Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
6 points
exercice 1
On considère la fonction définie sur par
.
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal.
1. Étude de la fonction .
a) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec les axes du repère.
b) Étudier les limites de la fonction en et en . En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe .
c) Étudier les variations de sur .
2. Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe.
On note le domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation et . On approche l'aire du domaine en calculant une somme d'aires de rectangles.
a) Dans cette question, on découpe l'intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur :
Sur l'intervalle , on construit un rectangle de hauteur
Sur l'intervalle , on construit un rectangle de hauteur
Sur l'intervalle , on construit un rectangle de hauteur
Sur l'intervalle , on construit un rectangle de hauteur
Cette construction est illustrée ci-dessous.
L'algorithme ci-dessous permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :
Variables :
est un nombre entier
est un nombre réel
Initialisation :
Affecter à la valeur 0
Traitement :
Pour variant de 0 à 3
Affecter à la valeur
Fin Pour
Sortie
Afficher
Donner une valeur approchée à 10-3 près du résultat affiché par cet algorithme.
b) Dans cette question, est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l'intervalle [0 ; 1] en intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à la question 2.a).
Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des rectangles ainsi construits.
3. Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe.
Soit la fonction définie sur par
.
On admet que est une primitive de la fonction sur .
a) Calculer l'aire du domaine , exprimée en unités d'aire.
b) Donner une valeur approchée à 10-3 près de l'erreur commise en remplaçant par la valeur approchée trouvée au moyen de l'algorithme de la question 2.a), c'est-à-dire l'écart entre ces deux valeurs.
4 points
exercice 2
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1. Soit et . La forme exponentielle de est :
a)
b)
c)
d)
2. L'équation , d'inconnue complexe , admet :
a) une solution
b) deux solutions
c) une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
d) une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
3. Dans un repère de l'espace, on considère les trois points , et . La droite parallèle à la droite passant par le point a pour représentation paramétrique :
a)
b)
c)
d)
4. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan passant par le point et de vecteur normal , et la droite de représentation paramétrique .
a) La droite est perpendiculaire au plan .
b) La droite est parallèle au plan et n'a pas de point commun avec le plan .
c) La droite et le plan sont sécants.
d) La droite est incluse dans le plan .
5 points
exercice 3
Les 3 parties peuvent être traitées de façon indépendante.
Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
L'ensemble des morceaux musicaux qu'il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :
30% de musique classique, 45% de variété, le reste étant du jazz.
Thomas a utilisé deux qualités d'encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que :
les des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.
les des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.
On considérera les évènements suivants :
: «Le morceau écouté est un morceau de musique classique» ;
: «Le morceau écouté est un morceau de variété» ;
: «Le morceau écouté est un morceau de jazz» ;
: «Le morceau écouté est encodé en haute qualité» ;
: «Le morceau écouté est encodé en qualité standard».
Partie 1
Thomas décide d'écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction «lecture aléatoire».
On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.
1. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?
2. On sait que .
a) Les évènements et sont-ils indépendants ?
b) Calculer et .
Partie 2
Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction «lecture aléatoire» de son MP3, 60 morceaux de musique.
1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95% de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.
2. Thomas a comptabilisé qu'il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction «lecture aléatoire» du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?
Partie 3
On considère la variable aléatoire qui, à chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart-type 20.
On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
est une variable aléatoire normale d'espérance 200 et d'écart-type 20.
140
0,001
150
0,006
160
0,023
170
0,067
180
0,159
190
0,309
200
0,500
210
0,691
220
0,841
230
0,933
240
0,977
250
0,994
260
0,999
On écoute un morceau musical au hasard.
1. Donner une valeur approchée à 10-3 près de .
2. Donner une valeur approchée à 10-3 près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivis l'enseignement de spécialité mathématiques
On considère la suite définie par et telle que pour tout entier naturel ,
1. a) Calculer et .
b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel , .
2. On admet que pour tout entier naturel , .
a) Démontrer que la suite est croissante.
b) Démontrer que la suite converge.
3. Soit la suite définie, pour tout entier naturel , par .
a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 3.
b) Exprimer pour tout entier naturel , en fonction de .
c) En déduire que, pour tout entier naturel , .
d) Déterminer la limite de la suite .
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivis l'enseignement de spécialité mathématiques
Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés.
Pour tout entier naturel , on note le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la -ième année après 2013, et le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la -ième année après 2013.
Ainsi, et .
Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :
pour tout entier naturel ,.
On considère les matrices et .
Pour tout entier naturel , on note .
1. a) Déterminer .
b) Vérifier que, pour tout entier naturel , .
2. On note la matrice .
a) Calculer .
b) En déduire que la matrice est inversible et préciser son inverse.
c) Déterminer la matrice telle que .
3. Pour tout entier naturel, on pose .
a) Justifier que, pour tout entier naturel , .
b) En déduire que, pour tout entier naturel , .
4. On admet que, pour tout entier naturel ,
a) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de et en déduire la limite de la suite .
b) Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.
1-a. Le ou les points d'intersection de avec l'axe des abscisses, s'ils existent, auront pour ordonnées la valeur .
On résout donc l'équation
Or :
Le point d'intersection de avec l'axe des ordonnées a pour abscisse la valeur .
On calcule donc
b. Limite de en
Donc:
c. La fonction est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur , et nous avons pour tout réel :
On a :
si , on a ,
si , on a ,
De plus, on a: , donc :
On trace le tableau de variation de la fonction :
2-a. Valeur approchée à 10-3 près du résultat affiché par l'algorithme.
b. L'algorithme sera modifiée de la façon suivante :
Illustration graphique : (non demandée)
3-a. La fonction est continue sur , et d'après le tableau de variation ci-dessus, est positive sur cet intervalle, et puisque est inclus dans .
est continue et positive sur et l'aire du domaine en unités d'aire est donnée par l'intégrale suivante:
Calcul:
b) Soit l'erreur commise, nous avons :
EXERCICE 2
1.
Explications :
Or , donc :
2.
Explications :
La solution est donc la droite d'équation , c'est à dire l'ensemble des nombres complexes imaginaires purs.
3.
Explications :
Une droite parallèle à possède comme vecteur directeur.
On a
De plus, cette droite passe par le point . Une représentation paramétrique est donc:
4.
Explications :
On lit directement de la représentation paramétrique les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite qu'on notera :
Étudions la position de la droite par rapport au plan , pour cela on calcule le produit scalaire du vecteur directeur de la droite avec le vecteur normal du plan .
On a: , on en tire que sont orthogonaux.
Et donc, et sont parallèles. Il reste à vérifier s'ils sont strictement parallèles ou si est incluse dans .
Sachant que et que est normal de , on en écrit une équation cartésienne :
On remplace les par leurs expressions de la représentation paramétrique de pour voir s'ils vérifient l'équation du plan :
L'équation du plan n'est pas vérifiée et donc, la droite n'est pas incluse dans le plan .
On conclut que
EXERCICE 3
Partie 1
Comme proposé dans l'énoncé, nous allons établir l'arbre de probabilités :
1. On a:
«Le morceau écouté est un morceau de musique classique»
«Le morceau écouté est encodé en haute qualité»
Il s'agit donc de calculer :
2.a) On vient de trouver dans la 1. que .
D'autre part :
Il en découle que :
On conclut que :
2.b)
L'ensemble des morceaux musicaux que Thomas possède se divise en trois genres distincts :
Donc constituent une partition de l'univers et on applique la formule :
Ce qui donne :
On a :
Partie 2
1.Thomas écoute un morceau au hasard parmi les morceaux de son MP3 et de morceaux de musique sont du genre classique.
On a alors
On vérifie aisément que et
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60 est donc donné par :
Résultat :
2. Thomas a comptabilisé morceaux de musique classique durant son voyage, la fréquence est donc qui appartient à l'intervalle de fluctuation
Conclusion :
Partie 3
1. Calcul de
On a :
Donc :
2. La probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes, c'est-à-dire plus que , est .
EXERCICE 4 : CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES
1.a)
1.b) Montrons par récurrence que
Soit la propriété
Initialisation : On a :
Donc est bien vérifiée.
Hérédité : Supposons que pour un entier donné on a : est vraie.
Montrons que dans ce cas, est vraie.
On a , donc directement :
Il s'ensuit que comme quotient de deux nombres positifs.
Ce qui veut dire que est bien vraie.
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0, or elle est héréditaire, donc elle est vraie au rang 1,
et de proche en proche, elle est toujours vraie.
Par récurrence :
2.a) On a :
On a, d'après l'énoncé :
On en déduit que :
Conclusion :
2.b) La suite est croissante d'après la question précédente, de plus, elle est majorée par .
On en déduit directement que :
3.a) On a pour tout entier de :
Donc, pour tout entier de
Conclusion :
3.b) Puisque est une suite géométrique de raison , donc, pour tout entier naturel
Or,
Il s'ensuit :
3.c) Pour tout entier naturel , on a:
Donc :
3-d) On a :
Conclusion :
EXERCICE 4 : CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES
1-a) On a :
En remplaçant et par leurs valeurs données : , on obtient :
1-b) On a, pour tout entier naturel de
On en déduit que :
2-a) Calcul :
Conclusion :
2-b) Puisque
Alors, on a directement :
2-c) Détermination de la matrice vérifiant .
3.a) On a pour tout appartenant à
Conclusion :
3.b) Montrons par récurrence que
Soit la propriété
Initialisation : On a:
Donc est bien vérifiée.
Hérédité : Supposons que pour un entier donné on a : est vraie.
Montrons que dans ce cas, est vraie.
On a, d'après la question précédente : , donc :
Ce qui veut dire que est bien vraie.
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : On a démontré que la proposition était vraie au rang 0, or elle est héréditaire, donc elle est vraie au rang 1
et de proche en proche elle est toujours vraie
Par récurrence, on a
4.a) On a, pour tout entier naturel :
Calcul de la limite de La matrice étant définie pour tout entier naturel , par , on en tire que:
Donc:
Conclusion :
4.b) En assimilant le "long terme" à l'infini, et en sachant que représente le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la n-ième année après 2013 et que
On déduit que :
Merci à Panter pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche
Publié par malou
le
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Merci à Jedoniezh pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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