Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Avril 2014 - Pondichéry

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.


4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

1. La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda, où \lambda est un réel strictement positif.
On sait que P(X \le 2) = 0,15.
Déterminer la valeur exacte du réel \lambda.

Dans la suite de l'exercice on prendra 0,081 pour valeur de \lambda.

2. a) Déterminer P(X \ge 3).
    b) Montrer que pour tous réels positifs t et h, P_{X \ge t}(X \ge t + h) = P(X \ge  h).
    c) Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
    d) Calculer l'espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce résultat.

3. Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à 10-3
L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.


4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

1. Proposition 1
Toute suite positive croissante tend vers +\infty.

2. g est la fonction définie sur \left]- \dfrac{1}{2} ; +\infty\right[ par
g(x) = 2x \ln (2x + 1).
Proposition 2
Sur \left]- \dfrac{1}{2} ; +\infty\right[, l'équation g(x) = 2x a une unique solution : \dfrac{\text{e} - 1}{2}.
Proposition 3
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse \dfrac{1}{2} est : 1 + \ln 4.

3. L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).
\mathcal{P} et \mathcal{R} sont les plans d'équations respectives : 2x + 3y - z - 11 = 0 et x + y + 5z - 11 = 0.
Proposition 4
Les plans \mathcal{P} et \mathcal{R} se coupent perpendiculairement.


5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi la spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrowc{v}).
Pour tout entier naturel n, on note A_{n} le point d'affixe z_{n} défini par :
z_{0} = 1     et     z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.
On définit la suite \left(r_{n}\right) par r_{n} = \left|z_{n}\right| pour tout entier naturel n.

1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}.

2. a) Montrer que la suite \left(r_{n}\right) est géométrique de raison \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    b) En déduire l'expression de r_{n} en fonction de n.
    c) Que dire de la longueur OA_{n} lorsque n tend vers +\infty ?

3. On considère l'algorithme suivant :
Variables :
n entier naturel
R réel
P réel strictement positif

Entrée :
Demander la valeur de P

Traitement :
R prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que R > P
    n prend la valeur n + 1
    R prend la valeur \dfrac{\sqrt{3}}{2}R
Fin tant que

Sortie :
Afficher n


    a) Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour P = 0,5 ?
    b) Pour P = 0,01 on obtient n = 33. Quel est le rôle de cet algorithme ?

4. a) Démontrer que le triangle OA_{n}A_{n+1} est rectangle en A_{n+1}.
    b) On admet que z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{\'i}\frac{n\pi}{6}}.
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A_{n} est un point de l'axe des ordonnées.
    c) Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points A_{6}, A_{7}, A_{8} et A_{9}.
Les traits de construction seront apparents.

Bac scientifique Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 1



5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi la spécialité

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit n un entier naturel.
On note :
  X_{n} l'évènement «la marque X est utilisée le mois n»,
  Y_{n} l'évènement «la marque Y est utilisée le mois n»,
  Z_{n} l'évènement «la marque Z est utilisée le mois n».

Les probabilités des évènements X_{n}, Y_{n}, Z_{n} sont notées respectivement x_{n}, y_{n}, z_{n}.
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.

Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant :
  50% de chance de rester fidèle à cette marque,
  40% de chance d'acheter la marque Y,
  10% de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois n, a le mois suivant :
  30% de chance de rester fidèle à cette marque,
  50% de chance d'acheter la marque X,
  20% de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois n, a le mois suivant :
  70% de chance de rester fidèle à cette marque,
  10% de chance d'acheter la marque X,
  20% de chance d'acheter la marque Y.


1. a) Exprimer x_{n+1} en fonction de x_{n}, y_{n} et z_{n}.
On admet que :
y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n} et que z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}.
    b) Exprimer z_{n} en fonction de x_{n} et y_{n}. En déduire l'expression de x_{n+1} et y_{n+1} en fonction de x_{n} et y_{n}.

2. On définit la suite \left(U_{n}\right) par U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n} \\ y_{n}\end{pmatrix} pour tout entier naturel n.
On admet que, pour tout entier naturel n, U_{n+1} = A \times U_{n} + BA = \begin{pmatrix}0,4&0,4 \\ 0,2&0,1\end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix}0,1 \\ 0,2\end{pmatrix}.
Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : n = 0), on estime que U_{0} = \begin{pmatrix}0,5 \\ 0,3\end{pmatrix}.
On considère l'algorithme suivant :
Variables :
n et i des entiers naturels.
A, B et U des matrices

Entrée et initialisation :
Demander la valeur de n
i prend la valeur 0
A prend la valeur \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}
B prend la valeur \begin{pmatrix}0,1 \\ 0,2\end{pmatrix}
U prend la valeur \begin{pmatrix}0,5 \\ 0,3\end{pmatrix}

Traitement :
Tant que i < n
    U prend la valeur A \times U + B
    i prend la valeur i + 1
Fin de Tant que

Sortie:
Afficher U

    a) Donner les résultats affichés par cet algorithme pour n = 1 puis pour n = 3.
    b) Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?
Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de U_{n} en fonction de n.
On note I la matrice \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1\end{pmatrix} et N la matrice I - A.

3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.
    a) Démontrer que C = A \times C + B équivaut à N \times C = B.
    b) On admet que N est une matrice inversible et que N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23} \\[3mm] \dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}. En déduire que C = \begin{pmatrix} \dfrac{17}{46} \\[3mm] \dfrac{7}{23} \end{pmatrix}.

4. On note V_{n} la matrice telle que V_{n} = U_{n} - C pour tout entier naturel n.
    a) Montrer que, pour tout entier naturel n, V_{n+1} = A \times  V_{n}.
    b) On admet que U_{n} = A^n \times \left(U_{0} - C\right) + C.
Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?


7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

f est une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}. f' est la fonction dérivée de la fonction f.
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme \mathcal{C}_{1} la courbe représentative de la fonction f et \mathcal{C}_{2} la courbe représentative de la fonction f'.
Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe \mathcal{C}_{1}.
Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe \mathcal{C}_{2}.

1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative \mathcal{C}_{1} de la fonction f. Sur l'une d'entre elles, la courbe \mathcal{C}_{2} de la fonction dérivée f' est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.
Situation 1 :
Bac scientifique Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 2

Situation 2 (\mathcal{C_{2}} est une droite) :
Bac scientifique Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 3

Situation 3 :
Bac scientifique Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 4


2. Déterminer l'équation réduite de la droite \Delta tangente à la courbe \mathcal{C}_{1} en A.

3. On sait que pour tout réel x, f(x) = \text{e}^{-x} + ax + ba et b sont deux nombres réels.
    a) Déterminer la valeur de b en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.
    b) Prouver que a = 2.

4. Étudier les variations de la fonction f sur \mathbb{R}.

5. Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.

Partie B

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x) = f(x) - (x + 2).

1. a) Montrer que la fonction g admet 0 comme minimum sur \mathbb{R}.
    b) En déduire la position de la courbe \mathcal{C}_{1} par rapport à la droite \Delta.

La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe \mathcal{C}_{1} et de la droite \Delta, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en bleu.
Bac scientifique Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 5
 
Bac scientifique Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 6

Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :
- D est le point de coordonnées (-2 ; 0),
- E est le point de coordonnées (2 ; 0),
- F est le point d'abscisse 2 de la courbe \mathcal{C}_{1},
- G est le point d'abscisse - 2 de la courbe \mathcal{C}_{2}.
La partie du logo colorée en bleu correspond à la surface située entre la droite \Delta, la courbe \mathcal{C}_{1}, la droite d'équation x = - 2 et la droite d'équation x = 2.

2. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en bleu (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10-2 du résultat).





exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Comme X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda, on sait que P(X\le 2)=\displaystyle\int_0^2\lambda e^{-\lambda x}\text{d}x=\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^2=1-e^{-2\lambda}.
Alors, 1-e^{-2\lambda}=0.15 \text{ soit } e^{-2\lambda}=0,85 \text{ ou encore } -2\lambda=\ln(0,85)
On obtient : \fbox{\lambda=-\dfrac{\ln(0,85)}{2}}

2. a) On a P(X\ge3)=1-P(X < 3)=1- \displaystyle \int_0^3\lambda e^{-\lambda x}\text{d} x =e^{-3\lambda}.
Ainsi, \fbox{{P(X\ge3)=e^{-3\lambda} \approx 0,78}}

2. b) Soient t \text{ et } h réels positifs. Par définition des probabilités conditionnelles :
P_{X\ge t}(X\ge t+h)=\dfrac{P(\lbrace X\ge t+h\rbrace\cap\lbrace X\ge t\rbrace)}{P(X\ge t)}=\dfrac{P(X\ge t+h)}{P(X\ge t}=\dfrac{e^{-\lambda(t+h)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda h}=P(X\ge h)
On a donc montré que \fbox{{\text{Pour tous } t \text{ et }h \text{ réels positifs, }\ P_{X\ge t}(X\ge t+h)=P(X\geh)}}. Cette propriété est appelée "propriété de non-vieillissement".

2. c) La probabilité demandée est P_{X\ge3}(X\ge 3+2). D'après la question précédente, cette probabilité vaut P(X\ge2) et donc la probabilité pour que le moteur fonctionne encore deux ans est \fbox{{P(X\ge2)=e^{-2\lambda}\approx 0,85}}

2. d) D'après le cours, E(X) = \dfrac{1}{\lambda}
Ainsi, la durée de vie moyenne d'un moteur produit par l'entreprise est E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\approx 12,35 ans.

3. On observe une fréquence f=\dfrac{15}{800}\approx 0,019 de moteurs défectueux. On va vérifier si cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
La variable aléatoire Y comptant le nombre de moteurs défectueux suit une loi binomiale de paramètre (n=800,p=0,01) donc, comme n\ge30,\ np\ge5,\ n(1-p)\ge 5, l'intervalle de confiance asymptotique est I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]=[0,003 ; 0,017].
Ainsi, la fréquence observée n'appartient à l'intervalle de confiance au seuil de 95 % donc l'annonce de l'entreprise A est rejetée.




exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. La proposition est fausse.
Soit la suite (u) définie sur \mathbb{N}* par u_n=2-\dfrac{1}{n}.
Il est aisé de montrer que cette suite est strictement croissante, et converge vers 2.

2. La proposition 2 est fausse.
En effet, on voit immédiatement que 0 (qui appartient bien à l'ensemble de définition) est solution de l'équation proposée.

La proposition 3 est vraie.
En effet, g est dérivable sur I et pour tout x \text{ de } I ,\ g'(x)=2\ln(2x+1)+\dfrac{4x}{2x+1} donc g'\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+2\ln2=1+\ln4.
De plus, on sait que le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente, d'où le résultat.

3. La proposition 4 est vraie.
En effet, le vecteur \vec{n}_{\mathcal{P}} de coordonnées \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} est un vecteur normal à \mathcal{P}.
De même, le vecteur \vec{n}_{\mathcal{R}} de coordonnées \begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix} est un vecteur normal à \mathcal{R}.
De plus, \vec{n}_{\mathcal{P}}\cdot\vec{n}_{\mathcal{R}}=2\times1+3\times1+(-1)\times5=0 donc ces deux vecteurs sont orthogonaux et \mathcal{P} et \mathcal{R} sont orthogonaux.




exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi la spécialité

1. Pour mettre sous forme exponentielle un nombre complexe z=a+ib, on calcule |z|=\sqrt{a^2+b^2} et on met |z| en facteur dans l'expression de z. On espère ensuite reconnaître des valeurs remarquables de cos et sin :
On a \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right).
Ainsi, \fbox{\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}}.

2. a) Pour tout n\in\mathbb{N}, r_{n+1}=|z_{n+1}|=\left|\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)z_n\right|=\left|\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right||z_n|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times r_n d'après la question précédente, donc la suite (r_n) est géométrique de raison \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

2. b) Ainsi, \forall n\in\mathbb{N},\ r_n=r_0\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\text{ soit }\fbox{\forall n\in\mathbb{N},\ r_n=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}.

2. c) OA_n=r_n , comme 0<\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1, on a \fbox{\displaystyle{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}OA_n=0 }}.

3. a) Pour P=0,5, l'algorithme affiche la valeur \fbox{n=5} (et on a R=\dfrac{9\sqrt{3}}{32})

3. b) L'algorithme modifie à chaque passage dans la boucle la valeur de R de la même manière que la suite (r_n) donc au k-ième passage dans la boucle, R a pour valeur r_k.
L'algorithme s'arrête si R devient inférieur à P donc le rôle de cet algorithme est de donner la première valeur de n pour laquelle r_n\le P, c'est-à-dire A_n est dans le disque de centre O et de rayon P.

4. a) Première démonstration réalisée à l'aide de la notion d'argument :
Montrons que l'angle (\widehat{\overrightarrow{A_{n+1}A_n},\overrightarrow{A_{n+1}O}}) a pour mesure \pm \dfrac{\pi}{2}.
On a (\widehat{\overrightarrow{A_{n+1}A_n},\overrightarrow{A_{n+1}O}})=Arg\left(\dfrac{0-z_{n+1}}{z_n-z_{n+1}}\right)
Or
\begin{array}{rcl} z_n-z_{n+1}&=&-(z_{n+1}-z_n)\\\\ &=&-z_{n+1}\left(1-\dfrac{z_n}{z_{n+1}}\right)\\\\ &=&-z_{n+1}\left(1-\dfrac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}}\right)\\\\ &=&-z_{n+1}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\ e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)\\\\ &=&-z_{n+1}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}\right)\right)\\\\ &=&-z_{n+1}\times i\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array}
et donc (\widehat{\overrightarrow{A_{n+1}A_n},\overrightarrow{A_{n+1}O}})=Arg\left(\dfrac{-z_{n+1}}{-z_{n+1}\times i\frac{\sqrt{3}}{3}}\right)=-\dfrac{\pi}{2}.
Ainsi, le triangle OA_{n+1}A_n est rectangle en A_{n+1}.

Seconde démonstration utilisant la réciproque du théorème de Pythagore :
OA_n=r_n\text{ donc } OA_n^2=r_n^2\qquad OA_{n+1}=r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_n \text{ donc } OA_{n+1}^2=\dfrac{{3}}{4}r_n^2
A_nA_{n+1}=\left|\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,\text{i}\right)z_n-z_n\right|=\left|\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,\text{i}-1\right||z_n|=\left|-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,\text{i}\right|r_n=\dfrac{1}{2}r_n\text{ donc }A_nA_{n+1}^2=\dfrac{1}{4}r_n^2
Or  OA_{n+1}^2+A_nA_{n+1}^2=\dfrac{{3}}{4}r_n^2+\dfrac{1}{4}r_n^2=r_n^2=OA_n^2
Le triangle OA_nA_{n+1} est donc rectangle en A_{n+1}

4. b) Première démonstration utilisant la notion de modulo :
A_n est un point de l'axe des ordonnées si et seulement si z_n est imaginaire pur, c'est-à-dire que son argument vaut \pm\dfrac{\pi}{2}. Or Arg(z)=\dfrac{n\pi}{6}\equiv\dfrac{\pi}{2}\ \text{mod}\ \pi\ \Longleftrightarrow\fbox{\ensuremath{n\equiv 3\ \text{mod}\ 6}}.

Voici maintenant une seconde démonstration n'utilisant pas la notion de modulo :
A_n est un point de l'axe des ordonnées si et seulement si z_n est imaginaire pur si et seulement si n\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \text{ avec }k \in \mathbb{Z} si et seulement si n=3+6k~,~k\in\mathbb{Z} mais n étant un entier naturel, on obtient k \in \mathbb{N} soit n=3+6k ~,~k\in \mathbb{N}

4. c) Le même raisonnement qu'à la question précédente montre que Arg(z_{n+6})\equiv Arg(z_{k})+\pi\ \text{mod}\ 2\pi pour tout n\in\mathbb{N} donc z_{6} est sur la droite OA_0. De plus, le triangle OA_6A_5 est rectangle en A_6 donc A_6 appartient au cercle de diamètre OA_5, et donc A_6 est déterminé. On procède de même pour les autres points :
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exercice 3 - Candidats ayant suivi la spécialité

1. a) En probabilité, 50 % des acheteurs de la marque X au mois n continue d'acheter la marque X au mois n+1 ; 50% des acheteurs de la marque Y au mois n achète la marque X au mois n+1 ; 10% des acheteurs de la marque Z au mois n achète la marque X au mois n+1. Ainsi, \fbox{x_{n+1}=0,5 x_n+0,5y_n+0,1z_n}.
De la même manière, on trouve les résultats admis par l'énoncé : y_{n+1}=0,4x_n+0,3y_n+0,2z_n et z_{n+1}=0,1x_n+0,2y_n+0,7z_n.

1. b) Comme il n'y a que les trois marques X, Y et Z qui se partagent le marché, les probabilités x_n,\ y_n et z_n vérifient x_n+y_n +z_n=1 donc \fbox{z_n=1-x_n-y_n}.
Alors, d'après la question précédente, \left\lbrace\begin{array}{l}x_{n+1}=0,4x_n+0,4y_n+0,1\\y_{n+1}=0,2x_n+0,1y_n+0,2\end{array}\right.

2. a) Étapes de l'algorithme :
Bac scientifique Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 9


L'algorithme affiche donc \begin{pmatrix}0,42\\0,33\end{pmatrix} pour n=1 et \begin{pmatrix}0,3868\\0,3117\end{pmatrix} pour n=3.
Le mois d'avril correspond à n=3 donc la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril est 0,3868.

3. a) On a C=A \times C+B\Longleftrightarrow C=(I-N)\times C+B\Longleftrightarrow C=I\times C-N\times C+B\Longleftrightarrow C=C-NC+B \Longleftrightarrow NC=B.

3. b) NC=B si et seulement si C=N^{-1}B=\begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}\times0,1+\dfrac{20}{23}\times0,2\\\\\dfrac{10}{23}\times0,1+\dfrac {30}{23}\times0,2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{45+40}{230}\\\\\dfrac{10+60}{230}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\\\\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}.

4. a) Pour tout n\in\mathbb{N},\ V_{n+1}=U_{n+1}-C=A\times U_n+B-C.
Or C=A\times C+B donc V_{n+1}=A\times U_n+B-A\times C-B=A\times(U_n-C)=A\times V_n.
Ainsi, \fbox{\forall n\in\mathbb{N},\ V_{n+1}=A\times V_n}.

4. b) Le mois de mai correspond à n=4. Comme on a déjà calculer U_3, il vaut mieux utiliser l'expression U_{4}=AU_3+B plutôt que de calculer A^4 ! On obtient \begin{pmatrix}x_4\\y_4\end{pmatrix}=U_4=\begin{pmatrix}0,3794\\0,30853\end{pmatrix}.
Ainsi, \fbox{x_4=0,3794,\ y_4=0,30853,\ z_4=1-x_4-y_4=0,31207}.

Remarque : L'énoncé admet que \forall n\in\mathbb{N},\ U_n=A^n\times(U_0-C)+C. À titre d'exercice en plus, démontrons-le !
Si on avait affaire à des suites numériques, on dirait que la suite V_n est géométrique de raison A, et on obtiendrait V_n=A^n\times V_0 (attention, ici l'ordre dans lequel on fait le produit est capital ! le produit V_0\times A^n n'a aucun sens...). Mais c'est exactement ce qu'on veut prouver !! Il y a donc des chances pour qu'on puisse adapter la démonstration faite dans le cas des suites géométriques à notre exemple. C'est pourquoi :
Montrons par récurrence sur n\in\mathbb{N} que V_n=A^n\times V_0.
n=0 : on a A^0=I et I\times V_0=V_0 donc la propriété est vraie au rang n=0.
Soit n\in\mathbb{N} tel que V_n=A^n\times V_0.
D'après la question précédente, V_{n+1}=A\times V_n donc par hypothèse de récurrence V_{n+1}=A\times(A^n\times V_0)=A^{n+1}\times V_0.
D'où le résultat.




exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Le bon tracé correspond à la situation 1.
On procède par élimination :
- pour la situation 2, la courbe de f' coupe l'axe des abscisses en x=-1 donc f'(-1)=0. Or, la courbe 1 n'admet pas son minimum en x=-1 donc cette situation ne peut pas convenir.
- pour la situation 3, la courbe de f' est toujours au-dessus de l'axe des abscisses donc f'(x)>0 pour tout x et donc f devrait être strictement croissante, ce qui n'est pas le cas donc cette situation ne convient pas.
- c'est donc la situation 1 qui convient. (f' semble s'annuler convenablement, et son signe est adapté aux variations de f)

2. La tangente à la courbe 1 en A a pour coefficient directeur f'(0)=1 et passe par le point A de coordonnées (0 ; 2) donc \Delta a pour équation \fbox{\Delta : y=x+2}.

3. a) Le point A appartient à la courbe représentative de f permet de déterminer b.
A(0;2)\in \mathcal{C} \Longleftrightarrow f(0)=2\Longleftrightarrow  1+b=2 \Longleftrightarrow \fbox{\ensuremath{b=1}}.

3. b) f est dérivable sur \mathbb{R} et f'(x)=-e^{-x}+a.
f'(0)=1\Longleftrightarrow  -1+a=1\Longleftrightarrow \fbox{{a=2}.

4. On a f'(x)\ge0\Longleftrightarrow -e^{-x}+2\ge0\Longleftrightarrow e^{-x}\le2\Longleftrightarrow-x\le\ln 2\Longleftrightarrow x\ge-\ln2 par croissance de \ln.
Donc f est décroissante sur ]-\infty ; -\ln2] et croissante sur [-\ln2 ; +\infty[.

5. On sait que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0,\ \lim_{x\to+\infty}2x+1=+\infty donc \fbox{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.

Partie B

1. a) g est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout x \text{ de }\mathbb{R},\ g'(x)=f'(x)-1=-e^{-x}+1. Donc g'(x)=0\Longleftrightarrow e^{-x}=1\Longleftrightarrow -x=\ln1=0\Longleftrightarrow x=0. À ce stade, on sait donc que g(0)=0 est soit un minimum, soit un maximum de g sur \mathbb{R}. Or, g(1)=e^{-1}>0 donc g admet 0 comme minimum sur \mathbb{R}.

1. b) Ainsi, pour tout x\text{ de }\mathbb{R},\ g(x)\ge0 ou encore f(x)\ge x+2 et donc la courbe \mathcal{C}_1 est au-dessus de la droite \Delta.

2. D'après la question précédente, on sait que la courbe \mathcal{C}_1 est toujours au-dessus de la droite \Delta.
Donc l'aire de la surface colorée en bleu est égale à :
\begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{-2}^2 f(x)-(x+2)\text{d}x&=&\displaystyle\int_{-2}^2 (e^{-x}+x-1)\text{d}x\\\\ &=&\displaystyle\left[-e^{-x}+\dfrac{x^2}{2}-x\right]_{-2}^2\\\\ &=&-e^{-2}+2-2-(-e^{2}+2-(-2))\\\\ &=&e^2-e^{-2}-4 \end{array}
donc l'aire de la surface colorée en bleu est \fbox{\mathcal{A}=e^2-e^{-2}-4\approx 3,25\text{ u.a}}.
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