Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies du Design et des Arts Appliqués
Métropole - Session Juin 2014

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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé conformément à la réglementation en vigueur.


7 points

exercice 1

Un club de tennis souhaite avoir un logo en forme de raquette dans laquelle sera inscrit le nom du club (voir la figure ci-dessous).
Bac sciences et technologies du design et des arts appliqués Métropole Juin 2014 - terminale : image 1
Une partie du logo est tracé dans le repère orthonormé de l'annexe 1, d'origine O(0 ; 0) et d'unité 1 cm. L'ellipse \mathcal{E}, de centre \Omega, représente le cadre de la raquette (partie où se trouve le tamis ou cordage). Les segments [AM], [MN] et [NE] constituent une partie du manche.
Dans ce repère, on a les données suivantes:
    \Omega(9 ; 0)      B(5 ; 2,4)      A(0 ; 0,5)      M(-5,5 ; 0,5)      N(-5,5 ; -0,5)      E(0 ; -0,5).
    Une équation cartésienne de l'ellipse \mathcal{E} est \dfrac{(x-9)^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1.

Partie A

1. Calculer les longueurs des demi-axes de l'ellipse \mathcal{E}.

2. Montrer que le point B appartient à l'ellipse \mathcal{E}.

Partie B

1. Pour compléter la partie manquante du manche, on souhaite relier les points A et B par un arc de parabole, représentant une fonction f définie par f(x)=ax^2+bx+c.
    a) Donner l'expression de la fonction f' dérivée de f.
    b) On souhaite que l'arc de la parabole passe par les points A et B, et que la tangente à la parabole au point A soit horizontale. Exprimer ces trois contraintes à l'aide d'un système.
    c) Résoudre ce système.

2. On admet que la fonction f est définie sur [0 ; 5] par f(x) = 0,076x^2 + 0,5. On appelle \mathcal{C} sa courbe représentative.
    a) Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction f ci-dessous (valeurs arrondies à 10-1 près).
x011,522,533,544,55
f(x)          

    b) Dans le repère de l'annexe 1, tracer la courbe \mathcal{C}, ainsi que la courbe \mathcal{C'} symétrique de la courbe \mathcal{C} par rapport à l'axe des abscisses.
Bac sciences et technologies du design et des arts appliqués Métropole Juin 2014 - terminale : image 2


Partie C

Le logo de l'annexe 1 est une réduction à l'échelle \frac{2}{7} d'une raquette qui a servi de modèle pour le tracer. Les trois questions suivantes concernent la raquette qui a servi de modèle.

1. Calculer en vraie grandeur la longueur totale en centimètres de la raquette (manche et cadre).

2. Calculer une valeur arrondie au cm2 de l'aire du tamis en vraie grandeur sachant que l'aire d'une ellipse est égale à \pi\times d\times D, où d et D désignent les longueurs des demi-axes de l'ellipse.

3. Une raquette de compétition doit avoir une longueur totale qui ne dépasse pas 74 cm et une aire du tamis qui ne dépasse pas 710 cm2. La raquette qui a servi de modèle est-elle une raquette de compétition ?


7 points

exercice 2

Un presse papier est constitué d'une pyramide SIJKL à base carrée inscrite dans un cube transparent ABCDEFGH.

Il est représenté ci-dessous en perspective cavalière.
Bac sciences et technologies du design et des arts appliqués Métropole Juin 2014 - terminale : image 3
Le sommet S de la pyramide est au centre de la face supérieure BFGC du cube.

Les points I, J, K et L sont les milieux des arêtes de la face inférieure AEHD.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.


Partie A : Représentation en perspective centrale

L'objectif de cette partie est de représenter ce presse-papier en perspective centrale avec comme plan frontal le plan (ABCD) en complétant l'annexe 2, où la ligne d'horizon est déjà tracée. On note a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, s les images respectives des points A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, S dans cette représentation en perspective centrale.
Bac sciences et technologies du design et des arts appliqués Métropole Juin 2014 - terminale : image 4


1. Que peut-on dire des droits (gf) et (cb) dans cette représentation centrale ?
    a) Donner la position de la droite (CG) dans l'espace par rapport au plan frontal (ABCD).
    b) Donner la position de la droite (BF) dans l'espace par rapport au plan frontal (ABCD).

2. Comment appelle-t-on le point d'intersection des droites (cg) et (bf) dans la représentation en perspective centrale ?

3. Compléter soigneusement la représentation en perspective centrale du presse-papier sur le document en annexe 2, en laissant apparents les traits de construction.

4. Que peut-on dire des droites (ij) et (jk) ? Justifier.

Partie B: Calculs de longueurs, d'un angle et d'une aire

Les arêtes du cube mesurent 8 cm. On désire calculer l'aire d'une face triangulaire de la pyramide.
On rappelle que l'aire d'un triangle est donnée par la formule \mathcal{A}=\dfrac{b\times h}{2}b désigne la base et h la hauteur su triangle.



1. Montrer que IJ=4\sqrt{2} et SI=4\sqrt{5}.

2. En utilisant la relation d'Al-Kashi, calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle \widehat{ISJ}. En déduire la valeur arrondie de cet angle au degré près.

3. Représenter en vraie grandeur le triangle SIJ. Calculer son aire en cm2.


6 points

exercice 3

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.


Partie A : Pentagone

1. Constructions sur la copie:
    Dessiner un segment [OA] de longueur 6 cm.
    Construire le triangle équilatéral OAD.
    Soit I le milieu de [AD]. Construire à l'extérieur du triangle OAD les deux triangles équilatéraux IAB et ICD.
    Tracer le pentagone OABCD.

2. Démontrer que que IBC est un triangle équilatéral.

3. Faire apparaître sur le dessin que le pentagone OABCD est la juxtaposition de 7 triangles équilatéraux identiques.

Partie B: Pavage

1. On considère le motif élémentaire ainsi que les deux motifs «fleur» et «hélice» suivants:
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motif élémentaire
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motif «fleur»
Bac sciences et technologies du design et des arts appliqués Métropole Juin 2014 - terminale : image 7

motif «hélice»
Pour répondre aux deux questions suivantes, on donnera un nom aux sommets à utiliser pour définir les transformations. Pour cela, on reproduira sur un croquis à mains levée le motif élémentaire sur la copie.
    a) Par quelles transformations peut-on obtenir le motif «fleur» à partir du motif élémentaire ?
    b) Par quelles transformations peut-on obtenir le motif «hélice» à partir du motif élémentaire ?

2. On considère le pavage suivant:
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    a) Par quelles transformations peut-on obtenir ce pavage en utilisant le motif «fleur» ?
Pour définir ces transformations, vous placerez des points sur le dessin de l'annexe 3a.
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    b) De même, par quelles transformations peut-on obtenir ce pavage en utilisant le motif «hélice» ?
Pour définir ces transformations, vous placerez des points sur le dessin de l'annexe 3b.
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3. On appelle damier un pavage constitué de motifs bicolores disposés de telle sorte que deux motifs de même couleur ne peuvent être en contact que par un sommet, et non par une arête.
Lequel des deux motifs composés («fleur» ou «hélice») permet-il d'obtenir un pavage de type damier ?
Répondre en coloriant un damier sur l'annexe 3c.
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