Niveau autre

Kangourou 2007 (épreuve junior)

Posté par
patrice rabiller 28-03-07 à 11:33

Bonjour,

J'ai écrit une solution de l'épreuve juniors (niveau terminales autres que TS) du concours Kangourou 2007. Pour certaines questions, je n'ai pas de solutions vraiment satisfaisantes. Je veux dire, je ne sais pas comment établir certains résultats avec les seuls outils à disposition des terminales, en particulier pour les questions 23, 25 et 26.

Si quelqu'un a une idée de résolution simple, je suis preneur...

Mes réponses sont ici :

Posté par re : Kangourou 2007 (épreuve junior) 28-03-07 à 13:56

Bonjour,

Merci beaucoup pour le lien

Posté par re : Kangourou 2007 (épreuve junior) 28-03-07 à 18:23

Bon, je remonte le topic en posant l'une des questions à laquelle je n'ai pas de réponse simple :

Question 23. Une fête réunit 5 amis. Chacun donne un cadeau à seulement un autre et chacun reçoit un cadeau uniquement d'un autre. De combien de manières une telle distribution est-elle possible ?

Ma réponse :

Le problème consiste à dénombrer le nombre de permutations des 5 personnes telles qu'aucune ne reste sur place (évidemment on ne peut pas s'offir son propre cadeau !). Autrement dit, cela ressemble un peu au jeu des chaises musicales (mais il ne manque aucune chaise) où chaque joueur se déplace vers une chaise différente de la sienne. On démontre, mais c'est sans doute assez compliqué, que le nombre de ces déplacements est donné par la formule :

$4$I_5=5!\Bigsum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}=5!$1-1+\frac 1 2-\frac 1 6+\frac{1}{24}-\frac{1}{120}$=44$

J'avoue ne pas connaître la démonstration de cette formule et ne pas savoir si sa démonstration est abordable en terminale.
En tout cas la bonne réponse est la réponse D.

J'imagine aussi, puisque 5 propositions étaient faites (A:5, B:10, C:24, D:44 E:120), qu'on peut facilement procéder par élimination ...