Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies du Management et de la Gestion
Antilles Guyane - Session Juin 2014

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Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.


5 points

exercice 1

Cet exercice est composé de deux parties indépendantes

Partie A

Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.


Une agence de voyage, propose un itinéraire touristique pour lequel chaque voyageur effectue un aller-retour en utilisant soit le train, soit le bus. Le choix du mode de transport peut changer entre l'aller et le retour.
À l'aller, le train est choisi dans 70% des cas.
Lorsque le train a été choisi à l'aller, il l'est également pour le retour 9 fois sur 10.
Lorsque le bus a été choisi à l'aller le train est préféré pour le retour dans 80% des cas.
On interroge au hasard un voyageur.
Pour tout évènement E on note \overline{E} son évènement contraire et p(E) sa probabilité.
On considère les évènements :
   T_{A} : «Le voyageur choisit de faire l'aller en train»
   T_{R} : «Le voyageur choisit de faire le retour en train».
Pour répondre aux questions posées, on pourra compléter l'arbre ci-dessous et s'en aider.
Bac STMG Antilles Guyane Juin 2014 - terminale : image 1


1. La probabilité que le voyageur fasse le retour en bus sachant qu'il a fait l'aller en train est égale à :
a) 0,07b) 0,13c) 0,1d) 0,2


2. La probabilité que le voyageur fasse l'aller-retour en train est égale à :
a) 0,63b) 1,6c) 0,9d) 0,8


3. probabilité que le voyageur utilise le bus pour le retour est égale à :
a) 0,07b) 0,13c) 0,1d) 0,2


4. La probabilité que le voyageur utilise les deux moyens de transport proposés est égale à :
a) 0,63b) 0,06c) 0,69d) 0,31


Partie B

Pour l'itinéraire en train, le temps de trajet, exprimé en minutes, est modélisé par une variable aléatoire T. On admet que T suit une loi normale de moyenne 38 et d'écart type 2.
Le tableau ci-dessous présente les valeurs arrondies au dix-millième des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 38 et d'écart type 2.
  a  p(T \le  a)
340,0228
360,1587
380,5000
400,8413
420,9773
On pourra utiliser la calculatrice ou le tableau précédent.

1. Quelle est la probabilité que le temps de trajet soit inférieur à 38 minutes ?

2. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que le temps de trajet soit compris entre 36 et 40 minutes ?


5 points

exercice 2

Cet exercice est composé de deux parties indépendantes.

Le tableau ci-dessous donne l'évolution, par tranches de cinq années, de la population mondiale (en milliards) entre 1980 et 2010.
Année1980198519901995200020052010
Rang de l'année : x_{i}1234567
Nombre d'habitants (en milliards) : y_{i}4,44,85,35,76,16,56,8


Partie A

1. Représenter le nuage de points \left(x_{i} ; y_{i}\right) associé au tableau ci-dessus sur le repère donné en annexe 1.
Bac STMG Antilles Guyane Juin 2014 - terminale : image 2


2. Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients obtenus seront arrondis au centième.

3. On modélise l'évolution de l'effectif y de la population mondiale, exprimé en milliards, en fonction du rang x de l'année par l'expression y = 0,4x + 4.
    a) Représenter graphiquement, dans le repère donné en annexe 1, la droite traduisant cette évolution.
    b) En utilisant le modèle ci-dessus, estimer l'effectif de la population mondiale en 2015.
    c) Selon ce modèle, à partir de quelle année la population mondiale devrait-elle dépasser 8 milliards d'habitants?

Partie B

À partir des données fournies dans le tableau de la partie A :

1. Calculer le taux global d'évolution de la population mondiale entre 1980 et 2010, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01%.

2. Calculer le taux moyen annuel d'évolution de la population mondiale entre 1980 et 2010, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01%.


4 points

exercice 3

On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de 130 000 habitants. La fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 40] par
f(t) = - 30t^2 + 1 200 t + 4 000
modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de t jours de suivi de la propagation.

Partie A : Étude graphique

On donne en annexe 2 la courbe représentative de la fonction f.
Bac STMG Antilles Guyane Juin 2014 - terminale : image 3
Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique.
Les résultats seront justifiés en commentant le travail réalisé sur le graphique et en y laissant les traits de construction.


1. Déterminer le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de 15 jours de suivi de la propagation.

2. Le conseil municipal a décidé de fermer les crèches de la ville lorsque plus de 10% de la population est touchée par la maladie. Pendant combien de jours les crèches ont-elles été fermées ?

Partie B : Étude algébrique

1. Déterminer, pour tout réel t de l'intervalle [0 ; 40], l'expression de f'(t), où f' désigne la fonction dérivée de la fonction f.

2. Étudier le signe de f'(t) pour t variant dans l'intervalle [0 ; 40].
En déduire le tableau de variations de la fonction f.

3. Au bout de combien de jours de suivi de la propagation le nombre de personnes touchées par la maladie est-il maximal ?
Combien y a-t-il alors de personnes touchées ?


6 points

exercice 4

Cet exercice est composé de deux parties indépendantes l'une de l'autre.

Partie A : les économies...

Afin de se constituer un capital, un épargnant place 1 000 euros sur un compte non rémunéré et, chaque mois, verse 75 euros sur ce compte.
On note u_{n} le montant en euros du capital accumulé au bout de n mois.
Ainsi u_{0} = 1 000.

1. Calculer u_{1}, u_{2} et u_{3}.
    a) Déterminer la nature de la suite \left(u_{n}\right) en justifiant la réponse.
    b) En déduire l'expression de u_{n} en fonction de n.
Au bout de combien de temps le capital accumulé est-il supérieur à 3 500 euros ?
Justifier la réponse.

Partie B : et les dépenses...


Cet épargnant doit surveiller ses dépenses. En janvier 2014 il a dépensé 660 € et, jusqu'à présent, ses dépenses ont augmenté chaque mois de 4%. On suppose que cette évolution va se poursuivre à l'avenir.
Cette évolution conduit à modéliser le montant en euros des dépenses mensuelles au cours du n-ième mois après janvier 2014 par le terme v_{n} d'une suite géométrique.
Ainsi v_{0} = 660.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centime d'euro.

1. Justifier que v_{1} = 1,04v_{0}.
Calculer v_{3} et interpréter le résultat.

2. Calculer le montant des dépenses au mois de décembre 2014.

3. Selon ce modèle, quand l'épargnant devrait-il doubler ses dépenses par rapport à janvier 2014 ?
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