Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Métropole - Session Juin 2014

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par $\mathcal{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_1(x) = x + \text{e}^{-x}$ .
1. Justifier que $\mathcal{C}_1$ passe par le point A de coordonnées (0 ; 1).

2. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$ . On précisera les limites de $f_1$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Partie B

L'objet de cette partie est d'étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $I_n = \displaystyle \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}x$ .
1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ , pour tout entier naturel $n$ , on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x) = x + \text{e}^{- nx}.$ Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $\mathcal{C}_n$ pour plusieurs valeurs de l'entier $n$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = 1$ .

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 1

a) Interpréter géométriquement l'intégrale $I_{n}$ .
b) En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s?appuie pour conjecturer.

2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $I_{n+1} - I_{n} = \displaystyle \int_{0}^1 \text{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \text{e}^{x}\right)\:\text{d}x$ . En déduire le signe de $I_{n+1} - I_{n}$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.

3. Déterminer l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$ .

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :
    la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est 0,99 ;
    la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est 0,001.

1. Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à 0,1%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
On note $M$ l'évènement «la personne choisie est malade» et $T$ l'évènement «le test est positif».
    a) Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré.
    b) Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est égale à $1,989 \times 10^{-3}$ .
    c) L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
Affirmation : «Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade».

2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population.
À partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?

Partie B

La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d'un médicament.

1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d'un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ , de moyenne $\mu = 900$ et d'écart-type $\sigma = 7$ .
a) Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10^-2.
b) Déterminer l'entier positif $h$ tel que $P(900 - h \le X \le 900 + h) \approx 0,99$ à 10^-3 près.

2. La chaine de production a été réglée dans le but d'obtenir au moins 97% de comprimés conformes. Afin d'évaluer l'efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 1 000 comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1 000 tirages successifs avec remise.
Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l'échantillon prélevé.
Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On désigne par (E) l'équation $z^4 + 4z^2 + 16 = 0$ d'inconnue complexe $z$ .

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$ .
Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.

2. On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$ .
Calculer $a^2$ sous forme algébrique.
En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$ . On écrira les solutions sous forme algébrique.

3. Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x + \text{i}y$ où $x \in \R$ et $y \in R$ , le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z = x - \text{i} y$ .

Démontrer que :
Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ , $\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\:\cdot\:\overline{z_{2}}$ .
Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n$ , $\overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$ .

4. Démontrer que si $z$ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de (E).
En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].

On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AC}}, \overrightarrow{\text{AD}}\right)$ de l'espace.

1. On désigne par $\mathcal{P}$ le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF).
On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (DF).
    a) Donner les coordonnées des points D et F.
    b) Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).
    c) Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ .
    d) Calculer les coordonnées du point H.
    e) Démontrer que l'angle $\widehat{\text{EHG}}$ est un angle droit.

2. On désigne par $M$ un point de la droite (DF) et par $t$ le réel tel que $\overrightarrow{\text{D}M} = t\overrightarrow{\text{DF}}$ . On note $\alpha$ la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{\text{E}M\text{G}}$ .
Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ pour que $\alpha$ soit maximale.
    a) Démontrer que $M\text{E}^2 = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$ .
    b) Démontrer que le triangle $M$ EG est isocèle en $M$ .
En déduire que $M\text{E}\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ .
    c) Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ est maximal.
En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $M\text{E}^2$ est minimal.
    d) Conclure.

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :
    il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
    la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A.
      Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B.
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de $n$ années.
En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est $a_{0} = 200$ et celui du bassin B est $b_{0} = 100$ .

1. Justifier que $a_{1} = 400$ et $b_{1} = 300$ puis calculer $a_{2}$ et $b_{2}$ .

2. On désigne par $A$ et $B$ les matrices telles que $A = \begin{pmatrix}0&2 \\ 1&0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}200 \\ 100\end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel $n$ , on pose $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} \\ b_{n}\end{pmatrix}$ .
    a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$ , $X_{n+1} = AX_{n} + B$ .
    b) Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} + B$ .
    c) Pour tout entier naturel $n$ , on pose $Y_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} + 400 \\ b_{n} + 300\end{pmatrix}$ .
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $Y_{n+1} = AY_{n}$ .

3. Pour tout entier naturel $n$ , on pose $Z_{n} = Y_{2n}$ .
    a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $Z_{n+1} = A^2 Z_{n}$ . En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $Z_{n+1} = 2Z_{n}$ .
    b) On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel $n$ , $Y_{2n} = 2^n Y_{0}$ . En déduire que $Y_{2n + 1} = 2^nY_{1}$ puis démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $a_{2n} = 600 \times 2^n - 400$    et    $a_{2n+1} = 800 \times 2^n - 400$ .
4. Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.
    a) On donne l'algorithme suivant.

Variables :
    $a$ , $p$ et $n$ sont des entiers naturels.
Initialisation :
    Demander à l'utilisateur la valeur de $p$ .
Traitement :
    Si $p$ est pair
        Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$
        Affecter à $a$ la valeur $600 \times 2^n - 400$ .
    Sinon
        Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p - 1}{2}$
        Affecter à $a$ la valeur $800 \times 2^n - 400$ .
    Fin de Si.
Sortie :
    Afficher $a$ .

Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
b) Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.

Voir la correction

exercice 1 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Partie A

1. Pour montrer que $\mathcal{C}_1$ passe par le point A de coordonnées (0,1) il suffit de vérifier que $f_1(0)=1$ . C'est le cas puisque $e^0=1$ .

2. Les fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto e^{-x}$ sont dérivables donc $f_1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Pour étudier les variations de $f_1$ on peut donc étudier le signe de sa dérivée. Or, $\forall x\in\mathbb{R},\qquad f_1'(x)=1+(-1)\times e^{-x}=1-e^{-x}.$ Ainsi, $f_1'(x)\ge0\Longleftrightarrow e^{-x}\le 1$ d'où, comme la fonction $\ln$ est croissante, $-x\le\ln(1)=0$ soit $x\ge0.$ On sait donc que $f_1$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$ et décroissante sur $\mathbb{R}_-$ .
Calculons les limites de $f_1$ en $+\infty$ et $-\infty$ .
- En $+\infty$ : on a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=\lim_{X\to-\infty}e^{X}=0$ donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_1(x)=+\infty.$
- En $-\infty$ : on a $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=\lim_{X\to+\infty}e^{X}=+\infty$ . On a donc une forme indéterminée pour cette limite. Pour pouvoir calculer la limite, on peut mettre en facteur le terme "dominant" (qui tend vers l'infini le plus vite). Si l'on se souvient des règles de croissances comparées, on peut penser que c'est l'exponentielle qui va dominer (si l'on met en facteur le terme $x$ , ça marchera aussi !). On essaye donc de calculer la limite de $f_1$ en mettant $e^{-x}$ en facteur : $f_1(x)=e^{-x}(xe^x+1)$ Les règles de croissance comparée donnent $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$ donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x+1=1$ donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f_1(x)=\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty.$
On peut finalement dresser le tableau de variation de $f_1$ :

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 2

La calculatrice étant autorisée pour cette épreuve, on "vérifie" le résultat en traçant $\mathcal{C}_1$ :

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 4

Partie B

1. a) L'intégrale $I_n$ est l'aire sous la courbe $\mathcal{C}_n$ entre 0 et 1. Plus précisément, c'est l'aire délimitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la courbe $\mathcal{C}_n$ et la droite $\mathcal{D}.$

1. b) On remarque que la surface sous la courbe semble s'approcher de plus en plus de la surface du triangle délimité par l'axe des abscisses, $\mathcal{D}$ et la droite d'équation $y=x$ :

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 7

On peut donc conjecturer que la suite $(I_n)_{n\ge1}$ est décroissante et qu'elle a pour limite l'aire du triangle : $\frac{1\times 1}{2}=\frac{1}{2}.$

2. Soit $n\in\mathbb{N}.$ On a : $\begin{array}{rcl} I_{n+1}-I_n&=&\displaystyle\int_0^1(x+e^{-(n+1)x})\text{d}x-\int_0^1(x+e^{-nx})\text{d}x\\\\ &=&\displaystyle\int_0^1\left[(x+e^{-(n+1)x})-(x+e^{-nx})\right]\text{d}x\\\\ &=&\displaystyle\int_0^1(e^{-(n+1)x}-e^{-nx})\text{d}x\\\\ &=&\displaystyle\int_0^1(e^{-(n+1)x}-e^{-(n+1)x+x})\text{d}x\\\\ &=&\displaystyle\int_0^1(e^{-(n+1)x}-e^{-(n+1)x}e^x)\text{d}x\\\\ &=&\displaystyle\int_0^1e^{-(n+1)x}(1-e^x)\text{d}x. \end{array}$
Or pour $x\in[0,1]$ , $e^{-(n+1)x}\ge0$ et par croissance de l'exponentielle $e^x\ge e^0=1$ donc $e^{-(n+1)x}(1-e^x)\le0$ .
Ainsi, $\forall x\in[0,1],\ e^{-(n+1)x}(1-e^x)\le0$ . On en déduit que $I_{n+1}-I_n\le 0.$
Ainsi, $\forall n\in\mathbb{N},\ I_{n+1}-I_n\le0$ : la suite $(I_n)_{n\ge1}$ est décroissante.
Or, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , pour tout $x\in[0,1],$ $f_n(x)=x+e^{-nx}\ge0$ . Donc $\forall n\ge1,\ I_n\ge0$ .
La suite $(I_n)_{n\ge1}$ est donc une suite décroissante et minorée. On en déduit qu'elle converge.

3. Soit $n\in\mathbb{N}.$ On a : $I_n=\displaystyle\int_0^1(x+e^{-nx})\text{d}x=\int_0^1x\text{d}x+\int_0^1e^{-nx}\text{d}x.$ Or une primitive de $x$ est $\frac{x^2}{2}$ donc $\displaystyle\int_0^1x\text{d}x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.$
De même, une primitive de $e^{-nx}$ est $\frac{-1}{n}e^{-nx}$ donc $\displaystyle\int_0^1e^{-nx}\text{d}x=\left[\frac{-1}{n}e^{-nx}\right]_0^1=\frac{-1}{n} e^{-n}-\frac{-1}{n}e^0=\frac{1-e^{-n}}{n}.$
Ainsi, $\forall n\ge1,\qquad I_n=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1-e^{-n}}{n}.$
Or, comme $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}e^{-n}=0,$ $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}1-e^{-n}=1$ et donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1-e^{-n}}{n} =\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0.$ Ainsi,

$\fbox{$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$}$ et notre conjecture est vérifiée.

Remarque : Si la question avait simplement été "Déterminer, si elle existe, la limite de $I_n$ ?" (au lieu de 2-3), il n'aurait pas été nécessaire de tenir le raisonnement de la question 2. En effet, lorsqu'on calcule effectivement $I_n$ , on montre directement qu'elle a une limite. Néanmoins, il ne faut pas s'étonner de voir la question 2 puisque son but est de faire appliquer des théorèmes du cours, et donc de vérifier les connaissances du candidat.

exercice 2 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Partie A

1. a) - On sait que le pourcentage de personnes malades est égal à $0,1\%$ donc $p(M)=0,001$ et $p(\overline{M})=1-p(M)=0,999.$
- On sait que la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est égale à 0,99 donc $p_M(T)=0,99$ et $p_M(\overline{T})=1-p_M(T)=0,01.$
- On sait que la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est égale à 0,001 donc $p_{\overline{M}}(T)=0,001$ et $p_{\overline{M}}(\overline{T})= 1-p_{\overline{M}}T)=0,999.$
On obtient donc l'arbre suivant :

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 6

1. b) On a $p(T)=p(T\cap M)+p(T\cap\overline{M})=0,001\times0,99+0,999\times0,001=1,989\times10^{-3}.$

1. c) On sait que le test est positif et on veut savoir la probabilité que la personne soit malade. On veut donc calculer $p_T(M)$ . Or $p_T(M)= \cfrac{p(T\cap M)}{p(T)}=\cfrac{0,001\times0,99}{1,989\times10^{-3}}\approx0,498<0,5$ . Ainsi, l'affirmation est vraie.

2. Le test est commercialisé si $p_T(M)\ge0,95.$ Il faut donc calculer cette quantité quand la proportion de malades vaut $x$ . Comme précédemment, $p_T(M)=\cfrac{p(T\cap M)}{p(T)}.$ Il faut donc calculer ces quantités. La situation est traduite par l'arbre suivant :

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 5

On a $p(T\cap M)=0,99\times x$ et $p(T)=p(T\cap M)+p(T\cap\overline{M})=0,99x+0,001(1-x)=0,001+0,989x.$ Ainsi, $p_T(M)=\cfrac{0,99x}{0,001+0,989x}.$
Alors, $\begin{array}{rcl} p_T(M)\ge0,95&\Longleftrightarrow&\cfrac{0,99x}{0,001+0,989x}\ge0,95\\\\ &\Longleftrightarrow&0,99x\ge0,95(0,001+0,989x)\qquad\text{car }0,001+0,989x>0\\ &\Longleftrightarrow&0,99x-0,95\times0,989x\ge0,95\times0,001\\ &\Longleftrightarrow&5,045\times10^{-2}x\ge9,5\times10^{-4}\\\\ &\Longleftrightarrow&x\ge\cfrac{9,5\times10^{-4}}{5,045\times10^{-2}}\approx1,883\qquad\text{car }5,045\times10^{-2}>0 \end{array}$ donc si $x$ est supérieur à environ $1,88\%$ , le test sera commercialisé.

Partie B

1. La probabilité qu'un comprimé soit conforme est $p(890\le X\le 920).$ On utilise la calculatrice :
1^er cas : la calculatrice utilisée a une fonction qui calcule $p(a\le X\le b)$ quand on lui donne $a,b$ et les paramètres de la loi normale. Dans ce cas, on donne tous les paramètres et on obtient le résultat.
2^e cas : la calculatrice utilisée ne fait cela que pour la loi normale centrée réduite. On doit donc se ramener à celle-ci. Pour cela, on sait que si $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ alors $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
Or, $p(890\le X\le920)=p\left(\cfrac{890-900}{7}\le\cfrac{X-900}{7}\le\cfrac{920-900}{7}\right)=p\left(-\cfrac{10}{7}\le Z\le\cfrac{20}{7}\right).$
La calculatrice donne donc $p(890\le X\le 920)=0,92$ à $10^{-2}$ près.

1. b) Considérons, comme dans la question précédente, la variable aléatoire $Z=\frac{X-900}{7}$ qui suit la loi normale centrée réduite. On sait que $p(-2,58\le Z\le 2,58) \approx0,99$ à $10^{-3}$ près. Or,
$-2,58\le Z\le 2,58\Longleftrightarrow-2,58\le\frac{X-900}{7}\le2,58 \Longleftrightarrow881,94\le X\le918,06$
Ainsi, on prend $h=18$ et on vérifie à la calculatrice que $p(900-18\le X\le 900+18) \approx0,9899\approx0,99$ à $10^{-3}$ près.

2. Dans cette situation, la variable aléatoire comptant le nombre de comprimés non conformes suit une loi binomiale $\mathcal{B}(1000;\underbrace{0,03}_{=1-0,97}).$ Comme $n=1000$ est suffisamment grand, on sait que la fréquence de succès de la loi binomiale doit être dans l'intervalle de confiance à 95% : $\left[0,03-1,96\times\cfrac{\sqrt{0,03\times0,97}}{\sqrt{1000}},0,03+1,96\times\cfrac{\sqrt{0,03\times0,97}}{\sqrt{1000}}\right]\subset[0,019;0,041].$
Ici, $\frac{53}{1000}=0,053\not\in[0,019;0,041]$ et donc a fortiori, $\frac{53}{1000}$ n'appartient pas à l'intervalle de confiance à 95% donc le contrôle effectué remet en question les réglages du laboratoire.

Correction alternative proposée par Jedoniezh, attention, cette correction n'a pas passé le cycle normal de relecture, elle contient donc peut-être des inexactitudes.

EXPLICATIONS COMPLEMENTAIRES (pour "aller plus loin")

exercice 2

Partie B

1.a) Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10^-2

Si $X$ suit une loi normale $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ , soit $X\hookrightarrow \mathcal N(\mu,\sigma^2)$ , alors $Y$ suit une loi normale centrée réduite de la façon suivante :

$Y\hookrightarrow \mathcal N(0,1)$ tel que $Y=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Une variable aléatoire $Y$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal N(0,1)$ si sa densité $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ dont la courbe est représentée ci-dessous.

On a alors : $\forall x\in\R,p(Y\leq x)=\int_{-\infty}^xf(x)dx$

A noter que faire tendre $x$ vers $+\infty$ correspond à obtenir l'aire totale sous la courbe, laquelle est égale à 1.

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 14

Avec $Y=\frac{X-\mu}{\sigma}$ , nous avons : $p(890\leq X\leq 920)\Longleftrightarrow p(\frac{890-900}{7}\leq Y\leq \frac{920-900}{7})=p(\frac{890-900}{7}\leq Y\leq \frac{920-900}{7})=p(-\frac{10}{7}\leq Y\leq\frac{20}{7})$

Donc on recherche $p(-\frac{10}{7}\leq Y\leq\frac{20}{7})=\int_{-\frac{10}{7}}^{\frac{20}{7}}f(x)dx$ qui correspond à l'aire sous la courbe entre les droites d'équations $x=-\frac{10}{7}$ et $x=\frac{20}{7}$ (voir figure c-dessous)

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 15

Or $p(-\frac{10}{7}\leq Y\leq\frac{20}{7})=p(Y\leq\frac{20}{7})-p(Y\leq-\frac{10}{7})$ qui correspond à la différence des deux aires représentées ci-dessous :

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 16

De part la symétrie de la fonction $f$ , la différence recherchée entre les deux aires est équivalente à celle des deux aires ci-dessous et nous avons $p(Y\leq-\frac{10}{7})=p(Y\geq\frac{10}{7})$ :

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 17

L'aire totale sous la courbe de $f$ étant égale à 1, l'aire en rouge dans la figure de gauche ci-dessous est donc égale à la différence entre l'aire totale sous la courbe qui vaut 1 et l'aire en vert.

Ainsi nous avons :

$p(-\frac{10}{7}\leq Y\leq\frac{20}{7})=p(Y\leq\frac{20}{7})-p(Y\geq\frac{10}{7})=p(Y\leq\frac{20}{7})}-(1-p(Y\leq\frac{10}{7}))=p(Y\leq\frac{20}{7})}+p(Y\leq\frac{10}{7})-1$

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 18

En utilisant la calculatrice (ou en lisant les valeurs dans une table de la loi normale centrée réduite), nous obtenons les résultats suivants :

$p(-\frac{10}{7}\leq Y\leq\frac{20}{7})=p(Y\leq\frac{20}{7})+p(Y\leq\frac{10}{7})-1=\underbrace{p(Y\leq\frac{20}{7})}_{=0,99786}+\underbrace{p(Y\leq\frac{10}{7})}_{0,92344}-1=0,9213\approx 0,92$

b) Déterminer l'entier positif $h$ tel que $p(900-h\leq X\leq 900+h)\approx 0,99$ à $10^{-3}$ près.

De la même manière que ci-dessus, si $X$ suit une loi normale $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ , soit $X\hookrightarrow \mathcal N(\mu,\sigma^2)$ , alors $Y$ suit une loi normale centrée réduite de la façon suivante :

$X\hookrightarrow \mathcal N(\mu,\sigma^2)=N(900,7^2)\text{ donc }Y\hookrightarrow \mathcal N(0,1)\text{ tel que }Y=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-900}{7}$

Donc :

$p(900-h\leq X\leq 900+h)\approx 0,99\Longleftrightarrow p(\frac{\cancel{900}-h-\cancel{900}}{7}\leq Y\leq \frac{\cancel{900}+h-\cancel{900}}{7})\leq 0,99\Longleftrightarrow p(-\frac{h}{7}\leq Y\leq\frac{h}{7})\leq 0,99$

On recherche donc la valeur de $h$ pour que l'aire colorée sous la courbe de la figure ci-dessous soit inférieure ou égale à $0,99$ :

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 19

Nous avons donc :

$p(-\frac{h}{7}\leq Y\leq\frac{h}{7})\leq 0,99\Longleftrightarrow p(Y\leq\frac{h}{7})-p(Y\leq-\frac{h}{7})\leq 0,99$ , et cette différence de probabilité correspond à la différence des deux aires représentées sur la figure ci-dessous :

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 20

Or, nous avons :

$p(Y\leq-\frac{h}{7})=1-p(Y\leq\frac{h}{7})$

Donc nous recherchons la valeur de $h$ tel que :

$p(900-h\leq X\leq 900+h)\approx 0,99\Longleftrightarrow p(Y\leq\frac{h}{7})-[\underbrace{1-p(Y\leq\frac{h}{7})}_{=p(Y\leq -\frac{h}{7})}]\approx 0,99\Longleftrightarrow 2p(Y\leq\frac{h}{7})-1\approx 0,99\Longleftrightarrow p(Y\leq\frac{h}{7})\approx\frac{1,99}{2}\approx 0,995$

En utilisant la calculatrice (ou en lisant les valeurs dans une table de la loi normale centrée réduite), nous obtenons les résultats suivants :

$\frac{h}{7}\approx 2,576\Longleftrightarrow h\approx 18$

(avec une table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons $\frac{h}{7}\approx 2,57\text{ pour }p(Y\leq\frac{h}{7})\approx 0,9949\text{ et }\frac{h}{7}\approx 2,58\text{ pour }p(Y\leq\frac{h}{7})\approx 0,9951$ )

exercice 3 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

1. On cherche les solutions de l'équation $Z^2+4Z+16=0.$ Le discriminant est $\Delta=4^2-4\times1\times16=-48<0$ donc l'équation a deux solutions complexes conjuguées : $z_1=\cfrac{-4+i\sqrt{48}}{2}$ et $z_2=\cfrac{-4-i\sqrt{48}}{2}.$ On peut écrire $z_1=-2+i\times\cfrac{\sqrt{16\times3}}{2}=-2+2i\sqrt{3}=4\left(\cfrac{-1}{2}+i\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=4e^{\frac{2i\pi}{3}}.$ et $z_2=\overline{z_1}=4e^{-\frac{2i\pi}{3}}.$

2. Par définition $a=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ donc $a^2=4e^{\frac{2i\pi}{3}}=-2+2i\sqrt{3}$ d'après le calcul précédent. Ainsi, $a=1+i\sqrt{3}$ est solution de l'équation $z^2=-2+2i\sqrt{3}$ . Sans calcul, on sait alors que $-a=-1-i\sqrt{3}$ est également solution de cette équation. En développant alors la quantité $(z-a)(z+a)$ on obtient exactement $z^2-(-2+2i\sqrt{3})$ ce qui signifie que $z^2=-2+2i\sqrt{3}\Longleftrightarrow(z-a)(z+a)=0\Longleftrightarrow z=\pm a.$ Les (seules) solutions de l'équation $z^2=-2+2i\sqrt{3}$ sont donc $a$ et $-a.$

Remarque : dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C},$ une équation polynomiale de degré $n$ possède au plus $n$ solutions. Pour le démontrer, il suffit de factoriser comme ci-dessus ( $\alpha$ est solution si et seulement si on peut mettre $(z-\alpha)$ en facteur dans le polynôme). Ici, en ayant trouvé deux solutions, il était certain qu'il n'y en aurait pas d'autres.
En fait, dans $\mathbb{C}$ (pas dans $\mathbb{R}$ ), on est même sûr qu'il existe exactement $n$ solutions (pas forcément toutes distinctes, en un sens à préciser)

3. L'énoncé semble nous contraindre à n'utiliser que la forme algébrique d'un nombre complexe. On effectuera donc la preuve sous cette forme.
- Soient $z_1=x_1+iy_1$ et $z_2=x_2+iy_2$ où $x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb{R}.$ On a $\overline{z_1z_2}=\overline{x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)}=x_1x_2-y_1y_2-i(x_1y_2+x_2y_1)=(x_1-iy_1)(x_2-iy_2)=\overline{z_1}\times\overline{z_2}.$
- Soit $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb{R}$ . On montre par récurrence sur $n\ge2$ que $\overline{z^n}=\overline{z}^n.$
$n=2$ : c'est l'objet du point précédent avec $z_1=z_2=z.$
Soit $n\ge2$ tel que $\overline{z^n}=\overline{z}^n$ . On a $\overline{z^{n+1}}=\overline{z\times z^n}$ donc d'après le point précédent, $\overline{z^{n+1}}=\overline{z}\times\overline{z^n}$ et d'après l'hypothèse de récurrence, $\overline{z^{n+1}}=\overline{z}\times\overline{z}^n=\overline{z}^{n+1}$ .
D'après le principe de récurrence, on a $\forall n\ge2,\ \overline{z^n}=\overline{z}^n.$

Remarque : en connaissant la forme exponentielle d'un nombre complexe, ces propriétés sont immédiates : si $z_1=r_1e^{i\theta_1}$ et $z_2=r_2e^{i\theta_2}$ alors $\overline{z_1z_2}=\overline{r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}}=r_1r_2e^{-i(\theta_1+\theta_2)}=r_1e^{-i\theta_1}r_2e^{-i\theta_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$ et $\overline{z^n}=\overline{e^{in\theta}}=e^{-in\theta}=(e^{-i\theta})^n=\overline{z}^n.$

4. Soit $z$ une solution de l'équation (E). $\overline{z}^4+4\overline{z}^2+16=\overline{z^4}+4\overline{z^2}+16=\overline{z^4+4z^2+16}=\overline{0}=0$ donc $\overline{z}$ est solution de (E).
Déterminons les solutions. Si $z\in\mathbb{C}$ , alors $z^2$ est solution de $Z^2+4Z+16=0.$ Ainsi, d'après la question 1, $z^2=4e^{\pm\frac{2i\pi}{3}}.$ Les solutions de (E) sont donc à chercher parmi les "racines carrées" de $4e^{\frac{2i\pi}{3}}=a^2$ et $4e^{-\frac{2i\pi}{3}}.$
La question 2 répond à la question pour $a^2$ : les solutions de $z^2=4e^{\frac{2i\pi}{3}}$ sont $a$ et $-a.$
On vérifie que $b=\sqrt{4}e^{\frac{1}{2}\times(-\frac{2i\pi}{3})}=2e^{-i\frac{\pi}{3}}=1-i\sqrt{3}$ est solution de $z^2=4e^{-\frac{2i\pi}{3}}$ de même que $-b.$ L'équation étant une équation polynomiale de degré 2, $b$ et $-b$ sont les (seules) solutions.
On a donc montré jusqu'à présent que si $z$ est solution de (E) alors $z\in\lbrace a,-a,b,-b\rbrace.$
Montrons maintenant que $a,-a,b,-b$ vérifient l'équation. Comme ce calcul implique des sommes, il vaut mieux passer en écriture algébrique.
$a=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ donc $a^2=4e^{\frac{2i\pi}{3}}=-2+2i\sqrt{3}$ et $a^4=16e^{\frac{4i\pi}{3}}=16\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-8-8i\sqrt{3}$ Ainsi, $a^4+4a^2+16=-8-8i\sqrt{3}+(-8+8i\sqrt{3})+16=0$ donc $a$ est solution.
$a^2=(-a)^2$ et $a^4=(-a)^4$ donc $-a$ est aussi solution.
$b=2e^{-i\frac{\pi}{3}}=\overline{a}$ donc d'après le début de la question, $b$ est solution de (E).
$b^2=(-b)^2$ et $b^4=(-b)^4$ donc $-b$ est aussi solution de (E).
Ainsi, on a montré que $z$ est solution de (E) si et seulement si $z\in\lbrace a,-a,b,-b\rbrace.$

Remarque : il n'y a pas eu besoin d'admettre que (E) possède au plus 4 solutions.

exercice 4 - CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

1. a) Le vecteur $\overrightarrow{AD}$ est le troisième vecteur du repère donc $D$ a pour coordonnées $(0,0,1).$ $F$ est le milieu du segment $[BC]$ donc $F$ a pour coordonnées $(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2},\frac{z_B+z_C}{2})=(\frac{1+0}{2},\frac{0+1}{2},\frac{0+0}{2})=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0).$

1. b) La droite $(DF)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{DF}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}x_F-x_D\\y_F-y_D\\z_F-z_D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\-1\end{pmatrix}.$ Ainsi, une représentation paramétrique de la droite $(DF)$ est : $\left\lbrace\begin{array}{l}x=x_D+\frac{t}{2}\\\\y=y_D+\frac{t}{2}\\\\z=z_D-t\end{array}\right, t\in\mathbb{R}$ soit $\left\lbrace\begin{array}{l}x=\frac{t}{2}\\\\y=\frac{t}{2}\\\\z=1-t\end{array}\right, t\in\mathbb{R}.$

1. c) Le plan $\mathcal{P}$ est orthogonal à la droite $(DF)$ qui est dirigée par $\overrightarrow{DF}.$ Ainsi, le vecteur $\overrightarrow{DF}$ , de même que le vecteur $2\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$ (dont les coordonnées sont plus simples) sont normaux à $\mathcal{P}.$ Une équation cartésienne du plan est donc $1\times x+1\times y-2\times z+d=0$ où $d$ est un réel à déterminer. On sait que $A$ appartient au plan, donc $x_A+y_A-2z_A+d=0$ soit $d=0.$ Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donc $x+y-2z=0.$

1. d) $H\in\mathcal{P}\cap(DF)$ donc les coordonnées de $H$ vérifient : pour un certain $t\in\mathbb{R},$
$\left\lbrace\begin{array}{l}x_H=\frac{t}{2}\\\\y_H=\frac{t}{2}\\\\z_H=1-t\\\\x_H+y_H-2z_H=0\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{l}x_H= \frac{t}{2}\\\\y_H=\frac{t}{2}\\\\z_H=1-t\\\\ \frac{t}{2}+\frac{t}{2}-2(1-t)=0\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{l}x_H=\frac{t}{2}\\\\y_H=\frac{t}{2}\\\\ z_H=1-t\\\\3t=2\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{l}t=\frac{2}{3}\\\\x_H=\frac{1}{3}\\\\y_H=\frac{1}{3}\\\\z_H=\frac{1}{3}\end{array}\right.$
Ainsi, $H$ a pour coordonnées $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}).$

1. e) Pour montrer que l'angle $\widehat{EHG}$ est un angle droit, on montre que le produit scalaire entre $\overrightarrow{HE}$ et $\overrightarrow{HG}$ est nul.
$\overrightarrow{HE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x_E-x_H\\y_E-y_H\\z_E-z_H\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{x_A+x_B}{2}-x_H\\\\\frac{y_A+y_B}{2}-y_H\\\\ \frac{z_A+z_B}{2}-z_H\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\\\0-\frac{1}{3}\\\\0-\frac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{6}\\\\-\frac{1}{3}\\\\-\frac{1}{3}\end{pmatrix}.$
$\overrightarrow{HG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x_G-x_H\\y_G-y_H\\z_G-z_H\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{x_C+x_A}{2}-x_H\\\\\frac{y_C+y_A}{2}-y_H\\\\ \frac{z_C+z_A}{2}-z_H\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\\\\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\\\-\frac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\\\\frac{1}{6}\\\\-\frac{1}{3}\end{pmatrix}.$
Alors, $\overrightarrow{HE}\cdot\overrightarrow{HG}=\frac{1}{6}\times(-\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3})\times\frac{1}{6}+(-\frac{1}{3})\times(-\frac{1}{3})=0.$

2. a) On sait que $ME^2=(x_E-x_M)^2+(y_E-y_M)^2+(z_E-z_M)^2=(\frac{1}{2}-\frac{t}{2})^2+(0-\frac{t}{2})^2+(0-(1-t))^2=\left[\frac{1}{4}-2\times\frac{1}{2}\times \frac{t}{2}+\frac{t^2}{4}\right]+\frac{t^2}{4}+\left[1-2t+t^2\right]=\frac{3}{2}t^2-\frac{5}{2}t+\frac{5}{4}.$

2. b) Il faut montrer que $ME=MG.$ Or $MG^2=(x_G-x_M)^2+(y_G-y_M)^2+(z_G^z_M)^2=(0-\frac{t}{2})^2+(\frac{1}{2}-\frac{t}{2})^2+(0-(1-t))^2=ME^2.$ Donc, comme $ME,MG\ge0,$ on en déduit que $ME=MG.$ Ainsi, le triangle $MEG$ est isocèle en $M.$
On en déduit que la médiatrice du segment $[EG]$ est aussi la bissectrice de l'angle $\widehat{EMG}.$ Notons $I$ le milieu du segment $[EG]$ et qui est donc le point d'intersection où la bissectrice de l'angle $\widehat{EMG}$ et le segment $[EG]$ forment un angle droit. Si l'on n'est pas convaincu, un rapide calcul de $\overrightarrow{EG}\cdot\overrightarrow{IM}$ le démontre.

Bac scientifique Métropole Juin 2014 - terminale : image 3

Le triangle $EIM$ est donc rectangle en $I.$ Les formules de trigonométrie montrent que $\sin\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)=\cfrac{EI}{ME}$ soit $ME\sin\cfrac{\alpha}{2}=EI=\sqrt{(x_I-x_E)^2+(y_I-y_E)^2+(z_I-z_E)^2}=\sqrt{(\frac{x_G-x_E}{2})^2+(\frac{y_G-y_E}{2})^2+(\frac{z_G-z_E}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+0}=\frac{\sqrt{2}}{4}= \frac{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{4\times\sqrt{2}}=\frac{2}{4\sqrt{2}}$
soit $ME\sin\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}.$

2. c) Ici, $\alpha$ varie entre 0 et $\pi$ donc $\frac{\alpha}{2}$ entre 0 et $\frac{\pi}{2}.$ Or $\sin$ est strictement croissante sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ donc $\alpha$ est maximale si et seulement si $\cfrac{\alpha}{2}$ l'est, si et seulement si $\sin\cfrac{\alpha}{2}$ l'est.
Détaillons : si $\alpha$ est maximal, pour tout $\beta$ dans l'ensemble des valeurs possibles, $\alpha\ge\beta.$ Comme $\frac{1}{2}>0$ , c'est équivalent à dire que $\frac{\alpha}{2}\ge\frac{\beta}{2}$ pour tout $\beta$ dans l'ensemble des valeurs possibles. Comme $\sin$ est croissante sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ et que l'ensemble des valeurs possibles est inclus dans cet intervalle, on en déduit que $\sin\frac{\alpha}{2}\ge\sin\frac{\beta}{2}$ pour tout $\beta$ comme voulu. Réciproquement, si $\sin\frac{\alpha}{2}\ge\sin\frac{\beta}{2}$ alors $\frac{\alpha}{2}\ge\frac{\beta}{2}$ . En effet, sinon, on aurait un $\beta$ tel que $\sin\frac{\alpha}{2}\ge\sin\frac{\beta}{2}$ et $\frac{\alpha}{2}<\frac{\beta}{2}$ et par stricte croissance de $\sin,$ on aurait $\sin\frac{\alpha}{2}<\sin\frac{\beta}{2}$ , ce qui n'est pas le cas.
On sait que $ME^2=\frac{3}{2}t^2-\frac{5}{2}t+\frac{5}{4}.$ Le discriminant de ce trinôme est $\Delta=-\frac{5}{4}<0$ donc $ME^2$ n'est jamais nul donc $ME$ n'est jamais nul. Ainsi, pour tout $t\in\mathbb{R},\ \sin\cfrac{\alpha}{2}=\frac{1}{2\sqrt{2}ME}$ donc $\sin\cfrac{\alpha}{2}$ est maximal si et seulement si $ME$ est minimal ce qui est équivalent à dire (puisque $x\mapsto x^2$ est strictement croisante sur $\mathbb{R}_+$ ) que $ME^2$ est minimal. Ainsi, $\alpha$ est maximal si et seulement si $ME^2$ est minimal.

2. d) Le minimum de $ME^2$ est le minimum d'un trinôme de degré 2 et est donc atteint pour $t=-\cfrac{-\frac{5}{2}}{2\times\frac{3}{2}}=\frac{5}{6}.$
Dans ce cas, $ME=\sqrt{\frac{3}{2}\times\frac{25}{36}-\frac{5}{2}\times\frac{5}{6}+\frac{5}{4}}=\sqrt{\frac{5}{24}}}$ et donc $\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2\sqrt{2}} \times\sqrt{\frac{24}{4}}=\sqrt{\frac{3}{5}}.$ La calculatrice donne alors $\alpha\approx1,772154247$ ce qui, en degré, donne $\alpha=\frac{1,772154247\times180}{ \pi}\approx101,54°.$

exercice 4 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

1. À la fin de la première année, le bassin B contient $b_0$ poissons qui permettent l'achat de $2b_0$ poissons destinés au bassin A. De plus, les poissons du bassin A sont transférés vers le bassin B. Enfin, le pisciculteur achète 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B. Donc $\left\lbrace\begin{array}{l}a_1=2b_0+200=400\\b_1=a_0+100=300.\end{array}\right.$ Le même raisonnement montre que $\left\lbrace\begin{array}{l}a_2=2b_1+200=800\\b_2=a_1+100=500.\end{array}\right.$

2. a) De même, pour tout $n\ge0,$ $\left\lbrace\begin{array}{l}a_{n+1}=2b_n+200\\b_{n+1}=a_n+100\end{array}\right.$ ce qui se réécrit, avec $X_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix},$ $X_{n+1}=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}X_n+\begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix} =AX_n+B.$

2. b) $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+B\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{l}x-2y=200\\-x+y=100\end{array} \right.\Longleftrightarrow\begin{array}{l}x-2y+(-x+y)=200+100\\x-2y=200\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{l}y=-300\\x=-400\end{array}\right.$

2. c) Pour $n\ge0,$ $Y_{n+1}=\X_{n+1}+\begin{pmatrix}400\\300\end{pmatrix}=AX_n+B+\begin{pmatrix}400\\300\end{pmatrix}.$ Or d'après la question précédente, $-\begin{pmatrix}400\\300\end{pmatrix}=-A\begin{pmatrix}400\\300\end{pmatrix}+B$ d'où $\begin{pmatrix}400\\300\end{pmatrix}+B=A \begin{pmatrix}400\\300\end{pmatrix}$ et donc $Y_{n+1}=AX+A\begin{pmatrix}400\\300\end{pmatrix}=AY_n.$

3. a) Soit $\in\mathbb{N}.$ $Z_{n+1}=Y_{2(n+1)}=Y_{2n+2}=AY_{2n+1}=A(AY_{2n})=A^2Y_{2n}=A^2Z_n$ d'après la question précédente.
Calculons $A^2$ : $A^2=\begin{pmatrix}0\times0+2\times1&0\times2+2\times0\\1\times0+0\times1&1\times2+0\times0\end{pmatrix}=2I_2.$ Donc $Z_{n+1}= 2I_2Z_n=2Z_n.$

3. b) N'admettons pas le résultat, mais démontrons-le. Cette relation de récurrence, si elle était écrite pour des suites numériques, serait l'équation vérifiée par une suite géométrique de raison 2. La démonstration se fait par récurrence. Par analogie, montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $Z_n=2^nZ_0.$ :
$n=0$ : $Z_0=2^0Z_0$ est vrai.
Supposons le résultat vrai pour $n\in\mathbb{N}.$ $Z_{n+1}=2Z_n$ donc par hypothèse de récurrence, $Z_{n+1}=2\times2^nZ_0=2^{n+1}Z_0$
D'après le principe de récurrence, $\forall n\in\mathbb{N},\ Z_n=2^nZ_0.$
On en déduit que $Y_{2n}=2^nY_0$ et $Y_{2n+1}=AY_{2n}=A(2^nY_0)=2^n(AY_0)=2^nY_1.$
Ainsi, $\begin{pmatrix}a_{2n}+400\\b_{2n}+300\end{pmatrix}=Y_{2n}=2^nY_0=2^n\begin{pmatrix}200+400\\100+300\end{pmatrix}$ soit $a_{2n}=600\times2^n-400.$ Et $\begin{pmatrix}a_{2n+1}+400\\b_{2n+1}+300\end{pmatrix}=Y_{2n+1}=2^nY_1=2^n\begin{pmatrix}400+400\\300+300\end{pmatrix}$ soit $a_{2n+1}=800\times2^n-400.$

4. a) L'algorithme renvoie une quantité $a$ qu'il faut déterminer. Étant données les expressions affectées à $a$ dans les deux cas, on comprend que $a=a_{2n}$ ou $a=a_{2n+1}$ . Dans le cas $p$ pair, $a$ prend la valeur $a_{2n}=a_p$ et dans le cas impair, $a$ prend la valeur $a_{2n+1}=a_p.$ Ainsi, dans tous les cas, l'algorithme renvoie la valeur de $a_p$ pour un entier $p$ donné par l'utilisateur.

4. b) Le pisciculteur pourra utiliser le bassin A à l'année $p$ si $a_p\le10000.$ Pour afficher le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A, il faut donc modifier légèrement l'algorithme précédent et, en plus de calculer $a_p$ pour un $p$ donné, calculer $a_p$ tant que $a_p\le10000$ et renvoyer le dernier $p.$
Pour écrire un algorithme censé "renvoyer le dernier ... tel que ...", on a deux possibilités :
1^ère méthode : à chaque passage dans la boucle, on affecte à $a$ la quantité $a_{p+1}$ (donc il faut remplacer $p$ par $p+1$ dans l'algorithme de l'énoncé) de sorte que lorsque $a$ dépasse pour la première fois 10000, cela veut dire que $a_{p+1}>10000$ et $a_p<10000$ et donc l'entier recherché est $p.$ $\begin{array}{|l|} \hline \textbf{Variables :}\\ \quad a,p\text{ et }n\text{ sont des entiers naturels.}\\ \textbf{Initialisation :}\\ \quad\text{Affecter à }p\text{ la valeur 0.}\\ \quad\text{Affecter à }a\text{ la valeur }400.\qquad(p=0\text{ donc on pose }a=a_{p+1}=a_1)\\ \textbf{Traitement :}\\ \quad\text{Tant que }a\le10000\\ \quad\quad\text{Affecter à }p\text{ la valeur }p+1.\\ \quad\quad\text{Si }p+1\text{ est pair}\\ \quad\quad\quad\text{Affecter à }n\text{ la valeur }\frac{p+1}{2}\\ \quad\quad\quad\text{Affecter à }a\text{ la valeur }600\times2^n-400.\\ \quad\quad\text{Sinon}\\ \quad\quad\quad\text{Affecter à }n\text{ la valeur }\frac{p}{2}\\ \quad\quad\quad\text{Affecter à }a\text{ la valeur }800\times2^n-400.\\ \quad\quad\text{Fin de Si.}\\ \quad\text{Fin de Tant que.}\\ \textbf{Sortie :}\\ \quad\text{Afficher }p.\\ \hline \end{array}$
2^ème méthode : à chaque passage dans la boucle, on affecte à $a$ la quantité $a_p$ de sorte que lorsque $a$ dépasse pour la première fois $10000$ cela veut dire que $a_p>10000$ et $a_{p-1}\le10000$ et donc l'entier recherché est $p-1.$ $\begin{array}{|l|} \hline \textbf{Variables :}\\ \quad a,p\text{ et }n\text{ sont des entiers naturels.}\\ \textbf{Initialisation :}\\ \quad\text{Affecter à }p\text{ la valeur 0.}\\ \quad\text{Affecter à }a\text{ la valeur }200.\qquad(p=0\text{ donc on pose }a=a_{p}=a_0)\\ \textbf{Traitement :}\\ \quad\text{Tant que }a\le10000\\ \quad\quad\text{Affecter à }p\text{ la valeur }p+1.\\ \quad\quad\text{Si }p\text{ est pair}\\ \quad\quad\quad\text{Affecter à }n\text{ la valeur }\frac{p}{2}\\ \quad\quad\quad\text{Affecter à }a\text{ la valeur }600\times2^n-400.\\ \quad\quad\text{Sinon}\\ \quad\quad\quad\text{Affecter à }n\text{ la valeur }\frac{p-1}{2}\\ \quad\quad\quad\text{Affecter à }a\text{ la valeur }800\times2^n-400.\\ \quad\quad\text{Fin de Si.}\\ \quad\text{Fin de Tant que.}\\ \quad\text{Affecter à }p\text{ la valeur }p-1.\\ \textbf{Sortie :}\\ \quad\text{Afficher }p.\\ \hline \end{array}$
On obtient $p=8.$ (9200 poissons dans le bassin A)

Publié par TP et david9333 / Jedoniezh pour la correction le 18-06-2016

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