Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies du Management et de la Gestion
Session Avril 2014 - Pondichéry

Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans cet exercice, tous les prix seront exprimés en euros. On s'intéresse à l'évolution du prix des appartements neufs en France métropolitaine.

Partie A

Le tableau ci-dessous indique le prix des appartements neufs en France métropolitaine, en euros par m², entre 2004 et 2012.

Année	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
Rang de l'année : $x_{i}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Prix de l'appartement (en euros par m²) : $y_{i}$	2 563	2 852	3 071	3 276	3 344	3 368	3 571	3 773	3 861

Sources Insee SoeS
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ est représenté en annexe à rendre avec la copie.

Bac STMG Gestion et finance Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 8

1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième près.

2. On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 151x + 2695$ .
    a) Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'annexe à rendre avec copie.
    b) Calculer le prix du m² d'un appartement neuf prévu par ce modèle d'ajustement en 2014.
    c) Selon ce modèle, en quelle année pour la première fois le prix du m² d'un appartement neuf sera-t-il supérieur à 5 000 € ?

Partie B

Dans cette partie, on modélise ainsi l'évolution du prix du m² d'un appartement neuf en France métropolitaine: on part d'un prix de 4 200 euros en 2014 et on applique une augmentation annuelle de 5,2% à partir de cette date.
On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ représente la valeur estimée, selon ce modèle, du prix du m² d'un appartement neuf l'année $(2014 + n)$ . Ainsi $u_{0} = 4200$ correspond au prix du m² d'un appartement neuf en 2014. On crée la feuille de calcul suivante dans laquelle les cellules de la plage B2:B8 sont au format nombre à deux décimales :

	A	B
1	$n$	$u_{n}$
2	0	4 200,00
3	1	4 418,40
4	2	4 648,16
5	3
6	4
7	5
8	6

1. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Donner la raison de cette suite.

2. Selon ce modèle, quel serait le prix du m² d'un appartement neuf en 2020 ?
On arrondira le résultat au centime d'euro près.

3. Selon ce modèle, en quelle année pour la première fois le prix du m² d'un appartement neuf dépassera-t-il 6 000 € ?

4 points

exercice 2

Dans cet exercice, tous les prix sont exprimés en euros

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM)

Pour chacune des quatre questions, une seule des trois réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

Le tableau suivant est extrait d'une feuille de calcul obtenue à l'aide d'un tableur.
Dans la colonne B figurent les prix annuels moyens en métropole d'un kg de pain de 2003 à 2013.

	A	B	C
1	Année	_{Prix annuel moyen d'un kg de pain en métropole}	_{Taux d'évolution depuis janvier 2003}
2	janvier 2003	2,78
3	janvier 2004	2,92	5,04%
4	janvier 2005	2,97	6,83%
5	janvier 2006	3,03
6	janvier 2007	3,13
7	janvier 2008	3,28
8	janvier 2009	3,35
9	janvier 2010	3,34
10	janvier 2011	3,39
11	janvier 2012	3,43
12	janvier 2013	3,47
13

Source : INSEE La plage B2:B12 est au format nombre à deux décimales. La plage C3:C12 est au format pourcentage à deux décimales.
Dans la colonne C, partiellement remplie, on veut afficher le taux d'évolution du prix d'un kg de pain entre janvier 2003 et janvier de chacune des années suivantes.
Par exemple :
Dans la cellule C3 est affiché le taux d'évolution du prix d'un kg de pain entre janvier 2003 et janvier 2004.
Dans la cellule C12 sera affiché le taux d'évolution du prix d'un kg de pain entre janvier 2003 et janvier 2013.

1. La valeur affichée dans la cellule C6 sera :

0,35%

8,99%

12,59%

2. Quelle formule, à recopier sur la plage C3:C12, peut-on entrer dans la cellule C3 ?

=(B3-B2)/B2

=(B$3-B2)/B2

=(B3-B$2)/B$2

3. Le prix d'un kg de pain en janvier 2003 est pris comme indice en base 100.
L'indice de janvier 2005, arrondi au centième, est :

106,83

93,17

101,71

4. De janvier 2003 à janvier 2013, le taux d'évolution annuel moyen du prix d'un kg de pain, arrondi au centième près, est :

2,48%

2,24%

24,82%

6 points

exercice 3

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés.
Ce sondage révèle que 45% des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci, 60% pratiquent la natation.
Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 70% pratiquent la natation.
On choisit un vacancier au hasard. On considère les évènements suivants:
    $S$ : «le vacancier choisi fréquente une salle de sport»
    $N$ : «le vacancier choisi pratique la natation».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. a) Définir par une phrase l'évènement $S \cap N$ .
    b) Calculer la probabilité de l'évènement $S \cap N$ .

3. Montrer que $p(N) = 0,655$ .

4. Calculer $p_{N}(S)$ , la probabilité de l'évènement $S$ sachant que l'évènement $N$ est réalisé.
On arrondira le résultat à 10^-4 près.

5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre vacanciers pris au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ces vacanciers pratiquant la natation pendant leurs congés. Le nombre de vacanciers étant suffisamment grand, on considère que $X$ suit une loi binomiale.
    a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    b) Calculer la probabilité que deux vacanciers exactement pratiquent la natation pendant leurs congés. On arrondira le résultat à 10^-4 près.

Partie B

En France, en 2011, 22% des sportifs licenciés avaient une licence de football.
Déterminer un intervalle de fluctuation à au moins 95% de la fréquence des licenciés de football dans un échantillon de 400 sportifs licenciés choisis au hasard parmi les sportifs licenciés en 2011.

5 points

exercice 4

Quatre fonctions $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ et $f_{4}$ définies et dérivables sur l'intervalle [-3 ; 2], sont représentées respectivement par les courbes $\mathcal{C}_{1}$ , $\mathcal{C}_{2}$ , $\mathcal{C}_{3}$ et $\mathcal{C}_{4}$ ci-dessous.
On admet que $f_{1}\left(- \frac{5}{3}\right) \approx 9,5$ , $f_{2}\left(- \frac{5}{3}\right) =0$ , $f_{3}\left(- \frac{5}{3}\right) = 0$ et $f_{4}\left(- \frac{5}{3}\right) \approx - 9,5$ .

Bac STMG Gestion et finance Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 2

Bac STMG Gestion et finance Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 3

Bac STMG Gestion et finance Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 4

Bac STMG Gestion et finance Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 5

1. Par lecture graphique, sans justifier:
    a) Donner le tableau de variation de la fonction $f_{1}$ .
    b) Donner le tableau de signes de la fonction $f_{2}$ .
    c) Donner le signe de $f'_{3}(-1)$ , $f'_{3}$ étant la dérivée de la fonction $f_{3}$ .
    d) Donner l'image de 2 par la fonction $f_{4}$ .

2. Dans cette question, on considère la fonction $g$ définie sur [-3 ; 2] par $g(x) = (x - 1)^2 (x + 3)$ .
    a) Vérifier que $g(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$ .
    b) Calculer $g'(x)$ , $g'$ étant la dérivée de la fonction $g$ .
    c) Résoudre l'équation $3x^2 + 2x - 5 = 0$ .
Étudier le signe de $g'$ sur l'intervalle [-3 ; 2]. En déduire le tableau de variation de la fonction $g$ .
    d) Sachant que la fonction $g$ est l'une des quatre fonctions $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ ou $f_{4}$ représentées ci-dessus, quelle est cette fonction ? Justifier la réponse.

Voir la correction

exercice 1

Partie A

1. À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (avec les coefficients arrondis au millième) est :
$y=150,783x+2694,533$

2. On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 151x + 2695$ .

2. a)

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2. b) L'année 2014 est l'année de rang 10.
Le prix du m&2sup; d'un appartement neuf prévu par ce modèle d'ajustement en 2014 sera :
$y=151\times 10+2695=4205\text{ euros}$

2. c) On cherche à déterminer le plus petit rang $x$ tel que : $151 x+2695 > 5000$
$151x+2695 > 5000 \Longleftrightarrow 151x>2305\Longleftrightarrow x>\dfrac{2305}{151}$
$\dfrac{2305}{151}\approx 15,26$
En l'année de rang 15 c'est-à dire en 2019, le prix n'aura pas encore atteint 5000 euros, c'est donc au cours de l'année de rang 16 c'est-à-dire en 2020 que pour la première fois le prix du m² d'un appartement neuf sera supérieur à 5 000 euros.
Remarque : graphique correspondant aux deux questions précédentes :

Bac STMG Gestion et finance Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 6

Partie B

1.Une augmentation de 5,2 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1,052.
La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison 1,052.

2. Selon ce modèle, le prix en 2020 sera $4200\times (1,052)^{6}\approx5693,03\text{ euros}$

3.Selon ce modèle, en quelle année pour la première fois le prix du m² d'un appartement neuf dépassera 6 000 euros, revient à résoudre l'inéquation :
$4200\times 1,052^n> 6000$
$4200\times 1,052^n> 6000\Longleftrightarrow 1,052^n>\dfrac{6000}{4200}\Longleftrightarrow 1,05^n > \dfrac{10}{7}$
$1,052^7\approx 1,426 \text{ et }1,426<\dfrac{10}{7}\qquad 1,052^8\approx 1,500 \text{ et }1,500>\dfrac{10}{7}$
C'est donc l'année de rang 8 c'est à dire en 2022 que le prix dépassera pour la première fois 6000 euros.

exercice 2

1. La valeur affichée dans la cellule C6 sera : 12,59 %
En effet : $\dfrac{3,13-2,78}{2,78} \approx 0,1259$ qui correspond à 12,59 %.

2. Parmi les trois formules proposées, la formule, à recopier sur la plage C3:C12, entrée dans la cellule C3 est : =(B3-B$2)/B$2

3. L'indice de janvier 2005, arrondi au centième, est : 106,83
En effet : $\dfrac{2,97}{2,78}\times 100 \approx 106,83$

4. Le taux d'évolution annuel moyen est donc de : 2,24 %
En effet, le coefficient multiplicateur correspondant à l'augmentation entre 2003 et 2013 est égal à : $\dfrac{3,47}{2,78}\approx 1,2482$
Le coefficient multiplicateur correspondant au taux d'évolution annuel moyen est donc égal à : $1,2482^{\frac{1}{10}}\approx 1,0224$

exercice 3

Partie A

1. L'énoncé nous donne : $P(S)=0,45\qquad P_S(N)=0,60 \qquad P_{\overline S}(N)=0,70\qquad \,$
d'où l'arbre complet :

Bac STMG Gestion et finance Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 7

2. a) $S\cap N$ : "le vacancier choisi fréquente une salle de sport et pratique la natation"

2. b) $P(S\cap N)=0,45\times 0,60=0,27$

3. $P(N)=P(S\cap N)+P(\overline{S}\cap N)=0,45\times 0,60+0,55\times 0,70=0,655$

4. $P_N(S)=\dfrac{P(S\cap N)}{P(N)}=\dfrac{0,27}{0,655}\approx0,4122$

5. a) $X$ est une loi binomiale de paramètres $(4~;~0,655)$

5. b) Soit en construisant un arbre, soit en écrivant "les branches" de cet arbre, on montre qu'il y a 6 possibilités d'obtenir exactement 2 succés, en appelant succès "le vacancier choisi pratique la natation".
Ces branches sont : $NN\overline{N}~\overline{N}\qquad N\overline{N}N\overline{N}\qquad N\overline{N}~\overline{N}N\qquad \overline{N}NN\overline{N} \qquad \overline{N}N\overline{N}N \qquad \overline{N}~\overline{N}NN$
La probabilité demandée est égale à : $6\times(0,655)^2(1-0,655)^2\approx 0,3064$

Partie B

La taille de l'échantillon est suffisamment grande : $n=400$ (supérieur à 20)
La proportion du caractère est : $p=0,22$ (compris entre 0,2 et 0,8)
L'intervalle demandé est : $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ soit [0,17 ; 0,27].

exercice 4

1. a) Tableau de variations de $f_1$ :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}\hline x& -3 & &\dfrac{-5}{3}&&1 & &2 \\ \hline f_1'(x) & &+&0&-&0&+ &\\ \hline\niveau{2}{3} f_1& 0 & \croit& {f_1(\frac{-5}{3})}& \decroit &0& \croit &5\\ \hline\end{tabvar}$

1. b) Tableau de signes de $f_2$
$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}\hline x& -3 & &\dfrac{-5}{3}&&1 & &2 \\ \hline f_2(x) & &+&0&-&0&+ &\\ \hline\end{tabvar}$

1. c) $f_3'(-1)> 0$ (car au point de la courbe d'abscisse -1, la tangente à la courbe aurait un coefficient directeur strictement positif)

1. d) $f_4(2)=-5$

2. Soit la fonction $g$ définie sur [-3 ; 2] par $g(x) = (x - 1)^2 (x + 3)$ .

2. a) $g(x) = (x - 1)^2 (x + 3)=(x^2-2x+1)(x+3)=x^3+3x^2-2x^2-6x+x+3=x^3+x^2-5x+3$

2. b) $g$ est dérivable sur [-3 ; 2] et $g'(x)=3x^2+2x-5$

2. c) $3x^2+2x-5=0$ est une équation du second degré que l'on résout (calcul du discrimant et solutions). On trouve pour solutions $x=1 \text{ ou } x=-\dfrac{5}{3}$
$g'(x)$ est du signe de $3x^2+2x-5=0$ , qui est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur des solutions et du signe contraire entre les solutions.
Le signe de $g'(x)$ est donc :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}\hline x& -3 & &\dfrac{-5}{3}&&1 & &2 \\ \hline g'(x) & &+&0&-&0&+ &\\ \hline\end{tabvar}$

2. d) D'après la question précédente, le signe de la dérivée nous permet de dire que $g$ est une fonction croissante, décroissante puis croissante.
On en déduit que $g=f_1$ , qui est, parmi les quatre fonctions proposées, la seule fonction croissante, décroissante puis croissante.

Publié par TP/malou le 24-06-2014

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