Baccalauréat Général
Série Scientifique
Métropole - Session Juin 2014
Partager :
Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par la courbe représentative de la fonction définie sur par :
.
1. Justifier que passe par le point A de coordonnées (0 ; 1).
2. Déterminer le tableau de variation de la fonction . On précisera les limites de en et en .
Partie B
L'objet de cette partie est d'étudier la suite définie sur par :
.
1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé , pour tout entier naturel , on note
la courbe représentative de la fonction définie sur par
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe pour plusieurs valeurs de l'entier et la droite d'équation .
a) Interpréter géométriquement l'intégrale .
b) En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s?appuie pour conjecturer.
2. Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,
.
En déduire le signe de puis démontrer que la suite est convergente.
3. Déterminer l'expression de en fonction de et déterminer la limite de la suite .
5 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Partie A
Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :
la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est 0,99 ;
la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est 0,001.
1. Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à 0,1%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
On note l'évènement «la personne choisie est malade» et l'évènement «le test est positif».
a) Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré.
b) Démontrer que la probabilité de l'évènement est égale à .
c) L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
Affirmation : «Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade».
2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. On désigne par la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population.
À partir de quelle valeur de le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?
Partie B
La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d'un médicament.
1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d'un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi normale , de moyenne et d'écart-type .
a) Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10-2.
b) Déterminer l'entier positif tel que à 10-3 près.
2. La chaine de production a été réglée dans le but d'obtenir au moins 97% de comprimés conformes. Afin d'évaluer l'efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 1 000 comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1 000 tirages successifs avec remise.
Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l'échantillon prélevé.
Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On désigne par (E) l'équation
d'inconnue complexe .
1. Résoudre dans l'équation .
Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.
2. On désigne par le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à .
Calculer sous forme algébrique.
En déduire les solutions dans de l'équation . On écrira les solutions sous forme algébrique.
3.Restitution organisée de connaissances
On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe où et , le conjugué de est le nombre complexe défini par .
Démontrer que :
Pour tous nombres complexes et , .
Pour tout nombre complexe et tout entier naturel non nul , .
4. Démontrer que si est une solution de l'équation (E) alors son conjugué est également une solution de (E).
En déduire les solutions dans de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].
On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé de l'espace.
1. On désigne par le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF).
On note H le point d'intersection du plan et de la droite (DF).
a) Donner les coordonnées des points D et F.
b) Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).
c) Déterminer une équation cartésienne du plan .
d) Calculer les coordonnées du point H.
e) Démontrer que l'angle est un angle droit.
2. On désigne par un point de la droite (DF) et par le réel tel que . On note la mesure en radians de l'angle géométrique .
Le but de cette question est de déterminer la position du point pour que soit maximale.
a) Démontrer que .
b) Démontrer que le triangle EG est isocèle en .
En déduire que .
c) Justifier que est maximale si et seulement si est maximal.
En déduire que est maximale si et seulement si est minimal.
d) Conclure.
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :
il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A.
Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B.
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivement et les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de années.
En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est et celui du bassin B est .
1. Justifier que et puis calculer et .
2. On désigne par et les matrices telles que et et pour tout entier naturel , on pose .
a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel , .
b) Déterminer les réels et tels que .
c) Pour tout entier naturel , on pose .
Démontrer que pour tout entier naturel , .
3. Pour tout entier naturel , on pose .
a) Démontrer que pour tout entier naturel , . En déduire que pour tout entier naturel , .
b) On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel ,
.
En déduire que puis démontrer que pour tout entier naturel ,
et .
4. Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.
a) On donne l'algorithme suivant.
Variables : , et sont des entiers naturels.
Initialisation : Demander à l'utilisateur la valeur de .
Traitement : Si est pair
Affecter à la valeur Affecter à la valeur .
Sinon
Affecter à la valeur Affecter à la valeur .
Fin de Si.
Sortie : Afficher .
Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
b) Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.
1. Pour montrer que passe par le point A de coordonnées (0,1) il suffit de vérifier que . C'est le cas puisque .
2. Les fonctions et sont dérivables donc est dérivable sur . Pour étudier les
variations de on peut donc étudier le signe de sa dérivée. Or,
Ainsi, d'où, comme la fonction est croissante, soit On sait donc que
est croissante sur et décroissante sur .
Calculons les limites de en et .
- En : on a et donc
- En : on a et . On a donc une forme
indéterminée pour cette limite. Pour pouvoir calculer la limite, on peut mettre en facteur le terme "dominant" (qui tend vers l'infini le plus vite). Si l'on se souvient des règles de
croissances comparées, on peut penser que c'est l'exponentielle qui va dominer (si l'on met en facteur le terme , ça marchera aussi !). On essaye donc de calculer
la limite de en mettant en facteur :
Les règles de croissance comparée donnent donc donc
On peut finalement dresser le tableau de variation de :
La calculatrice étant autorisée pour cette épreuve, on "vérifie" le résultat en traçant :
Partie B
1. a) L'intégrale est l'aire sous la courbe entre 0 et 1. Plus précisément, c'est l'aire délimitée par l'axe des abscisses,
l'axe des ordonnées, la courbe et la droite
1. b) On remarque que la surface sous la courbe semble s'approcher de plus en plus de la surface du triangle délimité par l'axe des abscisses,
et la droite d'équation :
On peut donc conjecturer que la suite est décroissante et qu'elle a pour limite l'aire du triangle :
2. Soit On a :
Or pour , et par croissance de l'exponentielle donc .
Ainsi, . On en déduit que Ainsi, : la suite est décroissante.
Or, pour tout , pour tout . Donc .
La suite est donc une suite décroissante et minorée. On en déduit qu'elle converge.
3. Soit On a :
Or une primitive de est donc
De même, une primitive de est donc
Ainsi,
Or, comme et donc Ainsi,
et notre conjecture est vérifiée.
Remarque : Si la question avait simplement été "Déterminer, si elle existe, la limite de ?" (au lieu de 2-3), il n'aurait pas été nécessaire de tenir le raisonnement
de la question 2. En effet, lorsqu'on calcule effectivement , on montre directement qu'elle a une limite. Néanmoins, il ne faut pas s'étonner de voir la question 2
puisque son but est de faire appliquer des théorèmes du cours, et donc de vérifier les connaissances du candidat.
exercice 2 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Partie A
1. a) - On sait que le pourcentage de personnes malades est égal à donc et
- On sait que la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est égale à 0,99 donc et
- On sait que la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est égale à 0,001 donc et
On obtient donc l'arbre suivant :
1. b) On a
1. c) On sait que le test est positif et on veut savoir la probabilité que la personne soit malade. On veut donc calculer . Or . Ainsi, l'affirmation est vraie.
2. Le test est commercialisé si Il faut donc calculer cette quantité quand la proportion de malades vaut . Comme
précédemment, Il faut donc calculer ces quantités.
La situation est traduite par l'arbre suivant :
On a et Ainsi,
Alors,
donc si est supérieur à environ , le test sera commercialisé.
Partie B
1. La probabilité qu'un comprimé soit conforme est On utilise la calculatrice :
1er cas : la calculatrice utilisée a une fonction qui calcule quand on lui donne et les paramètres de la loi normale. Dans ce cas, on
donne tous les paramètres et on obtient le résultat.
2e cas : la calculatrice utilisée ne fait cela que pour la loi normale centrée réduite. On doit donc se ramener à celle-ci. Pour cela, on sait que si suit une
loi normale alors suit la loi normale centrée réduite.
Or,
La calculatrice donne donc à près.
1. b) Considérons, comme dans la question précédente, la variable aléatoire
qui suit la loi normale centrée réduite. On sait que à près. Or,
Ainsi, on prend et on vérifie à la calculatrice que à près.
2. Dans cette situation, la variable aléatoire comptant le nombre de comprimés non conformes suit une loi binomiale Comme
est suffisamment grand, on sait que la fréquence de succès de la loi binomiale doit être dans l'intervalle de confiance à 95% :
Ici, et donc a fortiori, n'appartient pas à l'intervalle de confiance à 95% donc le contrôle effectué
remet en question les réglages du laboratoire.
Correction alternative proposée par Jedoniezh, attention, cette correction n'a pas passé le cycle normal de relecture, elle contient donc peut-être des inexactitudes.
EXPLICATIONS COMPLEMENTAIRES (pour "aller plus loin")
exercice 2
Partie B
Partager :
1.a) Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10-2
Si suit une loi normale , soit , alors suit une loi normale centrée réduite de la façon suivante :
tel que
Une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite si sa densité est définie sur par dont la courbe est représentée ci-dessous.
On a alors :
A noter que faire tendre vers correspond à obtenir l'aire totale sous la courbe, laquelle est égale à 1.
Avec , nous avons :
Donc on recherche qui correspond à l'aire sous la courbe entre les droites d'équations et (voir figure c-dessous)
Or qui correspond à la différence des deux aires représentées ci-dessous :
De part la symétrie de la fonction , la différence recherchée entre les deux aires est équivalente à celle des deux aires ci-dessous et nous avons :
L'aire totale sous la courbe de étant égale à 1, l'aire en rouge dans la figure de gauche ci-dessous est donc égale à la différence entre l'aire totale sous la courbe qui vaut 1 et l'aire en vert.
Ainsi nous avons :
En utilisant la calculatrice (ou en lisant les valeurs dans une table de la loi normale centrée réduite), nous obtenons les résultats suivants :
b) Déterminer l'entier positif tel que à près.
De la même manière que ci-dessus, si suit une loi normale , soit , alors suit une loi normale centrée réduite de la façon suivante :
Donc :
On recherche donc la valeur de pour que l'aire colorée sous la courbe de la figure ci-dessous soit inférieure ou égale à :
Nous avons donc :
, et cette différence de probabilité correspond à la différence des deux aires représentées sur la figure ci-dessous :
Or, nous avons :
Donc nous recherchons la valeur de tel que :
En utilisant la calculatrice (ou en lisant les valeurs dans une table de la loi normale centrée réduite), nous obtenons les résultats suivants :
(avec une table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons )
exercice 3 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
1. On cherche les solutions de l'équation Le discriminant est donc l'équation a deux
solutions complexes conjuguées : et On peut écrire
et
2. Par définition donc d'après le calcul précédent. Ainsi, est solution
de l'équation . Sans calcul, on sait alors que est également solution de cette équation. En développant alors la quantité
on obtient exactement ce qui signifie que
Les (seules) solutions de l'équation sont donc et
Remarque : dans ou une équation polynomiale de degré possède au plus solutions. Pour le démontrer,
il suffit de factoriser comme ci-dessus ( est solution si et seulement si on peut mettre en facteur dans le polynôme). Ici, en ayant
trouvé deux solutions, il était certain qu'il n'y en aurait pas d'autres.
En fait, dans (pas dans ), on est même sûr qu'il existe exactement solutions (pas forcément toutes distinctes, en un
sens à préciser)
3. L'énoncé semble nous contraindre à n'utiliser que la forme algébrique d'un nombre complexe. On effectuera donc la preuve sous cette forme.
- Soient et où On a
- Soit avec . On montre par récurrence sur que : c'est l'objet du point précédent avec
Soit tel que . On a donc d'après le point précédent,
et d'après l'hypothèse de récurrence, .
D'après le principe de récurrence, on a
Remarque : en connaissant la forme exponentielle d'un nombre complexe, ces propriétés sont immédiates : si et
alors
et
4. Soit une solution de l'équation (E).
donc est solution de (E).
Déterminons les solutions. Si , alors est solution de Ainsi, d'après la question 1,
Les solutions de (E) sont donc à chercher parmi les "racines carrées" de et
La question 2 répond à la question pour : les solutions de sont et
On vérifie que est solution de de même que
L'équation étant une équation polynomiale de degré 2, et sont les (seules) solutions.
On a donc montré jusqu'à présent que si est solution de (E) alors
Montrons maintenant que vérifient l'équation. Comme ce calcul implique des sommes, il vaut mieux passer en écriture algébrique.
donc et
Ainsi, donc est solution.
et donc est aussi solution.
donc d'après le début de la question, est solution de (E).
et donc est aussi solution de (E).
Ainsi, on a montré que est solution de (E) si et seulement si
Remarque : il n'y a pas eu besoin d'admettre que (E) possède au plus 4 solutions.
exercice 4 - CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
1. a) Le vecteur est le troisième vecteur du repère donc a pour coordonnées est le
milieu du segment donc a pour coordonnées
1. b) La droite est dirigée par le vecteur de coordonnées Ainsi, une représentation paramétrique de la droite est :
soit
1. c) Le plan est orthogonal à la droite qui est dirigée par Ainsi, le vecteur ,
de même que le vecteur (dont les coordonnées sont plus simples) sont normaux à
Une équation cartésienne du plan est donc
où est un réel à déterminer. On sait que appartient au plan, donc soit Une équation cartésienne du plan
est donc
1. d) donc les coordonnées de vérifient : pour un certain
Ainsi, a pour coordonnées
1. e) Pour montrer que l'angle est un angle droit, on montre que le produit scalaire entre et
est nul.
a pour coordonnées a pour coordonnées
Alors,
2. a) On sait que
2. b) Il faut montrer que Or
Donc, comme on en déduit que Ainsi, le triangle est isocèle en
On en déduit que la médiatrice du segment est aussi la bissectrice de l'angle Notons le milieu du segment
et qui est donc le point d'intersection où la bissectrice de l'angle et le segment forment un angle droit. Si l'on n'est pas convaincu,
un rapide calcul de le démontre.
Le triangle est donc rectangle en Les formules de trigonométrie montrent que soit
soit
2. c) Ici, varie entre 0 et donc entre 0 et Or est strictement croissante sur
donc est maximale si et seulement si l'est, si et seulement si l'est.
Détaillons : si est maximal, pour tout dans l'ensemble des valeurs possibles, Comme ,
c'est équivalent à dire que pour tout dans l'ensemble des valeurs possibles. Comme est croissante
sur et que l'ensemble des valeurs possibles est inclus dans cet intervalle, on en déduit que pour
tout comme voulu. Réciproquement, si alors . En effet, sinon,
on aurait un tel que et et par stricte croissance de on aurait , ce
qui n'est pas le cas.
On sait que Le discriminant de ce trinôme est donc n'est jamais nul donc
n'est jamais nul. Ainsi, pour tout donc est maximal si et seulement
si est minimal ce qui est équivalent à dire (puisque est strictement croisante sur ) que est minimal.
Ainsi, est maximal si et seulement si est minimal.
2. d) Le minimum de est le minimum d'un trinôme de degré 2 et est donc atteint pour
Dans ce cas, et donc La calculatrice donne alors ce qui, en degré, donne
exercice 4 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
1. À la fin de la première année, le bassin B contient poissons qui permettent l'achat de poissons destinés au bassin A. De plus,
les poissons du bassin A sont transférés vers le bassin B. Enfin, le pisciculteur achète 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B. Donc
Le même raisonnement montre que
2. a) De même, pour tout
ce qui se réécrit, avec
2. b)
2. c) Pour Or d'après la question
précédente, d'où et donc
3. a) Soit d'après la question précédente.
Calculons : Donc
3. b) N'admettons pas le résultat, mais démontrons-le. Cette relation de récurrence, si elle était écrite pour des suites numériques, serait l'équation vérifiée par
une suite géométrique de raison 2. La démonstration se fait par récurrence. Par analogie, montrons par récurrence sur que :
: est vrai.
Supposons le résultat vrai pour donc par hypothèse de récurrence,
D'après le principe de récurrence,
On en déduit que et
Ainsi, soit
Et soit
4. a) L'algorithme renvoie une quantité qu'il faut déterminer. Étant données les expressions affectées à dans les deux cas, on comprend que
ou . Dans le cas pair, prend la valeur et dans le cas impair, prend la valeur
Ainsi, dans tous les cas, l'algorithme renvoie la valeur de pour un entier donné par l'utilisateur.
4. b) Le pisciculteur pourra utiliser le bassin A à l'année si Pour afficher le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur
pourra utiliser le bassin A, il faut donc modifier légèrement l'algorithme précédent et, en plus de calculer pour un donné, calculer tant que
et renvoyer le dernier
Pour écrire un algorithme censé "renvoyer le dernier ... tel que ...", on a deux possibilités :
1ère méthode : à chaque passage dans la boucle, on affecte à la quantité (donc il faut remplacer par
dans l'algorithme de l'énoncé) de sorte que lorsque dépasse pour la première fois 10000, cela veut dire que et et
donc l'entier recherché est
2ème méthode : à chaque passage dans la boucle, on affecte à la quantité de sorte que lorsque dépasse pour la première
fois cela veut dire que et et donc l'entier recherché est
On obtient (9200 poissons dans le bassin A)
Publié par TP et david9333 / Jedoniezh pour la correction
le
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Merci à david9333 / Jedoniezh pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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