Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Juin 2013 - Métropole
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Les calculatrices de poche sont autorisés conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent de l'horticulteur H1, 25% de l'horticulteur H2 et le reste de l'horticulteur H3.
Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l'horticulteur H1 comporte 80% de conifères alors que celle de l'horticulteur H2 n'en comporte que 50% et celle de l'horticulteur H3 seulement 30%.
1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les évènements suivants :
H1 : "l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H1",
H2 : "l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H2",
H3 : "l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H3",
C : "l'arbre choisi est un conifère",
F : "l'arbre choisi est un arbre feuillu".
a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
b) Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H3.
c) Justifier que la probabilité de l'évènement C est égale à 0,525.
d) L'arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H1 ? On arrondira à 10-3.
2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.
On appelle la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
a) Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10-3.
c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à 10-3.
7 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé , la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable
sur l'intervalle .
On dispose des informations suivantes :
les points ont pour coordonnées respectives (1,0), (1,2), (0,2) ;
la courbe passe par le point et la droite est tangente à en ;
il existe deux réels positifs et tels que pour tout réel strictement positif , .
1. a) En utilisant le graphique, donner les valeurs de et .
b) Vérifier que pour tout réel strictement positif , .
c) En déduire les réels et .
2. a) Justifier que pour tout réel appartenant à l'intervalle , a le même signe que .
b) Déterminer les limites de en 0 et . On pourra remarquer que pour tout réel strictement positif, .
c) En déduire le tableau de variations de la fonction .
3. a) Démontrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle ]0 , 1].
b)Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel de l'intervalle tel que .
Déterminer l'entier tel que .
4. On donne l'algorithme ci-dessous.
a) Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
b) Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
c) Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de d'amplitude 10-1.
5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe partage le rectangle en deux domaines d'aires égales.
a) Justifier que cela revient à démontrer que .
b) En remarquant que l'expression de peut s'écrire , terminer la démonstration.
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
1.Proposition 1 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points dont l'affixe vérifie l'égalité est une droite.
2.Proposition 2 : Le nombre complexe est un nombre réel.
3. Soit un cube.
Proposition 3 : Les droites et sont orthogonales.
4. L'espace est muni d'un repère orthonormé . Soit le plan d'équation cartésienne .
On note le point de coordonnées (1 , -2 , -2).
Proposition 4 : La droite qui passe par et qui est perpendiculaire au plan a pour représentation paramétrique
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Soit la suite numérique définie sur par :
et pour tout entier naturel
1. a) Calculer et . On pourra en donner des valeurs approchées à 10-2 près.
b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2. a) Démontrer que pour tout entier naturel .
b) Démontrer que pour tout entier naturel .
c) En déduire une validation de la conjecture précédente.
3. On désigne par la suite définie sur par .
a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison .
b) En déduire que pour tout entier naturel .
c) Déterminer la limite de la suite .
4. Pour tout entier non nul , on pose :
et
a) Exprimer en fonction de .
b) Déterminer la limite de la suite .
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70% résidaient à la campagne et 30% en ville.
L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :
l'effectif de la population est globalement constant,
chaque année, 5% de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1% de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
Pour tout entier naturel , on note le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1er janvier de l'année et le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.
1. Pour tout entier naturel , exprimer et en fonction de et .
2. Soit la matrice .
On pose où et sont deux réels fixés et .
Déterminer, en fonction de et , les réels et tels que .
Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel où . On peut donc en déduire que pour tout entier naturel .
3. Soient les matrices et .
a) Calculer et . En déduire la matrice en fonction de .
b) Vérifier que la matrice est une matrice diagonale que l'on précisera.
c) Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal 1, .
4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que :
Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
2. a) On a une succession de 10 expériences aléatoires identiques et indépendantes, chacune d'elles a deux issues :
réussite : l'arbre prélevé est un conifère (p = 0,525)
échec : l'arbre prélevé n'est pas un conifère (q = 0,475)
donc suit une loi binomiale de paramètres (10 ; 0,525).
2. b)
2. c) Si l'échantillon comporte au moins deux arbres feuillus (donc de 2 à 10 feuillus), il a alors entre 0 et 8 conifères.
exercice 2 - Commun à tous les candidats
1. a) est l'ordonnée de B donc et est le coefficient directeur de la tangente en B, or cette tangente est horizontale donc
1. b)
Donc
Pour tout réel strictement positif ,
1. c) et donc
donc donc .
2. a) donc donc pour tout réel appartenant à l'intervalle , a le même signe que .
2. b) or et donc
Pour tout réel strictement positif,
Or et donc
2. c)
3. a) La fonction est définie continue strictement croissante sur ]0 ; 1], et
donc l'équation admet une unique solution sur l'intervalle ]0 ; 1].
3. b) et donc et .
Il existe un unique réel de l'intervalle tel que donc .
4. a)
4. b) .
4. c) On cherche tel que .
est décroissante sur donc pour tout de , si alors
et si alors
Si , comme est décroissante sur alors donc
prendra la valeur dans le cas contraire donc , prendra la valeur .
5. a) Le rectangle OABC a pour aire OA × OC = 1 × 2 = 2
La fonction est positive sur , donc l’aire du domaine limité par la courbe de , l’axe des abscisses, les droites d’équation et est .
Cette aire doit être la moitié de l'aire du rectangle donc il faut montrer que
5. b) , donc une primitive de est la fonction définie sur par
donc .
Or donc donc
, l'aire du domaine limité par la courbe de , l'axe des abscisses, les droites d'équation et est la moitié de l'aire du rectangle OABC.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1.Proposition 1 : VRAI Soit les points A d’affixe i, B d’affixe - 1 et M d’affixe ,
AM = BM M appartient à la médiatrice de [AB].
2.Proposition 2 : FAUX
donc
Autre méthode : donc
3.Proposition 3 : VRAI EC = EF + FC donc EC.BG = EF.BG + FC.BG
La droite (EF) est perpendiculaire au plan (BCG) et orthogonale à la droite (BG) donc EF.BG = 0.
Les diagonales (BG) et (CF) du carré BCGF sont perpendiculaires donc FC.BG = 0 donc EC.BG = 0.
4.Proposition 4 : VRAI P est le plan d’équation cartésienne donc est un vecteur normal à P.
Soit la droite de représentation paramétrique , est un vecteur directeur de donc est perpendiculaire à P.
Le point de de paramètre -1 a pour coordonnées (1 ; - 2 ; - 2) donc S appartient à donc est la droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan P.
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. a) soit environ 2,33.
2. b) Cette suite semble être croissante.
2. a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel
Initialisation : donc la propriété est vérifiée pour .
Hérédité : Montrons que pour tout entier naturel , si alors .
or donc soit soit
or donc
La propriété est héréditaire donc pour tout entier naturel .
2. b) Pour tout entier naturel
donc
donc : .
2. c) or pour tout entier naturel donc donc
La suite est croissante.
3. a) donc la suite est une suite géométrique de raison .
donc pour tout entier naturel
3. b) donc donc pour tout entier naturel .
3. c) donc donc
4. a) donc
La suite est une suite géométrique de raison donc
(somme des premiers termes d’une suite arithmétique de raison 1 de premier terme 0).
donc
On pouvait retrouver ces résultats en refaisant la démonstration :
En posant et alors
donc
donc
donc
donc ,
4. b)
donc
et donc
donc
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. et
2. donc et
3. a) donc .
3. b) donc
3. c) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, .
Initialisation : , donc donc
La propriété est vérifiée pour .
Hérédité : Montrons que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, si alors .
donc .
La propriété est héréditaire donc pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, .
4. -1 < 0,94 < 1 donc donc
Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants donc donc
La répartition de la population de cette région à long terme sera donc de dans les villes et dans les campagnes soit 1 habitant dans les villes pour 5 dans les campagnes.
Publié par david9333/Cherchell
le
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Merci à Cherchell / david9333 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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