Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies du Management et de la Gestion
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2014

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Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.


7 points

exercice 1

Dans cet exercice, les parties A, B et C sont indépendantes.


Le tableau suivant donne le prix moyen d'un paquet de cigarettes au 1er janvier de chaque année de 1991 à 2000. On sait de plus que, le 1er janvier 2012, le prix moyen d'un paquet de cigarettes était de 6,40 €.
Année1991199219931994199519961997199819992000
Rang de l'année12345678910
Prix en euros1,501,812,102,362,672,742,942,963,053,20


Partie A

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan, les données du tableau sous la forme d'un nuage de points de coordonnées \left(x_{i} ; y_{i}\right) pour i variant de 1 à 10.
Bac STMG Nouvelle Calédonie Novembre 2014 - terminale : image 1
Soit les points A de coordonnées (0 ; 1,53) et B de coordonnées (5,5 ; 2,52). On admet que la droite (AB) réalise un bon ajustement affine du nuage de points.

1. Justifier qu'une équation de la droite (AB) est y = 0,18x+ 1,53.

2. Selon ce modèle d'ajustement, quel est le prix moyen d'un paquet de cigarettes le 1er janvier 2012 ? Que peut-on penser du résultat obtenu ?

Partie B

1. Calculer le taux d'évolution global, en pourcentage, du prix moyen d'un paquet de cigarettes entre le 1er janvier 2000 et le 1er janvier 2012.

2. En déduire le taux d'évolution annuel moyen du prix moyen d'un paquet de cigarettes entre le 1er janvier 2000 et le 1er janvier 2012.
On donnera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi à l’unité près.

Partie C

On suppose que le prix moyen d'un paquet de cigarettes augmente de 6% par an à partir du 1er janvier 2000. On note u_{n} le prix moyen d'un paquet de cigarettes pour l'année (2000 + n).
On a donc u_{0} = 3,20.

1. a) Calculer u_{1} puis u_{2}. On arrondira les résultats à 10^{-3} près.
    b) Déterminer et justifier la nature de la suite \left(u_{n}\right). Préciser sa raison.
    c) Exprimer le terme général u_{n} en fonction de n.
    d) Selon ce modèle d'évolution, le prix moyen d'un paquet de cigarettes dépasse-t-il 5 € le 1er janvier 2005 ? Justifier.

2. On considère l'algorithme suivant :
Variables :
    n est du type nombre entier
    u est du type nombre réel
    S est du type nombre réel
Entrée :
    Saisir n
Début algorithme :
    u prend la valeur 3,2
    S prend la valeur 3,2
    Pour n allant de 1 à 4
          u prend la valeur u \times 1,06
          S prend la valeur S + u
    Fin Pour
Fin algorithme Sortie :
    Afficher S

    a) Quelle est la valeur affichée par cet algorithme? On arrondira le résultat à 10-2 près . On pourra s'aider du tableau fourni en annexe à rendre avec la copie pour répondre.
n 12          
u3,23,39           
S3,26,59           

    b) L'algorithme affiche une valeur lorsqu'il s'achève. Comment interpréter cette valeur par rapport à la suite \left(u_{n}\right) ?

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Paul a arrêté de fumer le 1er janvier 2011. Du 1er janvier 2000 au 31 décembre 2010, il fumait 90 paquets de cigarettes par an. Quelle somme d'argent aurait-il pu économiser s'il n'avait pas fumé durant ces années ? On arrondira le résultat au centime d'euro près.


4 points

exercice 2

On s'intéresse au contrôle technique des véhicules de marques A et B.
En 2013, sur 571 870 véhicules contrôlés, 266 430 sont de marque A et 305 440 de marque B. Pour ces véhicules, soit le contrôle technique est conforme soit il est non conforme.
Pour 8% des véhicules de marque A, le contrôle technique est non conforme.
Pour 6% des véhicules de marque B, le contrôle technique est non conforme.
Pour chacun des véhicules contrôlés, une fiche a été établie.

On choisit une de ces fiches au hasard et on note :
A l'évènement : «la fiche choisie est celle d'un véhicule de la marque A»,
B l'évènement : «la fiche choisie est celle d'un véhicule de la marque B»,
C l'évènement : «la fiche choisie est celle d'un véhicule ayant un contrôle technique conforme»,
\overline{C} l'évènement : «la fiche choisie est celle d'un véhicule ayant un contrôle technique non conforme».

Dans cet exercice, on arrondira tous les résultats à 10^{-2} près.


1. a) Montrer que la probabilité de l'évènement A, notée p(A), arrondie à 10-2 près, vaut 0,47.
    b) Donner la probabilité conditionnelle, notée p_{A}\left(\overline{C}\right), de l'évènement \overline{C} sachant que l'évènement A est réalisé.

2. Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant:
Bac STMG Nouvelle Calédonie Novembre 2014 - terminale : image 2

3. a) Décrire par une phrase l'évènement C \cap A.
    b) Calculer la probabilité p(C \cap A).

4. Justifier que la probabilité de l'évènement C, arrondie à 10-2 près, est égale à 0,93.

5. La fiche choisie est celle d'un véhicule ayant un contrôle technique conforme, quelle est la probabilité que ce véhicule soit de la marque A ?


4 points

exercice 3

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.


1. La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2.
La probabilité de l'évènement \{X \le 10\}, notée P(X \le 10), est égale à :
P(X < 11) P(0 \le X \le 10) P(X < 10)


2. La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2. La probabilité de l'évènement \{8 \le X \le 16\}, notée P(8 \le X \le 16), vaut, à 10-2 près :
0,5 0,95 0,68


3. La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2. La probabilité de l'évènement \{8 \le X \le 12}, notée P(8 \le X \le 12), est égale à:
1 - P(X \ge 8) 0,5 + P(X \ge 8) 0,5 - P(X \le 8)


4. En France, le 1er janvier 2010, 48,7% des foyers possédaient au moins un écran plat de télévision. Une étude s'intéresse à un échantillon de 150 foyers possédant au moins un écran plat de télévision et domiciliés dans une même ville. Un intervalle de fluctuation à au moins 95% de la fréquence de ces foyers possédant un écran plat est :
[48,6 ; 48,8] [0,35 ; 0,52] [0,40 ; 0,57]



5 points

exercice 4

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.
Le coût de production C, en euros, de x de ces pièces est donné, pour x appartenant à l'intervalle [0 ; 25], par
C(x) = x^3 - 13,5x^2 + 60x + 1 000.
Chaque pièce est vendue 270 euros.
Un tableur a été utilisé pour calculer les coûts et les recettes qui figurent sur la feuille de calcul donnée en annexe à rendre avec la copie.
Dans cette feuille de calcul, deux valeurs ont été effacées.
 ABC
1Nombre de piècesCoût en milliers d'eurosRecette en milliers d'euros
201 000,00
311 047,5270
42  
531 085,5810
641 088,01 080
751 087,51 350
861 090,01 620
971 101,51 890
1081 128,02 160
1191 175,52 430
12101 250,02 700
13111 357,52 970
14121 504,03 240
15131 695,53 510
16141 938,03 780
17152 237,54 050
18162 600,04 320
19173 031,54 590
20183 538,04 860
21194 125,55 130
22204 800,05 400
23215 567,55 670
24226 434,05 940
25237 405,56 210
26248 488,06 480
27259 687,56 750



1. Quel est le coût de production de 2 pièces ?

2. a) Quelle est la recette pour 2 pièces produites et vendues ?
    b) Donner la formule qui a été saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas jusqu'à la cellule C27 pour obtenir la recette selon le nombre de pièces produites et vendues.

3. Pour 5 pièces produites et vendues, l'entreprise fait-elle un gain ? Justifier.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Pour quelles quantités de pièces produites et vendues l'entreprise réalise-t-elle un gain ?
On donnera la réponse sous la forme d'un intervalle.
Pour x appartenant à l'intervalle [0 ; 25], le bénéfice est donné par :
B(x) = - x^3 + 13,5x^2 + 210x - 1 000.


5. a) Calculer B'(x).
    b) Montrer que, pour x \in [0 ; 14], B'(x) \ge 0 et que, pour x \in [14 ; 25], B'(x) \le 0.

6. Dresser le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle [0 ; 25].

7. Pour quelle quantité de pièces produites et vendues le bénéfice est-il maximal ?
Quelle est alors la valeur de ce bénéfice ?
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