Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Avril 2014 - Pondichéry
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.
1. La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre , où est un réel strictement positif.
On sait que .
Déterminer la valeur exacte du réel .
Dans la suite de l'exercice on prendra 0,081 pour valeur de .
2. a) Déterminer .
b) Montrer que pour tous réels positifs et , .
c) Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
d) Calculer l'espérance de la variable aléatoire et donner une interprétation de ce résultat.
3.Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à 10-3 L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
1.Proposition 1 Toute suite positive croissante tend vers .
2. est la fonction définie sur par
.
Proposition 2 Sur , l'équation a une unique solution : .
Proposition 3 Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse est : .
3. L'espace est muni d'un repère orthonormé .
et sont les plans d'équations respectives : et .
Proposition 4 Les plans et se coupent perpendiculairement.
5 points
exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi la spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé .
Pour tout entier naturel , on note le point d'affixe défini par :
et .
On définit la suite par pour tout entier naturel .
1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe .
2. a) Montrer que la suite est géométrique de raison .
b) En déduire l'expression de en fonction de .
c) Que dire de la longueur O lorsque tend vers ?
Traitement : prend la valeur 1
prend la valeur 0
Tant que prend la valeur prend la valeur Fin tant que
Sortie : Afficher
a) Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour ?
b) Pour on obtient . Quel est le rôle de cet algorithme ?
4. a) Démontrer que le triangle O est rectangle en .
b) On admet que .
Déterminer les valeurs de pour lesquelles est un point de l'axe des ordonnées.
c) Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points , et .
Les traits de construction seront apparents.
5 points
exercice 3 - Candidats ayant suivi la spécialité
Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit un entier naturel.
On note :
l'évènement «la marque X est utilisée le mois »,
l'évènement «la marque Y est utilisée le mois »,
l'évènement «la marque Z est utilisée le mois ».
Les probabilités des évènements , , sont notées respectivement , , .
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le mois , a le mois suivant :
50% de chance de rester fidèle à cette marque,
40% de chance d'acheter la marque Y,
10% de chance d'acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Y le mois , a le mois suivant :
30% de chance de rester fidèle à cette marque,
50% de chance d'acheter la marque X,
20% de chance d'acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Z le mois , a le mois suivant :
70% de chance de rester fidèle à cette marque,
10% de chance d'acheter la marque X,
20% de chance d'acheter la marque Y.
1. a) Exprimer en fonction de , et .
On admet que :
et que .
b) Exprimer en fonction de et . En déduire l'expression de et en fonction de et .
2. On définit la suite par pour tout entier naturel .
On admet que, pour tout entier naturel , où et .
Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : ), on estime que .
On considère l'algorithme suivant :
Variables : et des entiers naturels.
, et des matrices
Entrée et initialisation : Demander la valeur de prend la valeur 0
prend la valeur prend la valeur prend la valeur
Traitement : Tant que i < n
prend la valeur prend la valeur Fin de Tant que
Sortie: Afficher
a) Donner les résultats affichés par cet algorithme pour puis pour .
b) Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?
Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de en fonction de .
On note la matrice et la matrice .
3. On désigne par une matrice colonne à deux lignes.
a) Démontrer que équivaut à .
b) On admet que est une matrice inversible et que .
En déduire que .
4. On note la matrice telle que pour tout entier naturel .
a) Montrer que, pour tout entier naturel , .
b) On admet que .
Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?
7 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Partie A
est une fonction définie et dérivable sur . est la fonction dérivée de la fonction .
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme la courbe représentative de la fonction et la courbe représentative de la fonction .
Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe .
Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe .
1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative de la fonction . Sur l'une d'entre elles, la courbe de la fonction dérivée est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.
Situation 1 : Situation 2 ( est une droite) : Situation 3 :
2. Déterminer l'équation réduite de la droite tangente à la courbe en A.
3. On sait que pour tout réel , où et sont deux nombres réels.
a) Déterminer la valeur de en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.
b) Prouver que .
4. Étudier les variations de la fonction sur .
5. Déterminer la limite de la fonction en .
Partie B
Soit la fonction définie sur par .
1. a) Montrer que la fonction admet 0 comme minimum sur .
b) En déduire la position de la courbe par rapport à la droite .
La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe et de la droite , comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en bleu.
Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :
- D est le point de coordonnées (-2 ; 0),
- E est le point de coordonnées (2 ; 0),
- F est le point d'abscisse 2 de la courbe ,
- G est le point d'abscisse - 2 de la courbe .
La partie du logo colorée en bleu correspond à la surface située entre la droite , la courbe , la droite d'équation et la droite d'équation .
2. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en bleu (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10-2 du résultat).
1. Comme suit une loi exponentielle de paramètre , on sait que .
Alors, On obtient :
2. a) On a .
Ainsi,
2. b) Soient réels positifs. Par définition des probabilités conditionnelles :
On a donc montré que . Cette propriété est appelée "propriété de non-vieillissement".
2. c) La probabilité demandée est . D'après la question précédente, cette probabilité vaut et donc la probabilité pour que le moteur fonctionne encore deux ans est
2. d) D'après le cours, Ainsi, la durée de vie moyenne d'un moteur produit par l'entreprise est ans.
3. On observe une fréquence de moteurs défectueux. On va vérifier si cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
La variable aléatoire Y comptant le nombre de moteurs défectueux suit une loi binomiale de paramètre donc, comme l'intervalle de confiance asymptotique est .
Ainsi, la fréquence observée n'appartient à l'intervalle de confiance au seuil de 95 % donc l'annonce de l'entreprise A est rejetée.
exercice 2 - Commun à tous les candidats
1. La proposition est fausse.
Soit la suite définie sur par .
Il est aisé de montrer que cette suite est strictement croissante, et converge vers 2.
2. La proposition 2 est fausse.
En effet, on voit immédiatement que 0 (qui appartient bien à l'ensemble de définition) est solution de l'équation proposée.
La proposition 3 est vraie.
En effet, est dérivable sur et pour tout donc .
De plus, on sait que le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente, d'où le résultat.
3. La proposition 4 est vraie.
En effet, le vecteur de coordonnées est un vecteur normal à .
De même, le vecteur de coordonnées est un vecteur normal à .
De plus, donc ces deux vecteurs sont orthogonaux et et sont orthogonaux.
exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi la spécialité
1. Pour mettre sous forme exponentielle un nombre complexe , on calcule et on met en facteur dans l'expression de . On espère ensuite reconnaître des valeurs remarquables de cos et sin :
On a .
Ainsi, .
2. a) Pour tout , d'après
la question précédente, donc la suite est géométrique de raison .
2. b) Ainsi, .
2. c) , comme , on a .
3. a) Pour , l'algorithme affiche la valeur (et on a )
3. b) L'algorithme modifie à chaque passage dans la boucle la valeur de R de la même manière que la suite donc au k-ième passage dans la boucle, R a pour valeur .
L'algorithme s'arrête si R devient inférieur à P donc le rôle de cet algorithme est de donner la première valeur de pour laquelle , c'est-à-dire est dans le disque de centre et de rayon .
4. a) Première démonstration réalisée à l'aide de la notion d'argument :
Montrons que l'angle a pour mesure .
On a Or
et donc .
Ainsi, le triangle est rectangle en .
Seconde démonstration utilisant la réciproque du théorème de Pythagore :
Or Le triangle est donc rectangle en
4. b) Première démonstration utilisant la notion de modulo :
est un point de l'axe des ordonnées si et seulement si est imaginaire pur, c'est-à-dire que son argument vaut
. Or .
Voici maintenant une seconde démonstration n'utilisant pas la notion de modulo :
est un point de l'axe des ordonnées si et seulement si est imaginaire pur si et seulement si si et seulement si
mais étant un entier naturel, on obtient soit
4. c) Le même raisonnement qu'à la question précédente montre que pour tout donc est sur la droite . De plus, le triangle est rectangle en donc
appartient au cercle de diamètre , et donc est déterminé. On procède de même pour les autres points :
exercice 3 - Candidats ayant suivi la spécialité
1. a) En probabilité, 50 % des acheteurs de la marque X au mois continue d'acheter la marque X au mois ; 50% des acheteurs de la marque Y au mois achète la marque X au mois ; 10% des acheteurs de la marque Z au mois achète la marque X au mois
. Ainsi, .
De la même manière, on trouve les résultats admis par l'énoncé : et .
1. b) Comme il n'y a que les trois marques X, Y et Z qui se partagent le marché, les probabilités et vérifient donc .
Alors, d'après la question précédente,
2. a) Étapes de l'algorithme :
L'algorithme affiche donc pour et pour .
Le mois d'avril correspond à donc la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril est 0,3868.
3. a) On a .
3. b) si et seulement si .
4. a) Pour tout .
Or donc .
Ainsi, .
4. b) Le mois de mai correspond à . Comme on a déjà calculer , il vaut mieux utiliser l'expression plutôt que de calculer ! On obtient .
Ainsi, .
Remarque : L'énoncé admet que . À titre d'exercice en plus, démontrons-le !
Si on avait affaire à des suites numériques, on dirait que la suite est géométrique de raison , et on obtiendrait (attention, ici l'ordre dans lequel on fait le produit est capital ! le produit n'a aucun sens...). Mais c'est exactement ce qu'on veut prouver !!
Il y a donc des chances pour qu'on puisse adapter la démonstration faite dans le cas des suites géométriques à notre exemple. C'est pourquoi :
Montrons par récurrence sur que .
: on a et donc la propriété est vraie au rang .
Soit tel que .
D'après la question précédente, donc par hypothèse de récurrence .
D'où le résultat.
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. Le bon tracé correspond à la situation 1.
On procède par élimination :
- pour la situation 2, la courbe de coupe l'axe des abscisses en donc . Or, la courbe 1 n'admet pas son minimum en donc cette situation ne peut pas convenir.
- pour la situation 3, la courbe de est toujours au-dessus de l'axe des abscisses donc pour tout et donc devrait être strictement croissante, ce qui n'est pas le cas donc cette situation ne convient pas.
- c'est donc la situation 1 qui convient. ( semble s'annuler convenablement, et son signe est adapté aux variations de )
2. La tangente à la courbe 1 en A a pour coefficient directeur et passe par le point A de coordonnées (0 ; 2) donc a pour équation .
3. a) Le point A appartient à la courbe représentative de permet de déterminer .
.
3. b) est dérivable sur et .
.
4. On a par croissance de .
Donc est décroissante sur et croissante sur .
5. On sait que donc .
Partie B
1. a) est dérivable sur et pour tout . Donc . À ce stade, on sait donc que est soit un minimum, soit un maximum de sur .
Or, donc admet 0 comme minimum sur .
1. b) Ainsi, pour tout ou encore et donc la courbe est au-dessus de la droite .
2. D'après la question précédente, on sait que la courbe est toujours au-dessus de la droite .
Donc l'aire de la surface colorée en bleu est égale à :
donc l'aire de la surface colorée en bleu est .
Publié par TP/
le
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