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Niveau Licence-pas de math
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Estimation d'une espérance

Posté par
jackobenco
22-06-18 à 19:38

Bonjour à la communauté,
[\tex]
 \\ Je suis parti du principe suivant pour estimer  [tex]\mathbb{E}\lbrack \vert\vert \hat{f}(x)-f(x)\vert\vert\rbrack[ :

\mathbb{E}\lbrack \vert\vert \hat{f}(x)-f(x)\vert\vert\rbrack \simeq \dfrac{1}{K} \sum_{k=1}^{K}(\vert\vert \hat{f}(x)-f(x)\vert\vert)^{(k)} avec  \vert\vert \hat{f}(x)-f(x)\vert\vert^{k} des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.

On a que \dfrac{1}{K} \sum_{k=1}^{K}(\vert\vert \hat{f}(x)-f(x)\vert\vert)^{(k)} = \dfrac{1}{K} \sum_{k=1}^{K}(\sqrt{(\int_{\mathbb{R}^{2}}(\hat{f}(x)-f(x))^{2}d\mu(x))})^{{}^{(k)}}.

Je précise que le (k) devrait être un tout petit peu plus haut .

Ainsi on a comme approximation de \dfrac{1}{K} \sum_{k=1}^{K}(\sqrt{(\int_{\mathbb{R}^{2}}(\hat{f}(x)-f(x))^{2}d\mu(x))})^{{}^{(k)}} la quantité suivante :

\dfrac{1}{K} \sum_{k=1}^{K}(\sqrt{(\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^{2}}(\hat{f}(\frac{i}{n},\frac{j}{n})-f(\frac{i}{n},\frac{j}{n}))^{2})})^{{}^{(k)}}.

Est-ce un bon raisonnement ? en partant du principe que la fonction f est définie sur [0,1] x [0,1] , j'essaye d'estimer cette espérance à l'aide d'un langage de programmation , pour ce faire je calcule la quantité que j'ai évoqué en dernier .


Merci d'avance à la communauté

Posté par
carpediem
re : Estimation d'une espérance 22-06-18 à 20:00

salut

le bon raisonnement ... pour faire quoi ...

avant de faire une réponse il est fort utile d'avoir un énoncé exact, précis et complet ... et en particulier la définition des objets apparaissant dans l'énoncé ... ou la réponse dans le cas présent ...

Posté par
jackobenco
re : Estimation d'une espérance 23-06-18 à 00:09

D'accord ça marche ,

Soit D =\{(x_i,y_i)_{1 \leq i \leq n}\} des données collectées , on suppose que y_i = f(x_i) + \varepsilon_i avec \varepsilon_i une quantité aléatoire dont on ne connaît pas la loi  et f \in \{g : \mathbb{R}^{d} \lonrightarrow \mathbb{R} , g(x) = \sum_{j=1}^{d}g_{j}(x_{j}) \} avec g_{j} une fonction régulière univarié .

On a que fest définie sur \lbrack 0,1\rbrack^{d}

ainsi ,  pour estimer \mathbb{E}\lbrack \vert\vert \hat{f}(x)-f(x)\vert\vert\rbrack je me base sur les données collectées , car la loi de \hat{f}(x) est inconnue dans mon cas   .


Tout ce que je connais de \hat{f} ce sont ses valeurs \hat{f}(x_1),...,\hat{f}(x_n) ,  ce sont des valeurs que je récupère à chaque fois je simule un jeu de données selon le modèle suivant : y_i = f(x_i) + \varepsilon_i avec \varepsilon_i une quantité aléatoire dont on ne connaît pas la loi  et f \in \{g : \mathbb{R}^{d} \lonrightarrow \mathbb{R} , g(x) = \sum_{j=1}^{d}g_{j}(x_{j}) \} avec g_{j} une fonction régulière univarié .

De ce fait , pour chaquek (dans ma somme ), je génère un jeu de données (une simulation) avec cette simulation  j'obtiens de nouvelle valeurs de \hat{f}

Pour à la fin , calculer une estimation de \mathbb{E}\lbrack \vert\vert \hat{f}(x)-f(x)\vert\vert\rbrack


Est-ce clair ?

Merci d'avance à la communauté

Posté par
jackobenco
re : Estimation d'une espérance 23-06-18 à 00:13

Dans mon cas d= 2

Posté par
jackobenco
re : Estimation d'une espérance 23-06-18 à 00:31

Je précise de plus que  x_i = \left(\dfrac{i-E(\frac{i}{n})n}{n},\dfrac{E(\frac{i}{n})+1}{n}\right)



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