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DEFI 142 : Le Grand Maitre des fractions.
Bonjour a tous et bienvenue dans le challenge de Mars.
Sur une grande feuille blanche, le Grand Maître des fractions a écrit les 2006 fractions suivantes
…
.
A la suite, il a écrit tous les produits obtenus en prenant deux fractions différentes parmi les 2006 premières fractions.
Un peu plus loin, il a écrit tous les produits obtenus en prenant trois fractions différentes, toujours parmi les 2006 premières.
Il a continué ainsi en prenant quatre, cinq six….etc 2005 de ces 2006 fractions et en écrivant à chaque fois tous les produits obtenus (oui c'est vraiment une grande feuille blanche).
Pour finir il a écrit le produit obtenu en prenant les 2006 fractions.
Content et fier de son travail, le Grand Maître des fractions a alors regardé son œuvre avec admiration et s'est posé une question folle : « Quelle est donc la somme de toutes les fractions écrites sur la feuille ? »
Repondez au grand maitre.
Question subsidiaire : Qui est ce Grand Maitre ?
Bonne réflexion.
minkus
Bonjour,
il obtiendra exactement le résultat de .
En revanche, je ne connais pas ce mathématicien.
La somme demandée est égale à (1+(1/2))(1+(1/3))....(1+(1/2007)) -1, soit en simplifiant ; 2008/2 - 1= 1003.
Bonsoir,
dur début pour le mois de mars... 3 énigmes d'un coup ! 
Bon, en résumant (pas le temps!), pour celle-ci, en raisonnant par récurrence avec et
on arrive rapidement par itération à
.
Pour n=2007, la somme de toutes les fractions écrites vaut donc .
Merci minkus pour cette première énigme sympa.
PS: Quant au Grand Maître d'effraction... ? 
Bonsoir,
Soit Sn la somme demandée en utilisant les fractions 1/2 1/3 1/4 ... 1/n.
On a : Sn+1 = Sn + (Sn+1)/(n+1)
une petite démonstration par récurrence permet de montrer que Sn = (n-1)/2
Donc, pour n=2007, on trouve pour somme : 1003.
Pour la question subsidiaire : je ne sais pas ! 
bonjour
la réponse est 1003 = 2006/2
avec les n premières fractions, la somme est toujours n/2
c'est vrai pour n = 1
si c'est vrai pour n+1
en effet, le nombre qu'on ajoute grâce à la (n+1)ième fraction est la somme déjà obtenue fois cette fraction (1/(n+2) augmenté de cette même fraction
donc (n/2)/(n+2) + 1/(n+2) = (n+2)/2 / (n+2) = 1/2
S(n+1) = S(n) + 1/2 = n/2 + 1/2 = (n+1)/2
Bonjour
Au fond il " suffit " de chercher
qui donne 1004 et de retirer 1
donc réponse 1003
question subsidiaire peut-être STIELTJES ?
A+
Je dirai que la somme de tous les termes vaut 1003.
Bonjour à tous
j'ai trouvé un résultat par récurrence, en esperant ne pas m'être trompé dans les calculs.
Je trouve que la somme de toutes ces fractions vaut 1003.
Merci pour cette énigme.
@ plus, Chaudrack
Bonjour et merci pour cette nouvelle énigme très intéressante.
En limitant le calcul aux fractions entre 1/2 et 1/6, je me suis aperçu que la somme des produits de fractions de 1/2 à 1/N était de :
S(n) = 1/2 (n-1)
Ma réponse est donc 1/2 (2007 - 1) = 1003
Par contre j'attends avec impatience la démonstration mathématique!
La somme cherchée vaut
(1 + 1/2)(1 + 1/3)(1+ 1/4)...(1 + 1/2007) - 1 = 3/2 * 4/3 * 5/4* ...*2008/2007 - 1
= 2008/2 - 1 = 1003.
Cordialement
Frenicle
facile,n'est-ce pas?
la somme=(1+1/2)(1+1/3)(1+1/4)……(1+1/2007)-1
=(3/2)(4/3)(5/4)……(2008/2007)-1
=(2008/2)-1=1003
)Bonjour,
Je pense que la réponse est 1003.
Quant à la photo, je n'en ai aucune idée 
J'attends la réponse avec impatience.
Bonjour,
Je trouve que la somme de toutes les fractions écrites sur la feuille est égale à
J'ai galéré... j'espère que c'est bon !
Merci Minkus, et à bientôt, KiKo21.
P.S. Je n'ai pas trouvé le nom du grand barbu...
Bonjour,
Après quelques mois d'absence dûs à une activité professionnelle fort prenante, je vais tenter de reprendre les énigmes de l'Île...
Alors pour cette reprise, j'ai trouvé une somme de 1003 comme résultat de cette énigme.
Merci pour ce défi.
Si S(n) est la somme décrite ci-haut pour les dénominateurs 2 à n, alors on a que
S(n)= S(n-1) + (1/n)(1+S(n-1)).
Puisque S(2) = 1/2, on peut vérifier par récurrence que S(n)=(n-1)/2.
Donc la somme recherchée est 1003.
Bonjour,
Que de symboles compliqués j'ai vu pour cette énigme dont le principe reposait uniquement sur le développement. L'idée toute simple était de remarquer que le développement du produit donnait en fait la somme demandée augmentée de 1.
Ensuite, le produit en question valait soit après simplification
La somme demandée était donc égale à 1003.
Quant à la question subsidiaire, believe it or not, il s'agissait de Bobby Fischer, Grand Maitre International des Echecs et ancien champion du monde. Il venait d'etre libéré par les autorités japonaises après un petit séjour en prison. Pour plus de détails 
>Gloubi :
Question subsidiaire: Hubert Reeves.
Bien tenté
minkus
Salut Estelle
Et merci...j'ai été perturbé par Kiko qui essaie toujours de se faire mousser dans ses réponses
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