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Difficile problème de géométrie du plan

Posté par Profil amethyste 30-04-20 à 01:01

Bonjour

Je ne poste pas sur le forum (lycée ou supérieur) pour qu'on m'aide

En fait là je vais ***propos supprimés*** et voir après comment le résoudre

(et si j'y arrive pas eh bien c'est la vie)

Non si je le poste ici c'est parce que je le trouve joli

Ce problème est issue d'un autre problème (lequel est issue d'un autre problème et ce dernier issue d'un autre problème)

_______
Conventions

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Abréviation

cbn pour coordonnées barycentriques normalisées

Rappel : La somme des cbn d'un point est l'unité

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Écriture des points

Dans l'énoncé de ce problème,

Les noms des points seront les lettres majuscules de A à G et les trois lettres \overline {A},\overline {B},\overline {C}

---
On adopte la notation suivante :

i_P:j_P:k_P sont les cbn d'un point P sur le repère barycentrique noté \left(ABC\right)

On place le nom du point en indice sur les coordonnées et on sait que les lettres i,j,k

avec lesquelles on a le nom d'un point en indice, désignerons les trois cbn d'un point sur ce repère là

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On adopte la notation suivante :

\overline {i}_P:\overline {j}_P:\overline {k}_P sont les cbn d'un point P sur le repère barycentrique noté \left(\overline {A}  \overline {B}  \overline {C}\right)

On place le nom du point en indice sur les coordonnées et on sait que les lettres \overline {i},\overline {j},\overline {k}

avec lesquelles on a le nom d'un point en indice, désignerons les trois cbn d'un point sur ce repère là

----------
Remarque:

Dans l'énoncé de ce problème on parle aussi d'un autre repère barycentrique

mais étant donné qu'il ne sert uniquement qu'à donner les cbn que d'un seul point

on a pas besoin d'utiliser une convention de notation spéciale pour ce repère là

----------

Énoncé

On se place dans le plan affine muni d'un repère cartésien \mathcal {R}

On se donne deux repères barycentriques \left(ABC\right) et \left(\overline {A}  \overline {B}  \overline {C}\right)

et enfin on se donne un point D du plan

-Montrer que si D,A,\overline {A},\overline {B},\overline {C} sont fixés

alors quels que soient B et C tels que A,B,C soient affinement indépendants

E     ne change pas

Ce point là est défini par

E=D+t\overrightarrow {\overline {A}A}       avec

t=\dfrac {d  \left(j-\overline {j}_D\right)}{j_{\overline{C}}.k_{\overline{A}}-j_{\overline{A}}.k_{\overline{C}}}

la lettre  j provient de

\left(i:j:k\right) qui sont les cbn du point F qui possède \left(j_D,k_D\right)

pour coordonnées cartésiennes sur le repère  \left(G,\begin {pmatrix}j_{\overline{B}}&j_{\overline{C}}\\k_{\overline{B}}&k_{\overline{C}}\end {pmatrix} \right)

avec le point G qui possède \left(j_{\overline{A}},k_{\overline{A}}\right)

pour coordonnées cartésiennes sur le repère \mathcal {R}

et enfin pour la lettre  d   

d=j_{\overline{A}}\left(k_{\overline{B}}-k_{\overline{C}}\right)+j_{\overline{B}}\left(k_{\overline{C}}-k_{\overline{A}}\right)+j_{\overline{C}}\left(k_{\overline{A}}-k_{\overline{B}}\right)

C'est le déterminant de la matrice (son écriture se simplifie car la somme des cbn d'un point est l'unité )

\begin {pmatrix}i_{\overline{A}}&i_{\overline{B}}&i_{\overline{C}} \\j_{\overline{A}}&j_{\overline{B}}&j_{\overline{C}} \\k_{\overline{A}}&k_{\overline{B}}&k_{\overline{C}} \end {pmatrix}

Posté par Profil amethystere : Difficile problème de géométrie du plan 30-04-20 à 01:11

mince il y a une erreur dans mon énoncé

bon je corrige

la lettre  j provient de

\left(i:j:k\right) qui sont les cbn

sur le repère barycentrique \left(G,G+\begin {pmatrix}j_{\overline{B}} \\k_{\overline{B}} \end {pmatrix},G+\begin {pmatrix}j_{\overline{C}} \\k_{\overline{C}} \end {pmatrix} \right)

du point F qui possède \left(j_D,k_D\right)

pour coordonnées cartésiennes sur le repère \mathcal {R}

où le point G qui possède \left(j_{\overline{A}},k_{\overline{A}}\right)

pour coordonnées cartésiennes sur le repère \mathcal {R}

Posté par Profil amethystere : Difficile problème de géométrie du plan 30-04-20 à 01:40

...m

Posté par Profil amethystere : Difficile problème de géométrie du plan 30-04-20 à 12:41

grave la faute en plus!

j'ai bien fait attention aux détails et celle-là je l'ai pas vu

Posté par Profil amethystere : Difficile problème de géométrie du plan 30-04-20 à 18:10

Je fais une croix sur la démo en genre trois quatre lignes que ferait quelqu'un de qualifié

Ce que j'ai commencé à faire et après ça ne sera que des calculs vu que je ne suis pas capable de voir un truc évident

Je sais qu'il y a un truc évident qui évite de tout calculer (c'est logique qu'un tel truc existe mais mon niveau en maths est trop nul pour que je le vois)  

Comme   \left(i:j:k\right)   qui sont les cbn du point   F  

sur le repère barycentrique   \left(G,G+\begin {pmatrix}j_{\overline{B}} \\k_{\overline{B}} \end {pmatrix},G+\begin {pmatrix}j_{\overline{C}} \\k_{\overline{C}} \end {pmatrix} \right)

et comme   \left(j_D,k_D\right)   resp.   \left(j_{\overline{A}},k_{\overline{A}}\right)   sont les coordonnées cartésiennes de   F   resp.   G   sur le repère \mathcal {R}

alors on vérifie   \begin {pmatrix} j \\ k  \end {pmatrix}  =  \begin {pmatrix} j_{\overline{B}}  &  j_{\overline{C}}  \\  k_{\overline{B}} & k_{\overline{C}}  \end {pmatrix}^{-1}  \begin {pmatrix} j_D \\ k_D \end {pmatrix}    

j  =  \dfrac {k_{\overline{C}}  \left(j_D  -  j_{\overline{A}}\right)  -  j_{\overline{C}}  \left(k_D  -  k_{\overline{A}}\right)}{ j_{\overline{B}}  k_{\overline{C}}  -  j_{\overline{C}}  k_{\overline{B}}}

k  =  \dfrac {j_{\overline{B}}  \left(k_D  -  k_{\overline{A}}\right)  -  k_{\overline{B}}  \left(j_D  -  j_{\overline{A}}\right)}{ j_{\overline{B}}  k_{\overline{C}}  -  j_{\overline{C}}  k_{\overline{B}}}

effectivement en considérant la base définie par la matrice  \begin {pmatrix} j_{\overline{B}}  &  j_{\overline{C}}  \\  k_{\overline{B}} & k_{\overline{C}}  \end {pmatrix}

on retrouve les deux vecteurs de cette base par les sommes

\begin {pmatrix} j_{\overline{A}} \\  k_{\overline{A}} \end {pmatrix}  +  \begin {pmatrix} j_{\overline{B}} \\  k_{\overline{B}} \end {pmatrix}  -  \begin {pmatrix} j_{\overline{A}} \\  k_{\overline{A}} \end {pmatrix}  =  \begin {pmatrix} j_{\overline{B}} \\  k_{\overline{B}} \end {pmatrix}  

selon le vecteur    \overrightarrow {G,G+\begin {pmatrix} j_{\overline{B}} \\  k_{\overline{B}} \end {pmatrix}   }

\begin {pmatrix} j_{\overline{A}} \\  k_{\overline{A}} \end {pmatrix}  +  \begin {pmatrix} j_{\overline{C}} \\  k_{\overline{B}} \end {pmatrix}  -  \begin {pmatrix} j_{\overline{A}} \\  k_{\overline{A}} \end {pmatrix}  =  \begin {pmatrix} j_{\overline{C}} \\  k_{\overline{C}} \end {pmatrix}

selon le vecteur    \overrightarrow {G,G+\begin {pmatrix} j_{\overline{C}} \\  k_{\overline{C}} \end {pmatrix}   }

Ainsi si on arrive à montrer que les deux rapports

\dfrac {d}{j_{\overline{C}}  k_{\overline{A}} -  j_{\overline{A}}  k_{\overline{C}} } et   \dfrac {k_{\overline{C}}  \left(j_D  -  j_{\overline{A}}\right)  -  j_{\overline{C}}  \left(k_D  -  k_{\overline{A}}\right)}{ j_{\overline{B}}  k_{\overline{C}}  -  j_{\overline{C}}  k_{\overline{B}}}

ne varient pas quand   B   et   C   varient alors on montrera que   t   ne varie pas et donc   E    non plus

puisque effectivement dans la définition de   t  

t=\dfrac {d  \left(j-\overline {j}_D\right)}{j_{\overline{C}}.k_{\overline{A}}-j_{\overline{A}}.k_{\overline{C}}}

la valeur de   \overline {j}_D    ne dépend pas du repère barycentrique   \left(\overline {A}  \overline {B}  \overline {C}\right)  

Posté par Profil amethystere : Difficile problème de géométrie du plan 30-04-20 à 18:22

une erreur à la toute fin

je voulais dire

la valeur de   \overline {j}_D    ne dépend pas du repère barycentrique   \left(A  B  C\right)  

Posté par Profil amethystere : Difficile problème de géométrie du plan 10-06-20 à 04:19

Je suis obligé de laisser ce sujet en plan (je suis certain qu'il y a moyen de faire une démo sans être obligé de tout calculer)
Là depuis une semaine je retourne à l'algèbre et je ne sais pas faire deux choses en même temps mais bon je ne suis pas aux "pièces" et je n'ai pas inventé la journée de vingt quatre heures



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