2 : Proposition a) Le plan contient la droite et est parallèle à la droite .
Proposition b) Le plan contient la droite et est parallèle à la droite .
Proposition c) Le plan contient la droite et est orthogonal à la droite .
Proposition d) Le plan contient les droites et .
Question 3 : Proposition a) Les points A, D et C sont alignés.
Proposition b) Le triangle ABC est rectangle en A.
Proposition c) Le triangle ABC est équilatéral.
Proposition d) Le point D est le milieu du segment [AB].
Question 4 : On note le plan contenant la droite et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :
Proposition a) Proposition b) Proposition c) Proposition d)
5 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
L'entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination «compote allégée».
La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F1 et F2.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment
Partie A
La chaîne de production F2 semble plus fiable que la chaîne de production F1. Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70% des petits pots proviennent de la chaîne F1 et 30% de la chaîne F2.
La chaîne F1 produit 5% de compotes non conformes et la chaîne F2 en produit 1%.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :
: «Le petit pot provient de la chaîne F2»
: «Le petit pot est conforme.»
1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2. Calculer la probabilité de l'évènement : «Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F1.»
3. Déterminer la probabilité de l'évènement .
4. Déterminer, à 10-3 près, la probabilité de l'évènement sachant que l'évènement est réalisé.
Partie B
1. On note la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F1, associe sa teneur en sucre.
On suppose que suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance et d'écart-type .
Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
0,13
0,15
0,0004
0,14
0,16
0,0478
0,15
0,17
0,4996
0,16
0,18
0,9044
0,17
0,19
0,4996
0,18
0,20
0,0478
0,19
0,21
0,0004
Donner une valeur approchée à 10-4 près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F1 soit conforme.
2. On note la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F2, associe sa teneur en sucre.
On suppose que suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F2 soit conforme est égale à 0,99.
Soit Z la variable aléatoire définie par .
a) Quelle loi la variable aléatoire suit-elle ?
b) Déterminer, en fonction de l'intervalle auquel appartient lorsque appartient à l'intervalle [0,16 ; 0,18].
c) En déduire une valeur approchée à 10-3 près de .
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1.
2,4324
0,985
2,4573
0,986
2,4838
0,987
2,5121
0,988
2,5427
0,989
2,5758
0,990
2,6121
0,991
2,6521
0,992
2,6968
0,993
6 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Étant donné un nombre réel , on considère la fonction définie sur par
.
Le plan est muni d'un repère orthonormé .
Partie A
Dans cette partie on choisit . On a donc, pour tout réel .
La représentation graphique de la fonction dans le repère est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.
Représentation graphique de la fonction
1. Déterminer les limites de en et en et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
2. Démontrer que, pour tout réel , .
3. On appelle la fonction dérivée de sur . Calculer, pour tout réel , .
En déduire les variations de la fonction sur .
4. On définit le nombre .
Montrer que . Donner une interprétation graphique de .
Partie B
Dans cette partie, on choisit et on souhaite tracer la courbe représentant la fonction .
Pour tout réel , on appelle le point de d'abscisse et le point de d'abscisse .
On note le milieu du segment .
1. Montrer que, pour tout réel , .
2. En déduire que le point appartient à la droite d'équation .
3. Tracer la courbe sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.
4. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes , l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
Partie C
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre .
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Quelle que soit la valeur du nombre réel , la représentation graphique de la fonction est strictement comprise entre les droites d'équations et .
2. Quelle que soit la valeur du réel , la fonction est strictement croissante.
3. Pour tout réel , .
5 points
exercice 4 - Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité
On considère la suite numérique définie pour tout entier naturel par
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang .
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme n°1 : Variables : est un réel
et sont des entiers naturels
Début de l'algorithme : Lire prend la valeur 1
Pour variant de 1 à faire
prend la valeur Fin pour
Afficher
Fin algorithme
Algorithme n°2 : Variables : est un réel
et sont des entiers naturels
Début de l'algorithme : Lire Pour variant de 1 à faire
prend la valeur 1
Afficher prend la valeur Fin pour
Fin algorithme
Algorithme n°3 : Variables : est un réel
et sont des entiers naturels
Début de l'algorithme : Lire prend la valeur 1
Pour variant de 1 à faire
Afficher prend la valeur Fin pour
Afficher
Fin algorithme
2. Pour on obtient l'affichage suivant :
1
1,800
2,143
2,333
2,455
2,538
2,600
2,647
2,684
2,714
Pour , les derniers termes affichés sont :
2,967
2,968
2,968
2,968
2,969
2,969
2,969
2,970
2,970
2,970
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ?
3. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .
b) Démontrer que, pour tout entier naturel , .
La suite est-elle monotone ?
c) Démontrer que la suite est convergente.
Partie B Recherche de la limite de la suite
On considère la suite définie pour tout entier naturel par
.
1. Démontrer que est une suite arithmétique de raison
2. En déduire l'expression de , puis celle de en fonction de .
3. Déterminer la limite de la suite .
5 points
exercice 4 - Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité
On considère la suite définie par , et, pour tout supérieur ou égal à 0 :
.
1. Calculer et .
2. Pour tout entier naturel , on souhaite calculer à l'aide de l'algorithme suivant :
Variables : et sont des nombres réels
et sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2
Initialisation : prend la valeur 3
prend la valeur 8
Traitement : Saisir Pour variant de 2 à faire
prend la valeur prend la valeur prend la valeur ...
Fin Pour
Sortie : Afficher b
a) Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4 502
13 378
39 878
119 122
356 342
106 6978
3 196 838
9 582 322
28 730 582
b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite ?
3. Pour tout entier naturel , on note la matrice colonne .
On note la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel , .
Déterminer et prouver que, pour tout entier naturel , .
4. Soient , et .
Calculer .
On admet que .
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul , .
5. À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet.
Pour tout entier naturel non nul ,
.
En déduire une expression de en fonction de .
La suite a-t-elle une limite ?
Publié par TP/
le
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