Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général

Série Scientifique

Session Juin 2013 - Polynésie Française

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x+2)\text{e}^{-x}$ . On note $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

1. Étude de la fonction $f$ .
    a) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathscr C$ avec les axes du repère.
    b) Étudier les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ . En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\mathscr C$ .
    c) Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe.
On note $\mathscr D$ le domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ . On approche l'aire du domaine $\mathscr D$ en calculant une somme d'aires de rectangles.
    a) Dans cette question, on découpe l'intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur :
    Sur l'intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{4} \right]$ , on construit un rectangle de hauteur $f(0)$
    Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2} \right]$ , on construit un rectangle de hauteur $f\left( \dfrac{1}{4} \right)$
    Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{4} \right]$ , on construit un rectangle de hauteur $f\left(\dfrac{1}{2} \right)$
    Sur l'intervalle $\left[ \dfrac{3}{4} ; 1 \right]$ , on construit un rectangle de hauteur $f\left( \dfrac{3}{4} \right)$
Cette construction est illustrée ci-dessous.

Bac scientifique Polynésie Française Juin 2013 - terminale : image 1

L'algorithme ci-dessous permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine $\mathscr D$ en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :

Variables :
    $k$ est un nombre entier
    $S$ est un nombre réel
Initialisation :
   Affecter à $S$ la valeur 0
Traitement :
   Pour $k$ variant de 0 à 3
      Affecter à $S$ la valeur $S+\dfrac{1}{4} f\left( \dfrac{k}{4} \right)$
   Fin Pour
Sortie
   Afficher $S$

Donner une valeur approchée à 10^-3 près du résultat affiché par cet algorithme.
    b) Dans cette question, $N$ est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l'intervalle [0 ; 1] en $N$ intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à la question 2.a).
Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des $N$ rectangles ainsi construits.

3. Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(- x - 3) \text{e}^{-x}$ . On admet que $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    a) Calculer l'aire $\mathscr A$ du domaine $\mathscr D$ , exprimée en unités d'aire.
    b) Donner une valeur approchée à 10^-3 près de l'erreur commise en remplaçant $\mathscr A$ par la valeur approchée trouvée au moyen de l'algorithme de la question 2.a), c'est-à-dire l'écart entre ces deux valeurs.

4 points

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. Soit $z_1 = \sqrt{6} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt{2} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}$ . La forme exponentielle de $\text{i} \dfrac{z_1}{z_2}$ est :

a) $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{19\pi}{12}}$

b) $\sqrt{12} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{12}}$

c) $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{7\pi}{12}}$

d) $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{13\pi}{12}}$

2. L'équation $- z = \overline z$ , d'inconnue complexe $z$ , admet :
    a) une solution
    b) deux solutions
    c) une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
    d) une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.

3. Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1 ; 2 ; 3)$ , $B(-1 ; 5 ; 4)$ et $C(-1 ; 0 ; 4)$ . La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :

a) $\begin{cases}x = -2t-1\\y=3t\\z=t+4\end{cases}, t\in \mathbb{R}$

b) $\begin{cases}x=-1\\y=7t\\z=7t+4\end{cases}, t \in \mathbb{R}$

c) $\begin{cases}x=-1-2t\\y=5+3t\\z=4+t\end{cases}, t \in \mathbb{R}$

d) $\begin{cases}x=2t\\y=-3t\\z=-t\end{cases}, t \in \mathbb{R}$

4. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $D(-1 ; 2 ; 3)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}(3 ; -5 ; 1)$ , et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x= t-7 \\ y= t+3 \\ z = 2t+5 \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ .
    a) La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr P$ .
    b) La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathscr P$ et n'a pas de point commun avec le plan $\mathscr P$ .
    c) La droite $\Delta$ et le plan $\mathscr P$ sont sécants.
    d) La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr P$ .

5 points

exercice 3

Les 3 parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
L'ensemble des morceaux musicaux qu'il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante : 30% de musique classique, 45% de variété, le reste étant du jazz. Thomas a utilisé deux qualités d'encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que :
    les $\dfrac{5}{6}$ des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.
    les $\dfrac{5}{9}$ des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.

On considérera les évènements suivants :
    $C$ : «Le morceau écouté est un morceau de musique classique» ;
    $V$ : «Le morceau écouté est un morceau de variété» ;
    $J$ : «Le morceau écouté est un morceau de jazz» ;
    $H$ : «Le morceau écouté est encodé en haute qualité» ;
    $S$ : «Le morceau écouté est encodé en qualité standard».

Partie 1

Thomas décide d'écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction «lecture aléatoire».
On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.

1. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?

2. On sait que $P(H)=\dfrac{13}{20}$ .
a) Les évènements $C$ et $H$ sont-ils indépendants ?
b) Calculer $P(J \cap H)$ et $P_J(H)$ .

Partie 2

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction «lecture aléatoire» de son MP3, 60 morceaux de musique.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95% de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.

2. Thomas a comptabilisé qu'il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction «lecture aléatoire» du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?

Partie 3

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que $X$ suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart-type 20.

On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
$X$ est une variable aléatoire normale d'espérance 200 et d'écart-type 20.

$b$	$P(X \le b)$
140	0,001
150	0,006
160	0,023
170	0,067
180	0,159
190	0,309
200	0,500
210	0,691
220	0,841
230	0,933
240	0,977
250	0,994
260	0,999

On écoute un morceau musical au hasard.

1. Donner une valeur approchée à 10^-3 près de $P(180 \le X \le 220)$ .

2. Donner une valeur approchée à 10^-3 près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivis l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$

1. a) Calculer $u_1$ et $u_2$ .
    b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ , $0 < u_n$ .

2. On admet que pour tout entier naturel $n$ , $u_n<1$ .
    a) Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    b) Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.

3. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ , par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$ .
    a) Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
    b) Exprimer pour tout entier naturel $n$ , $v_n$ en fonction de $n$ .
    c) En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$ .
    d) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivis l'enseignement de spécialité mathématiques

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $a_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la $n$ -ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la $n$ -ième année après 2013.
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$ .

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :
pour tout entier naturel $n$ , $\begin{cases}a_{n+1} = 0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\ b_{n+1} = 0,1a_n + 0,6b_n + 70\end{cases}$ .

On considère les matrices $M = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 60 \\ 70 \end{pmatrix}$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on note $U_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ .

1. a) Déterminer $U_1$ .
    b) Vérifier que, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n+1} = M \times U_n +P$ .

2. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
    a) Calculer $(I - M)\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .
    b) En déduire que la matrice $I-M$ est inversible et préciser son inverse.
    c) Déterminer la matrice $U$ telle que $U = M \times U + P$ .

3. Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n - U$ .
    a) Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $V_{n+1} = M \times V_n$ .
    b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $V_n = M^n \times V_0$ .

4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $V_n = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \end{pmatrix}$
    a) Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $(a_n)$ .
    b) Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.

Voir la correction

EXERCICE 1

$f(x)=(x+2)\text{e}^{-x}$

1-a. Le ou les points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses, s'ils existent, auront pour ordonnées la valeur $0$ .

On résout donc l'équation $f(x)=0$

$f(x)=0\Longleftrightarrow (x+2)\text{e}^{-x}=0$

Or :

$\forall x\in\R, \text{e}^x>0\text{ donc }f(x)=0\Longleftrightarrow x+2=0\Longleftrightarrow x=-2$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'unique point d'intersection de la courbe }\mathcal{C}\text{ avec l'axe des abscisses a donc pour coordonnées }(-2,0).}}}$

Le point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées a pour abscisse la valeur $0$ .

On calcule donc $f(0)$

$f(0)=(0+2)e^{-0}=2\text{e}^0=2\times 1=2$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le point d'intersection de la courbe }\mathcal{C}\text{ avec l'axe des ordonnées a donc pour coordonnées }(0,2).}}$

b. Limite de $f$ en $\pm\infty$

$\underset{x\to-\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to-\infty}{\lim}\underbrace{(x+2)}_{\to -\infty}\underbrace{\text{e}^{-x}}_{\to +\infty}=-\infty$
Donc: $\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to-\infty}{\lim}f(x)=-\infty}}$

$\underset{x\to+\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to+\infty}{\lim}(x+2)\text{e}^{-x} =\underset{x\to+\infty}{\lim}\dfrac{x+2}{\text{e}^x}=\underset{x\to+\infty}{\lim}\dfrac{x}{\text{e}^x}+\dfrac{2}{\text{e}^x}=\underset{x\to+\infty}{\lim}\underbrace{\dfrac{1}{\left(\frac{\text{e}^x}{x}\right)}}_{\to 0}+\underbrace{\dfrac{2}{\text{e}^x}}_{\to 0}=0$
$\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to+\infty}{\lim}f(x)=0\text{, l'axe des abscisses est donc asymptote à la courbe }\mathcal{C}.}}}$

c. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ , et nous avons pour tout réel $x$ :

$f'(x)=\text{e}^{-x}-(x+2)\text{e}^{-x}=\text{e}^{-x}(1-x-2)=-(x+1)\text{e}^{-x}$

On a :
$f'(x)=0\Longleftrightarrow -(x+1)\text{e}^{-x}=0\Longleftrightarrow x+1=0\Longleftrightarrow x=-1$

si $x\leq -1$ , on a $-(x+1)\geq 0\Longrightarrow f'(x)\geq 0$ , $\boxed{\textcolor{blue}{\text{ donc f est croissante sur} ]-\infty;-1]}}$

si $x\geq-1$ , on a $-(x+1)\leq 0\Longrightarrow f'(x)\leq 0$ , $\boxed{\textcolor{blue}{\text{ donc f est décroissante sur} [-1;+\infty[}}$

De plus, on a: $f(-1)=(-1+2)\text{e}^{-(-1)}=\text{e}$ , donc : $\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe admet une tangente horizontale au point de coordonnées }(-1,\text{e}).}}$

On trace le tableau de variation de la fonction $f$ : $\begin{tabvar}{|C|CCCCCC|} \hline x & -\infty && -1 && +\infty & \\ \hline f'(x) & & + & \barre{0} & - & & \\ \hline \niveau{1}{2} f& -\infty & \croit & \text{e} &\decroit & 0 & \\ \hline \end{tabvar}$

2-a. Valeur approchée à 10^-3 près du résultat affiché par l'algorithme.

$\underline{k=0}$

$\begin{array}{cll} \\S&= 0+\dfrac{1}{4}f\left(\dfrac{0}{4}\right)& =\dfrac{1}{4}f(0) \\ & =\dfrac{1}{4}\times 2& =\dfrac{1}{2} \end{array}$

$\to S=\dfrac{1}{2}$

$\underline{k=1}$

$\begin{array}{cll} \\S&= \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}f\left(\dfrac{1}{4}\right)& =\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{9}{4}\text{e}^{-\frac{1}{4}} \\ & =\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}& \end{array}$

$\to S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}$

$\underline{k=2}$

$\begin{array}{cl} \\S&= \dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}+\dfrac{1}{4}f\left(\dfrac{2}{4}\right) \\\\& =\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}+\dfrac{1}{4}f\left(\dfrac{1}{2}\right) \\\\ & =\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}+\dfrac{1}{4}\times\dfrac{5}{2}e^{-\frac{1}{2}} \\\\& =\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}+\dfrac{5}{8}\text{e}^{-\frac{1}{2}} \end{array}$

$\to S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}+\dfrac{5}{8}\text{e}^{-\frac{1}{2}}$

$\underline{k=3}$

$\begin{array}{cl} \\S&= \dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}+\dfrac{5}{8}\text{e}^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{4}f\left(\dfrac{3}{4}\right) \\\\& =\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}+\dfrac{5}{8}\text{e}^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{4}\times\dfrac{11}{4}\text{e}^{-\frac{3}{4}} \\\\ & =\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}+\dfrac{5}{8}\text{e}^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{11}{16}\text{e}^{-\frac{3}{4}} \\\\& \approx 1,642 \end{array}$

$\to S\approx 1,642$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'algorithme donne comme résultat }\mathcal{D}\approx 1,642.}}$

b. L'algorithme sera modifiée de la façon suivante :

$\text{Variables :} \\ \text{..... }k\text{ est un nombre entier} \\ \text{..... }S\text{ est un nombre réel} \\ \text{..... }\textcolor{blue}{N\text{ est un nombre entier}} \\ \text{Initialisation :} \\ \text{..... }\text{Affecter à }S\text{ la valeur }0 \\ \text{..... }\textcolor{blue}{\text{Lire }N} \\ \text{Traitement :} \\ \text{..... }\textcolor{blue}{\text{Pour }k\text{ variant de }0\text{ à }N-1} \\ \text{..... Affecter à }S\text{ la valeur }S=S+\dfrac{1}{N}f\left(\dfrac{k}{N}\right)} \\ \text{Fin pour} \\ \text{Sortie} \\ \text{Afficher }S$

Illustration graphique : (non demandée)

Bac scientifique Polynésie Française Juin 2013 - terminale : image 2

3-a. La fonction $f$ est continue sur $[-1;+\infty[$ , et d'après le tableau de variation ci-dessus, $f$ est positive sur cet intervalle, et puisque $[0;1]$ est inclus dans $[-1;+\infty[$ .
$f$ est continue et positive sur $[0;1]$ et l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en unités d'aire est donnée par l'intégrale suivante: $\mathcal{A}=\displaystyle {\int_0^1}f(x)\text{d}x$

Calcul:
$\mathcal{A}=\displaystyle {\int_0^1}f(x)\text{d}x=[g(x)]_0^1=[(-x-3)\text{e}^{-x}]_0^1=(-1-3)\text{e}^{-1}-(-0-3)\text{e}^0=-\frac{4}{\text{e}}+3$

$\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{A}=3-\frac{4}{\text{e}}\approx 1,528\text{ unités d'aire.}}}$

b) Soit $\Delta$ l'erreur commise, nous avons :

$\Delta=\left| S-\mathcal{A}\right|=\left| \dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}\text{e}^{-\frac{1}{4}}+\dfrac{5}{8}\text{e}^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{11}{16}\text{e}^{-\frac{3}{4}}-(3-\dfrac{4}{e})\right|\approx 0,113$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'erreur commise est donc de 0,113 unité d'aire.}}}$

EXERCICE 2

1. $\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse d}.}}}$

Explications :

$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\sqrt{6}\text{e}^{i\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{3}}} =\sqrt{3}\text{e}^{i\left(\frac{\pi}{4}}+\frac{\pi}{3} \right)}=\sqrt{3}\text{e}^{i\frac{7\pi}{12}}$

Or $i=e^{i\dfrac{\pi}{2}}$ , donc :

$i\dfrac{z_1}{z_2}=\text{e}^{i\frac{\pi}{2}}\times \sqrt{3}\text{e}^{i\frac{7\pi}{12}} =\sqrt{3}\text{e}^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{12} \right)}=\sqrt{3}\text{e}^{i\frac{13\pi}{12}}$

2. $\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse c}.}}}$

Explications :

$-z=\overline {z} \Leftrightarrow -\left(x+iy \right)=x-iy\Leftrightarrow -x-\cancel{iy}=x-\cancel{iy} \Leftrightarrow x=0$

La solution est donc la droite d'équation $x=0$ , c'est à dire l'ensemble des nombres complexes imaginaires purs.

3. $\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse a}.}}}$

Explications :

Une droite parallèle à $(AB)$ possède $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur.

On a $A\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\quad \text{ et } B\begin{pmatrix}-1\\ 5\\ 4\end{pmatrix} \text{ donc } \quad \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\ 3\\ 1\end{pmatrix}$

De plus, cette droite passe par le point $C(-1,0,4)$ . Une représentation paramétrique est donc:

$\left\lbrace\begin{array}l x=-1-2t \\ y=3t \\ z=4+t \end{array}$

4. $\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse b}.}}}$

Explications :

On lit directement de la représentation paramétrique les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite $\Delta$ qu'on notera $\overrightarrow{u}$ : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$
Étudions la position de la droite $\Delta$ par rapport au plan $\mathscr{P}$ , pour cela on calcule le produit scalaire du vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de la droite $\Delta$ avec le vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\ -5\\ 1\end{pmatrix}$ du plan $\mathscr{P}$ .
On a: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=1\times 3+1\times (-5)+2\times 1=0$ , on en tire que $\overrightarrow{u}\text{ et } \overrightarrow{n}$ sont orthogonaux.
Et donc, $\Delta$ et $\mathscr{P}$ sont parallèles. Il reste à vérifier s'ils sont strictement parallèles ou si $\Delta$ est incluse dans $\mathscr{P}$ .
Sachant que $D\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \in\mathscr{P}$ et que $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix}3\\ -5\\ 1\end{pmatrix}$ est normal de $\mathscr{P}$ , on en écrit une équation cartésienne :
$\mathscr{P}:3(x+1)-5(y-2)+z-3=0\Longleftrightarrow \boxed{\mathscr{P}:3x-5y+z+10=0}$
On remplace les $x,y,z$ par leurs expressions de la représentation paramétrique de $\Delta$ pour voir s'ils vérifient l'équation du plan $\mathscr{P}$ :
$3x-5y+z+10=3(t-7)-5(t+3)+(2t+5)+10=3t-21-5t-15+2t+5+10=-21\neq 0$
L'équation du plan n'est pas vérifiée et donc, la droite $\Delta$ n'est pas incluse dans le plan $\mathscr{P}$ .
On conclut que $\Delta // \mathscr{P}$

EXERCICE 3

Partie 1

Comme proposé dans l'énoncé, nous allons établir l'arbre de probabilités :

Bac scientifique Polynésie Française Juin 2013 - terminale : image 3

1. On a:
$C :$ «Le morceau écouté est un morceau de musique classique»
$H :$ «Le morceau écouté est encodé en haute qualité»
Il s'agit donc de calculer $P(C\cap H)$ :
$P(C\cap H)=P(C)\times P_C(H)=0,3\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{4}$

$\boxed{\color{blue}\text{ La probabilité que Thomas écoute un morceau de musique classique encodé en haute qualité est } \dfrac{1}{4}}$

2.a) On vient de trouver dans la 1. que $P(C\cap H)=\dfrac{1}{4}$ .
D'autre part : $P(H)\times P(C)=\dfrac{13}{20}\times 0,3=\dfrac{39}{200}\neq \dfrac{1}{4}$
Il en découle que : $P(C\cap H)\neq P(C)\times P(H)$

On conclut que : $\boxed{\color{blue} \text{ Les événements } C \text{ et } H \text{ ne sont pas indépendants }}$

2.b)

L'ensemble des morceaux musicaux que Thomas possède se divise en trois genres distincts : $C \text{ (Classique) , } V\text{ (Variété) et } J\text{ (Jazz)}$
Donc $C,V\text{ et } J$ constituent une partition de l'univers et on applique la formule : $P(H)=P(C\cap H)+P(V\cap H)+P(J\cap H)$
Ce qui donne :

$\begin{array}{cl} \\P(J\cap H)&=P(H)-P(C\cap H)-P(V\cap H) \\\\&= \dfrac{13}{20}-0,25-\dfrac{4}{9}\times 0,45 \\\\&=\dfrac{13}{20}-\dfrac{9}{20} \\\\&=\boxed{\color{blue}\dfrac{1}{5}} \end{array}$

On a : $P(J\cap H)= P_J(H)\times P(J)$

$\begin{array}{cl} \text{ Donc : }P_J(H)&=\dfrac{P(J\cap H)}{P(J)}\\&=\dfrac{\frac{1}{5}}{0,25}\\&=\dfrac{1}{5}\times {4}\\\\&=\boxed{\color{blue} \dfrac{4}{5}}\end{array}$

Partie 2

1.Thomas écoute un morceau au hasard parmi les $60$ morceaux de son MP3 et $30\%$ de morceaux de musique sont du genre classique.
On a alors $n=60 \text{ et } p=0,3$
On vérifie aisément que $n=60\geq 30$ et $\left\lbrace \begin{array}l np=18\geq 5 \\ n(1-p)=60\times 0,7=42\geq 5 \end{array}$
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil $95\%$ de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60 est donc donné par :

$\begin{array}{cl}\\I&=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \text{ ; } p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \\\\&=\left[0,3-1,96\dfrac{\sqrt{0,3\times 0,7}}{\sqrt{60}} \text{ ; } 0,3+1,96\dfrac{\sqrt{0,3\times 0,7}}{\sqrt{60}} \right] \\\\&\approx \left[0,184\text{ ; }0,416\right] \text{ (Arrondie au millième)} \end{array}$

Résultat : $\boxed{\color{blue}I\approx \left[0,184\text{ ; }0,416\right] }$

2. Thomas a comptabilisé $12$ morceaux de musique classique durant son voyage, la fréquence est donc $\dfrac{12}{60}=0,2$ qui appartient à l'intervalle de fluctuation $I$ $\text{ } \left( \text{ puisque: }0,2\in \left[0,184\text{ ; }0,416\right]\right)$

Conclusion :

$\boxed{\color{blue}\text{On Ne peut PAS penser que la fonction «lecture aléatoire» du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse}}$

Partie 3

1. Calcul de $P(180 \le X \le 220)$
On a :

$\begin{array}{cl} P(180 \le X \le 220)&=P(X\leq 220)-P(X\leq 180)\\\\&= 0,841-0,159 \text{ (Arrondies au millième dans le tableau)}\\\\&= 0,682\end{array}$

Donc : $\boxed{\color{blue} P(180 \le X \le 220)= 0,682\text{ (Arrondie au millième)}}$

2. La probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes, c'est-à-dire plus que $4\times 60=240\text{ secondes}$ , est $P(X\geq 240)$ .

$\begin{array}{cl} P(X\geq 240)&= 1-P(X\leq 240)\\\\&=1-0,977 \text{ (Arrondie au millième dans le tableau)}\\\\&=0,023 \end{array}$

$\boxed{\color{blue}\text{ La probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes est 0,023 (arrondie au millième) }}$

EXERCICE 4 : CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES

1.a)
$u_1=\dfrac{3u_0}{1+2u_0}=\dfrac{3\times \frac{1}{2}}{1+2\times \frac{1}{2}}=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{1}{2}=\boxed{\color{blue}\dfrac{3}{4}}$
$u_2=\dfrac{3u_1}{1+2u_1}=\dfrac{3\times \frac{3}{4}}{1+2\times \frac{3}{4}}=\dfrac{9}{4}\times \dfrac{2}{5}=\boxed{\color{blue}\dfrac{9}{10}}$

1.b) Montrons par récurrence que $\text{ : Pour tout entier }n \text{ de }\mathbb{N} \text{ : } u_n>0$

Soit la propriété $\mathcal{P}(n)\text{ : } u_n>0$

Initialisation : On a : $u_0=\dfrac{1}{2}>0$
Donc $\mathcal{P}(0)\text{ : } u_0>0$ est bien vérifiée.

Hérédité : Supposons que pour un entier $k$ donné on a : $\mathcal{P}(k)\text{: }u_k>0$ est vraie.
Montrons que dans ce cas, $\mathcal{P}(k+1)\text{ : }u_{k+1}>0$ est vraie.
On a $u_k>0$ , donc directement : $3u_k>0 \text{ et } 1+2u_k>0$
Il s'ensuit que $\dfrac{3u_k}{1+2u_k}>0$ comme quotient de deux nombres positifs.
Ce qui veut dire que $\mathcal{P}(k+1)\text{: }u_{k+1}>0$ est bien vraie.
La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0, or elle est héréditaire, donc elle est vraie au rang 1, et de proche en proche, elle est toujours vraie.

Par récurrence : $\boxed{\color{blue}\text{ Pour tout entier }n \text{ de }\mathbb{N} \text{ : } u_n>0 }$

2.a) On a : $\forall n\in\mathbb{N}\text{ : }\dfrac{u_{n+1}}{u_n} =\dfrac{3}{2u_n+1}$
On a, d'après l'énoncé : $\forall n\in\mathbb{N}\text{ : }u_n<1$

$\begin{array}{cl} \\\forall n\in\mathbb{N}\text{ : } u_n<1&\Longleftrightarrow 2u_n+1<3 \\&\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2u_n+1}>\dfrac{1}{3} \text{ (car } 2u_n+1 \text{ est positif pour tout entier n)}\\&\Longleftrightarrow \dfrac{3}{2u_n+1}>1\\&\Longleftrightarrow \dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1\end{array}$
On en déduit que : $\forall n\in\mathbb{N}\text{ : }u_{n+1}>u_n$

Conclusion : $\boxed{\color{blue}\text{ La suite } (u_n) \text{ est croissante }}$

2.b) La suite $(u_n)$ est croissante d'après la question précédente, de plus, elle est majorée par $1$ .

On en déduit directement que : $\boxed{\color{blue}\text{La suite } (u_n) \text{ est convergente}}$

3.a) On a pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}$ :

$\begin{array}{cll} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}}&=u_{n+1}\times \dfrac{1}{1-u_{n+1}}\\\\&=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}\times \dfrac{1}{1-\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}&=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}\times\dfrac{1+2u_n}{1+2u_n-3u_n}\\\\&=\dfrac{3u_n}{1-u_n}&=3\times\dfrac{u_n}{1-u_n}\\\\&=3v_n&\end{array}$

Donc, pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}\text{ : } v_{n+1}=3v_n$

Conclusion : $\boxed{\color{blue}\text{ La suite } (v_n) \text{ est une suite géométrique de raison 3}}$

3.b) Puisque $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ , donc, pour tout entier naturel $n\text{ : } v_n=v_0\times 3^n$
Or, $v_0=\dfrac{u_0}{1-u_0}=\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$

Il s'ensuit : $\boxed{\color{blue} \forall n\in\mathbb{N}\text{ : }v_n=3^n}$

3.c) Pour tout entier naturel $n$ , on a:

$\begin{array}{cl} v_n=\dfrac{u_n}{1-u_n}&\Longleftrightarrow v_n \times (1-u_n)=u_n \\\\&\Longleftrightarrow 3^n(1-u_n)=u_n \\\\&\Longleftrightarrow 3^n=3^nu_n+u_n \\\\&\Longleftrightarrow 3^n=(3^n+1)u_n\\\\&\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{3^n}{3^n+1}\end{array}$

Donc : $\boxed{\color{blue} \forall n\in\mathbb{N}\text{ : }u_n=\dfrac{3^n}{3^n+1}}$

3-d) On a :
$\underset{n\to+\infty}{\lim}u_n=\underset{n\to+\infty}{\lim}\dfrac{3^n}{1+3^n}=\underset{n\to+\infty}{\lim}\dfrac{1}{\dfrac{1}{3^n}+1}=\underset{n\to+\infty}{\lim}\dfrac{1}{\underbrace{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}_{\to 0}+1}=1$

Conclusion : $\boxed{\color{blue}\underset{n\to+\infty}{\lim}u_n=1 \text{ et la suite }(u_n) \text{ converge vers 1}}$

EXERCICE 4 : CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES

1-a) On a : $U_1= \begin{pmatrix}a_1 \\b_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,7a_0 + 0,2b_0 + 60 \\0,1a_0 + 0,6b_0 + 70 \end{pmatrix}$
En remplaçant $a_0$ et $b_0$ par leurs valeurs données : $a_0 = b_0 = 300$ , on obtient :

$U_1 =\begin{pmatrix}0,7\times300 + 0,2\times 300 + 60 \\0,1\times 300 + 0,6\times 300 + 70 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}330 \\280 \end{pmatrix}$

$\boxed{\color{blue} U_1=\begin{pmatrix}330 \\280 \end{pmatrix}}$

1-b) On a, pour tout entier naturel $n$ de $\mathbb{N}\text{ : }$

$\begin{array}{cl} M\times U_n + P&=\begin{pmatrix}0,7&0,2 \\0,1&0,6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n \\b_n \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}60 \\70 \end{pmatrix} \\\\&= \begin{pmatrix}0,7a_n+0,2b_n \\0,1a_n+0,6b_n \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}60 \\70 \end{pmatrix} \\\\&=\begin{pmatrix}0,7a_n+0,2b_n +60\\0,1a_n+0,6b_n+70 \end{pmatrix} \\\\&=\begin{pmatrix}a_{n+1} \\b_{n+1} \end{pmatrix} \\\\&=U_{n+1} \end{array}$

On en déduit que : $\boxed{\color{blue} \text{ Pour tout entier naturel n : } U_{n+1}=M\times U_n+P }$

2-a) Calcul :

$\begin{array}{cl}(I-M)\times\begin{pmatrix}4&2 \\1&3 \end{pmatrix}&=\left[\begin{pmatrix}1&0 \\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0,7&0,2 \\0,1&0,6\end{pmatrix}\right]\times \begin{pmatrix}4&2 \\1&3\end{pmatrix} \\\\&= \begin{pmatrix}0,3&-0,2 \\-0,1&0,4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4&2 \\1&3 \end{pmatrix} \\\\&=\begin{pmatrix}0,3\times 4 -0,2\times 1&0,3\times 2 -0,2\times 3\\-0,1\times4+0,4\times 1 &-0,1\times 2+0,4\times 3 \end{pmatrix} \\\\&=\begin{pmatrix}1&0 \\0&1 \end{pmatrix} \\\\&=I \end{array}$

Conclusion : $\boxed{\color{blue} (I-M)\times\begin{pmatrix}4&2 \\1&3 \end{pmatrix}=I}$

2-b) Puisque $(I-M)\times\begin{pmatrix}4&2 \\1&3 \end{pmatrix}=I$

Alors, on a directement : $\boxed{\color{blue}\text{ La matrice } I-M \text{ est inversible et son inverse est la matrice } \begin{pmatrix}4&2 \\1&3 \end{pmatrix} }$

2-c) Détermination de la matrice $U$ vérifiant $U = M \times U + P$ .

$\begin{array}{cl} U = M \times U + P&\Longleftrightarrow U-M\times U = P \\\\&\Longleftrightarrow (I-M)\times U = P \\\\&\Longleftrightarrow U =(I-M)^{-1}\times P \text{ (Puisque la matrice } I-M \text{ est inversible ) } \\\\&\Longleftrightarrow U=\begin{pmatrix}4&2 \\1&3 \end{pmatrix}\times P \text{ (D'après la question précédente) } \\\\&\Longleftrightarrow U=\begin{pmatrix}4&2 \\1&3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 60\\70 \end{pmatrix} \\\\&\Longleftrightarrow U=\begin{pmatrix}4\times 60 + 2\times 70 \\1\times 60 + 3\times 70 \end{pmatrix} \\\\&\Longleftrightarrow \boxed{\color{blue} U=\begin{pmatrix}380\\270 \end{pmatrix}} \end{array}$

3.a) On a pour tout $n$ appartenant à $\mathbb{N}\text{ : }$

$\begin{array}{cl} V_{n+1}&=\color{magenta}U_{n+1}\color{black}-\color{red}U \\&=\color{magenta}\left(M\times U_n+P\right)\color{black} -\color{red}\left(M\times U+P\right) \\&=M\times U_n +P-M\times U-P \\&=M\times U_n -M\times U \\&=M\times(U_n-U) \\&=M\times V_n \end{array}$

Conclusion : $\boxed{\color{blue} \text{Pour tout n de } \mathbb{N} \text{ : } V_{n+1}=M\times V_n}$

3.b) Montrons par récurrence que $\text{ : Pour tout entier }n \text{ de }\mathbb{N} \text{ : } V_n=M^n\times V_0$

Soit la propriété $\mathcal{P}(n)\text{ : } V_n=M^n\times V_0$

Initialisation : On a: $M^0\times V_0=I\times V_0=V_0$
Donc $\mathcal{P}(0)\text{: } V_0=M^0\times V_0$ est bien vérifiée.

Hérédité : Supposons que pour un entier $k$ donné on a : $\mathcal{P}(k)\text{: }V_k=M^k\times V_0$ est vraie.
Montrons que dans ce cas, $\mathcal{P}(k+1)\text{ : }V_{k+1}=M^{k+1}\times V_0$ est vraie.
On a, d'après la question précédente : $V_{k+1}=M\times V_k$ , donc :

$\begin{array}{cl} V_{k+1}&=M\times \color{magenta} V_k \color{black}\\&= M\times \color{magenta} \left(M^k\times V_0\right) \color{black}\\&=M\times M^k\times V_0\\&=M^{k+1}\times V_0\end{array}$
Ce qui veut dire que $\mathcal{P}(k+1)\text{ : }V_{k+1}=M^{k+1}\times V_0$ est bien vraie.
La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : On a démontré que la proposition était vraie au rang 0, or elle est héréditaire, donc elle est vraie au rang 1 et de proche en proche elle est toujours vraie

Par récurrence, on a $\boxed{\color{blue}\text{ Pour tout entier }n \text{ de }\mathbb{N} \text{ : } V_n=M^n\times V_0 }$

4.a) On a, pour tout entier naturel $n$ :

$\begin{array}{cl} V_n=U_n-U&\Longleftrightarrow U_n=V_n+U \\\\&\Longleftrightarrow U_n=\begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}380\\270 \end{pmatrix} \\\\&\Longleftrightarrow \boxed{\color{blue} U_n=\begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n +380\\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n +270\end{pmatrix}} \end{array}$

Calcul de la limite de $(a_n)$
La matrice $U_n$ étant définie pour tout entier naturel $n$ , par $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\end{pmatrix}$ , on en tire que:
$a_n=\dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n +380$
Donc: $\underset{n\to+\infty}{\lim } a_n=\underset{n\to+\infty}{\lim }\dfrac{-100}{3}\times \underbrace{0,8^n}_{\to 0} - \dfrac{140}{3} \times \underbrace{0,5^n}_{\to 0} +380=380$
Conclusion : $\boxed{\color{blue} \underset{n\to+\infty}{\lim } a_n=380 }$

4.b) En assimilant le "long terme" à l'infini, et en sachant que $a_n$ représente le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la n-ième année après 2013 et que $\underset{n\to+\infty}{\lim } a_n=380$
On déduit que : $\boxed{\color{blue} \text{ Le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme sera 380.000} }$
Merci à Panter pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche

Publié par malou le 20-11-2017

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