Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies du Management et de la Gestion
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2014

Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

7 points

exercice 1

Dans cet exercice, les parties A, B et C sont indépendantes.

Le tableau suivant donne le prix moyen d'un paquet de cigarettes au 1^er janvier de chaque année de 1991 à 2000. On sait de plus que, le 1^er janvier 2012, le prix moyen d'un paquet de cigarettes était de 6,40 €.

Année	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Rang de l'année	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Prix en euros	1,50	1,81	2,10	2,36	2,67	2,74	2,94	2,96	3,05	3,20

Partie A

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan, les données du tableau sous la forme d'un nuage de points de coordonnées $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ pour $i$ variant de 1 à 10.

Bac STMG Nouvelle Calédonie Novembre 2014 - terminale : image 1

Soit les points A de coordonnées (0 ; 1,53) et B de coordonnées (5,5 ; 2,52). On admet que la droite (AB) réalise un bon ajustement affine du nuage de points.

1. Justifier qu'une équation de la droite (AB) est $y = 0,18x+ 1,53$ .

2. Selon ce modèle d'ajustement, quel est le prix moyen d'un paquet de cigarettes le 1^er janvier 2012 ? Que peut-on penser du résultat obtenu ?

Partie B

1. Calculer le taux d'évolution global, en pourcentage, du prix moyen d'un paquet de cigarettes entre le 1^er janvier 2000 et le 1^er janvier 2012.

2. En déduire le taux d'évolution annuel moyen du prix moyen d'un paquet de cigarettes entre le 1^er janvier 2000 et le 1^er janvier 2012.
On donnera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi à l’unité près.

Partie C

On suppose que le prix moyen d'un paquet de cigarettes augmente de 6% par an à partir du 1^er janvier 2000. On note $u_{n}$ le prix moyen d'un paquet de cigarettes pour l'année (2000 + $n$ ).
On a donc $u_{0} = 3,20$ .

1. a) Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$ . On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.
    b) Déterminer et justifier la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ . Préciser sa raison.
    c) Exprimer le terme général $u_{n}$ en fonction de $n$ .
    d) Selon ce modèle d'évolution, le prix moyen d'un paquet de cigarettes dépasse-t-il 5 € le 1^er janvier 2005 ? Justifier.

2. On considère l'algorithme suivant :

Variables :
    $n$ est du type nombre entier
    $u$ est du type nombre réel
    $S$ est du type nombre réel
Entrée :
    Saisir $n$
Début algorithme :
    $u$ prend la valeur 3,2
    $S$ prend la valeur 3,2
    Pour $n$ allant de 1 à 4
          $u$ prend la valeur $u \times 1,06$
          $S$ prend la valeur $S + u$
    Fin Pour
Fin algorithme Sortie :
    Afficher $S$

a) Quelle est la valeur affichée par cet algorithme? On arrondira le résultat à 10^-2 près . On pourra s'aider du tableau fourni en annexe à rendre avec la copie pour répondre.

$n$		1	2
$u$	3,2	3,39
$S$	3,2	6,59

b) L'algorithme affiche une valeur lorsqu'il s'achève. Comment interpréter cette valeur par rapport à la suite $\left(u_{n}\right)$ ?

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Paul a arrêté de fumer le 1^er janvier 2011. Du 1^er janvier 2000 au 31 décembre 2010, il fumait 90 paquets de cigarettes par an. Quelle somme d'argent aurait-il pu économiser s'il n'avait pas fumé durant ces années ? On arrondira le résultat au centime d'euro près.

4 points

exercice 2

On s'intéresse au contrôle technique des véhicules de marques A et B.
En 2013, sur 571 870 véhicules contrôlés, 266 430 sont de marque A et 305 440 de marque B. Pour ces véhicules, soit le contrôle technique est conforme soit il est non conforme.
Pour 8% des véhicules de marque A, le contrôle technique est non conforme.
Pour 6% des véhicules de marque B, le contrôle technique est non conforme.
Pour chacun des véhicules contrôlés, une fiche a été établie.

On choisit une de ces fiches au hasard et on note :
$A$ l'évènement : «la fiche choisie est celle d'un véhicule de la marque A»,
$B$ l'évènement : «la fiche choisie est celle d'un véhicule de la marque B»,
$C$ l'évènement : «la fiche choisie est celle d'un véhicule ayant un contrôle technique conforme»,
$\overline{C}$ l'évènement : «la fiche choisie est celle d'un véhicule ayant un contrôle technique non conforme».

Dans cet exercice, on arrondira tous les résultats à $10^{-2}$ près.

1. a) Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ , notée $p(A)$ , arrondie à 10^-2 près, vaut 0,47.
b) Donner la probabilité conditionnelle, notée $p_{A}\left(\overline{C}\right)$ , de l'évènement $\overline{C}$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

2. Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant:

Bac STMG Nouvelle Calédonie Novembre 2014 - terminale : image 2

3. a) Décrire par une phrase l'évènement $C \cap A$ .
b) Calculer la probabilité $p(C \cap A)$ .

4. Justifier que la probabilité de l'évènement $C$ , arrondie à 10^-2 près, est égale à 0,93.

5. La fiche choisie est celle d'un véhicule ayant un contrôle technique conforme, quelle est la probabilité que ce véhicule soit de la marque A ?

4 points

exercice 3

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

1. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2.
La probabilité de l'évènement $\{X \le 10\}$ , notée $P(X \le 10)$ , est égale à :

$P(X < 11)$

$P(0 \le X \le 10)$

$P(X < 10)$

2. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2. La probabilité de l'évènement $\{8 \le X \le 16\}$ , notée $P(8 \le X \le 16)$ , vaut, à 10^-2 près :

0,5

0,95

0,68

3. La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2. La probabilité de l'évènement $\{8 \le X \le 12}$ , notée $P(8 \le X \le 12)$ , est égale à:

$1 - P(X \ge 8)$

$0,5 + P(X \ge 8)$

$0,5 - P(X \le 8)$

4. En France, le 1^er janvier 2010, 48,7% des foyers possédaient au moins un écran plat de télévision. Une étude s'intéresse à un échantillon de 150 foyers possédant au moins un écran plat de télévision et domiciliés dans une même ville. Un intervalle de fluctuation à au moins 95% de la fréquence de ces foyers possédant un écran plat est :

[48,6 ; 48,8]

[0,35 ; 0,52]

[0,40 ; 0,57]

5 points

exercice 4

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.
Le coût de production $C$ , en euros, de $x$ de ces pièces est donné, pour $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 25], par $C(x) = x^3 - 13,5x^2 + 60x + 1 000$ . Chaque pièce est vendue 270 euros.
Un tableur a été utilisé pour calculer les coûts et les recettes qui figurent sur la feuille de calcul donnée en annexe à rendre avec la copie.
Dans cette feuille de calcul, deux valeurs ont été effacées.

	A	B	C
1	Nombre de pièces	Coût en milliers d'euros	Recette en milliers d'euros
2	0	1 000,0	0
3	1	1 047,5	270
4	2
5	3	1 085,5	810
6	4	1 088,0	1 080
7	5	1 087,5	1 350
8	6	1 090,0	1 620
9	7	1 101,5	1 890
10	8	1 128,0	2 160
11	9	1 175,5	2 430
12	10	1 250,0	2 700
13	11	1 357,5	2 970
14	12	1 504,0	3 240
15	13	1 695,5	3 510
16	14	1 938,0	3 780
17	15	2 237,5	4 050
18	16	2 600,0	4 320
19	17	3 031,5	4 590
20	18	3 538,0	4 860
21	19	4 125,5	5 130
22	20	4 800,0	5 400
23	21	5 567,5	5 670
24	22	6 434,0	5 940
25	23	7 405,5	6 210
26	24	8 488,0	6 480
27	25	9 687,5	6 750

1. Quel est le coût de production de 2 pièces ?

2. a) Quelle est la recette pour 2 pièces produites et vendues ?
b) Donner la formule qui a été saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas jusqu'à la cellule C27 pour obtenir la recette selon le nombre de pièces produites et vendues.

3. Pour 5 pièces produites et vendues, l'entreprise fait-elle un gain ? Justifier.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Pour quelles quantités de pièces produites et vendues l'entreprise réalise-t-elle un gain ?
On donnera la réponse sous la forme d'un intervalle.
Pour $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 25], le bénéfice est donné par : $B(x) = - x^3 + 13,5x^2 + 210x - 1 000$ .

5. a) Calculer $B'(x)$ .
b) Montrer que, pour $x \in$ [0 ; 14], $B'(x) \ge 0$ et que, pour $x \in$ [14 ; 25], $B'(x) \le 0$ .

6. Dresser le tableau des variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0 ; 25].

7. Pour quelle quantité de pièces produites et vendues le bénéfice est-il maximal ?
Quelle est alors la valeur de ce bénéfice ?

Publié par TP/ le 30-11--0001

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