Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information.
Session Avril 2013 - Pondichéry

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Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1

Une entreprise de textile emploie 300 personnes dans le secteur confection.
Il est composé de trois ateliers.
L'atelier de stylisme est constitué de 50 personnes. L'atelier de découpe est constitué de 100 personnes. Le reste du personnel travaille dans l'atelier de couture.
Après une étude sur l'absentéisme, le directeur des ressources humaines a constaté que sur une année :
    30% des stylistes ont eu au moins une absence ;
    15% du personnel de découpe ont eu au moins une absence ;
    90% du personnel de l'atelier de couture n'ont pas eu d'absence.
On choisit une personne au hasard dans cette entreprise et l'on admet que chaque personne a la même probabilité d'être choisie.
On note :
S l'évènement : «la personne choisie travaille à l'atelier de stylisme» ;
D l'évènement : «la personne choisie travaille à l'atelier de découpe» ;
C l'évènement :«la personne choisie travaille à l'atelier de couture» ;
A l'évènement :«la personne choisie a eu au moins une absence».
Si M et N sont deux évènements, on note \overline{M} l'évènement contraire de l'évènement M et p_{N}(M) la probabilité de l'évènement M sachant N.

1. Déduire des informations de l'énoncé :
    a) Les probabilités p(S), p(D) et p(C) des évènements S, D et C.
    b) Les probabilités p_{S}(A), p_{D}(A) et p_{C}\left(\overline{A}\right).

2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

3. Calculer la probabilité de l'évènement S \cap A, notée p(S \cap A).

4. Démontrer que p(A) = 0,15.

5. On sait que la personne choisie a eu au moins une absence cette année.
Quelle est la probabilité que cette personne soit un styliste ?


5 points

exercice 2

Le tableau ci-dessous retrace l'évolution sur vingt ans du record du monde du 100m en athlétisme chez les hommes.
 AnnéeRang de l'année \left(x_{i}\right)Temps en seconde \left(y_{i}\right)
Carl Lewis198809,92
Carl Lewis199139,86
Leroy Burrell199469,85
Donovan Bailey199689,84
Maurice Greene1999119,79
Asafa Powell2005179,77
Asafa Powell2007199,74
Usain Bolt2008209,69


1. a) Calculer le taux d'évolution du temps du record du monde du 100 m en athlétisme chez les hommes entre 1988 et 2008. Arrondir le résultat à 0,01 %.
    b) Sur les 20 années de 1988 à 2008, montrer que le temps du record du monde à l'épreuve du 100 m en athlétisme chez les hommes a baissé chaque année en moyenne de 0,117%.

2. Une représentation du nuage de points associé à la série statistique à deux variables \left(x_{i} ; y_{i}\right) est donnée dans un repère orthogonal en annexe à rendre avec la copie.
    a) À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 10-4.
Pour la suite de l'étude, on retient comme ajustement affine la droite \Delta d'équation y = - 0,01x + 9,91.
    b) Tracer la droite \Delta dans le repère figurant en annexe.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry Avril 2013 - terminale : image 1

    c) En utilisant ce modèle d'ajustement, à quel temps peut-on estimer le record du monde du 100 m chez les hommes en 2009 ?
    d) En août 2009, Usain Bolt a battu son propre record en courant le 100 m en 9,58 s. Calculer le pourcentage d'erreur commise lors de l'ajustement par rapport au temps réel du record.
Commenter.


6 points

exercice 3

Soit f et g deux fonctions définies sur l'intervalle [1 ; 8]. Les courbes C_{f} et C_{g}, représentant les fonctions f et g, sont données dans le repère ci-dessous.
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Une entreprise vend sur le marché un article.

On rappelle que l'offre est la quantité d'articles que l'entreprise désire vendre sur le marché en fonction du prix et la demande est la quantité d'articles que les consommateurs veulent et peuvent acheter en fonction du prix.

Après une étude de marché, l'entreprise a modélisé l'offre par la fonction f et la demande par la fonction g : le prix unitaire x de l'article étant exprimé en euros, le nombre d'articles offerts en milliers est égal à f(x) et le nombre d'articles demandés en milliers est égal à g(x), avec x \in [1 ; 8].

Partie A : lectures graphiques

1. Déterminer le nombre d'articles qui seraient demandés lorsque le prix unitaire est fixé à 2 €.

2. Déterminer le nombre d'articles que peut offrir l'entreprise lorsque le prix unitaire est fixé à 5 €.
Dans ce cas, l'entreprise peut-elle espérer vendre tous les articles qu'elle aura fabriqués ? Justifier.

3. Déterminer le prix d'équilibre de l'article c'est-à-dire la valeur de x pour laquelle f(x) = g(x).

Partie B :

La fonction f est définie sur l'intervalle [1 ; 8] par : f(x) = 10 \text{e}^{0,6 x}.

1. On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [1 ; 8] et on note f' sa fonction dérivée.
Calculer f'(x).

2. Étudier le signe de f'(x) sur l'intervalle [1 ; 8] .

3. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [1 ; 8].

Partie C :

On se propose de déterminer, à l'aide d'un tableur, le prix d'équilibre.
Ci-dessous, un extrait d'une feuille de calcul, donne les valeurs de f(x), celles de g(x) et celles de g(x)- f(x), pour x variant de 3,05 à 3,20 au pas de 0,01.
Avec ce tableur, la fonction exponentielle se note EXP( ) et pour les colonnes B, C et D le format d'affichage numérique est à trois décimales.

1. Donner une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B2 : B17.

2. Donner une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules D2 : D17.

3. Donner un encadrement du prix d'équilibre (arrondir au centime d'euro).
 ABCD
1xf(x)g(x)g(x)- f(x)
23,0562,33970,9478,608
33,0662,71470,4527,738
43,0763,09169,9606,869
53,0863,47169,4726,001
63,0963,85368,9885,135
73,1064,23768,5074,269
83,1164,62468,0293,405
93,1265,01367,5542,541
103,1365,40467,0831,679
113,1465,79866,6150,817
123,1566,19466,150- 0,043
133,1666,59265,689- 0,903
143,1766,99365,231- 1,762
153,1867,39664,776- 2,620
163,1967,80264,324- 3,478
173,2068,21063,875- 4,334



4 points

exercice 4

Cet exercice est un test vrai/faux.
Pour chacune des quatre propositions, relever le numéro de la proposition et dire si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse enlève 0,5 point; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.


Un restaurateur décide de créer une terrasse afm d'accueillir davantage de clients pendant la saison estivale. Il a donc besoin de mobilier de jardin. Il prévoit deux modèles, l'un noir et l'autre blanc.
Pour un modèle noir, le lot d'une valeur de 1 600 € comprend une table, deux chaises et deux fauteuils.
Pour un modèle blanc, le lot d'une valeur de 2 400 € comprend une table, six chaises et un fauteuil.
Le projet du restaurateur est de disposer d'au moins 42 chaises et 15 fauteuils.
Soit x le nombre de lots noirs et y le nombre de lots blancs achetés par le restaurateur.
La partie non hachurée du graphique ci-dessous représente l'ensemble des points M dont les coordonnées entières (x ; y) sont solutions du système des contraintes de ce problème.
Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Pondichéry Avril 2013 - terminale : image 3

Proposition 1 : La contrainte liée au nombre de chaises peut se traduire par : x + 3 y \ge 21.

Proposition 2 : La droite D_{1} admet pour équation réduite : y = - \dfrac{1}{2}x + 15.

Proposition 3 : En commandant 4 lots du modèle noir et 7 lots du modèle blanc toutes les contraintes sont respectées.

Proposition 4 : En respectant toutes les contraintes, le minimum d'argent dépensé lors de la commande du mobilier sera de 21 600 €.



exercice 1

Les informations de l'énoncé nous permettent d'écrire :
1. a) p(S)=\dfrac{50}{300}=\dfrac{1}{6}~;~p(D)=\dfrac{100}{300}=\dfrac{1}{3}~;~p(C)=1-\left(p(S)+p(D)\right)=1-\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{2}

1. b) p_S(A)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}~;~p_D(A)=\dfrac{15}{100}=\dfrac{3}{20}~;~p_C(\bar A)=\dfrac{90}{100}=\dfrac{9}{10}
On peut remarquer, que de ce dernier résultat, on peut déduire que : p_C(A)=1-p_C(\bar A)=\dfrac{1}{10}

2. Pour décrire cette situation, on peut réaliser un arbre pondéré, comme suit :
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3. p(S\cap A) = p(S)\times p_S(A)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{3}{10}=\dfrac{1}{20}

4. p(A)=p(A\cap S)+p(A\cap D)+p(A\cap C)=p(S)\times p_S(A)+p(D)\times p_D(A)+p(C)\times p_C(A)
p(A)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{20}=0,15

5. La probabilité demandée est : p_A(S)=\dfrac{p(A\cap S)}{p(A)}=\dfrac{\dfrac{1}{20}}{\dfrac{3}{20}}=\dfrac{1}{3}.




exercice 2

1. a) Le taux d'évolution du temps du record du monde entre 1988 et 2008 est : \dfrac{9,69-9,92}{9,92}\approx-0,02318
Le taux d'évolution est donc de environ -2,32 % ce qui correspond à une baisse.

1. b) La baisse de 2,32 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1-\dfrac{2,32}{100}
alors, le taux d'évolution moyen annuel est : \left(1 - \dfrac{2,32}{100} \right)^\frac{1}{20} - 1\approx -0,00117
ce qui correspond à une baisse moyenne annuelle de 0,117 %.

2. a) Une équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés est y=-0,0095x+9,9075
Pour la suite de l'étude, on retient comme ajustement affine la droite \Delta d'équation y = - 0,01x + 9,91.

2. b)
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2. c) Le record du monde en 2009 correspond à la valeur obtenue pour le rang 21.
En utilisant ce modèle d'ajustement, on obtient :- 0,01\times 21 + 9,91=9,7\text{ secondes}

2. d) Le pourcentage d'erreur commise lors de l'ajustement par rapport au temps réel du record est égal à :
\dfrac{9,7-9,58}{9,58} \approx 0,0125 \text{ soit environ }1,25 \%
Le modèle semble peu approprié. Il n'y a pas de réelles raisons pour que le taux d' évolution reste constant au fil du temps.




exercice 3

Partie A : lectures graphiques

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1. Le nombre d'articles qui seraient demandés lorsque le prix unitaire est fixé à 2 euros est g(2) soit environ 150 milliers d'articles.

2. Le nombre d'articles que peut offrir l'entreprise lorsque le prix unitaire est fixé à 5 euros est f(5) soit environ 200 milliers d'articles.
Dans ce cas, l'entreprise ne peut pas espérer vendre tous les articles qu'elle aura fabriqués car
pour x=5 le graphique nous montre que la courbe représentative de g est située sous celle de f.

3. Le prix d'équilibre de l'article est d'environ 3,15 euros.

Partie B

1. Pour tout x de [1 ; 8], f'(x)=10\times0,6\text{e}^{0,6x}=6\text{e}^{0,6x}

2. Pour tout x de [1 ; 8], f'(x)>0 comme produit de deux quantités strictement positives.

3. On en déduit que f est strictement croissante sur [1 ; 8].

Partie C

1. Une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B2 : B17 est : =10*EXP(0.6*A2)

2. Une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules D2 : D17 est : =C2-B2

3. Pour x=3,14, on a g(x)-f(x)>0 ; pour x=3,15 on a g(x)-f(x)<0.
Un encadrement du prix d'équilibre x_0 est : 3,14<x_0<3,15




exercice 4

Pour cet énoncé, différentes organisations sont possibles. Le choix d'un tableau ici a été fait.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline {}&table&chaise&fauteuil&coût&nb lots\\ \hline {noir}&1&2&2&1600&\textit{x}\\ \hline {blanc}&1&6&1&2400&\textit{y}\\ \hline \end{tabular}


Proposition 1 : vraie
En effet la contrainte liée au nombre de chaises s'écrit : 2x+6y\ge 42 ou encore : x+3y\ge 21

Proposition 2 : fausse
En effet, il est facile de vérifier que la droite D_1 a pour coefficient directeur -2 et non -\dfrac{1}{2}

Proposition 3 : vraie
En effet, le point de coordonnées (4 ; 7) appartient à l'ensemble solution proposé.

Proposition 4 : vraie
Pour déterminer le minimum d'argent dépensé :
On commence par tracer la droite \Delta correspondant à un coût quelconque. Ici on a pris 28 800 euros.
Puis, on fait glisser \Delta parallèlement à elle-même, afin de minimiser le coût.
Le coût minimum est obtenu avec la position de la droite verte, qui passe par le point de coordonnées entières (6 ; 5).
Le coût est alors de : 6 × 1 600 + 5 × 2 400 = 21 600 euros.
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