Bonsoir tout le monde, il s'agit ici de la 50è édition des énigmes mathématiques que je propose sur ce forum...
Soyez concentré et surtout bonne chance à vous
"L'unité dans l'identité"
On a : a² + b² + c² = 1
Que vaut a4+(ab+c)²+(ac-b)² ?
Il s'agit d'une QRC, pas besoin d'une dissertation
@+
puisea.
a4+(ab+c)2+(ac-b)2=
a4+(ab)2+c2+(ac)2+b2= a2(a2+b2+c2)+b2+c2=a2+b2+c2=1
Le résultat est égal à 1.
Réponse : 1
En effet E= a^4 + a^2.b^2 + 2a.b.c + c^2 +a^2.c^2 - 2.a.b.c +b^2 = a^4 + a^2.(b^2 + c^2) + (b^2 + c^2)
= a^4 + a^2.(1 - a^2) + (1 - a^2)
= a^4 + a^2 - a^4 + 1 - a^2
= 1
réponse du soir bonsoir:
(ab + c)² = a²b² + c²+ 2abc
(ac - b)² = a²c² + b² - 2abc
donc a^4+(ab+c)²+(ac-b)² = a^4 + a²b² + a²c² + c² + b²
a^4+(ab+c)²+(ac-b)² = a²(a² + b² + c²) + c² + b²
or a² + b² + c² = 1
donc a^4+(ab+c)²+(ac-b)²= a²+c²+b²
d'ou a^4+(ab+c)²+(ac-b)²= 1
@++
On a:
a4 + (ab+c)2 + (ac-b)2 = a2 (a2+b2+c2) + c2 + b2
Alors ca donne:
a4 + (ab+c)2 + (ac-b)2 = 1
a4+(ab+c)2+(ac-b)2 =
a4+a2b2+2abc+c2+a2c2-2abc+b2 =
a4+a2b2+a2c2+b2+c2 =
a2(a2+b2+c2)+b2+c2 =
a2+b2+c2 =
1
Alors voilà, ça donne 1!
a4+(ab+c)²+(ac-b)²= a[/sup]4+b[sup]2+c[/sup]2+a[sup]2b[/sup]2+a[sup]2c[/sup]2=a[sup]4+b[/sup]2(a[sup]2+1)+c[/sup]2(a[sup]2+1)=a[/sup]4+a[sup]2(b[/sup]2+c[sup]2)+b[/sup]2+c[sup]2=a[/sup]2(a[sup]2+b[/sup]2+c[sup]2)+b[/sup]2+c[sup]2 or a² + b² + c² = 1 donc a4+(ab+c)²+(ac-b)²=1
que de monde
(toujours pas de smiley, ni de poisson )
que veut dire QRC?
allons donnons qu'en même une réponse:
a4+(ab+c)²+(ac-b)²
=a4+a²b²+2abc+c²+a²c²-2abc+b²
=a²(a²+b²+c²)+b²+c²
=a²+b²+c²
=1
à oui tu voulais une dissertation, alors en voici une
(à ne lire que si vous n'avez pas peur de vous embrouiller en maths )
le problème, c'est qu'il n'est pas indiquer sur quel ensemble on travaille,
je vais donc supposer que nous sommes sur un anneau munit d'une loi interne + et d'une loi interne
donc si notre anneau n'est pas muni d'une loi interne commutative, nous obtenons ce genre de chose:
le terme (ab+c)² est égale à abab+abc+cab+c²
le terme (ac-b)² est égale à acac-acb-bac+b²
ce qui fait qu'on ne peut pas simplifier et on trouve ce résultat:
+abab+abc+cab+c²+acac-acb-bac+b²
et c'est tout ce qu'on peut arriver à faire.
parcontre si notre anneau un munit des lois internes commutatives (+ et ), on va pouvoir regrouper des choses, ce qui nous donne:
abab=a²b²
acac=a²c²
abc=acb=bac=bca=cab=cba
ainsi:
+a²b²+c²+2abc+a²c²+b²-2abc
=+a²b²+c²+a²c²+b²
ici il faut penser à =a²a²
et donc:
+a²b²+c²+a²c²+b²
=a²a²+a²b²+c²+a²c²+b²
a²a²+a²b²+a²c²+b²+c² (car + est commutative)
on peut alors factoriser par a²:
a²a²+a²b²+c²+a²c²+b²
=a²(a²+b²+c²)+b²+c²
d'après l'unique hypothèse (je tiens à le signaler encore une fois), nous savons que:
a²+b²+c²=1
en supposant que le 1 définit l'élément neutre de la loi interne
donc:
a²(a²+b²+c²)+b²+c²
=a² 1+b²+c²
=a²+b²+c²
car a² 1=1 a²=a²
donc
a²+b²+c²=1
ainsi après avoir fais d'énorme suppositions (je suis sûre d'en avoir oublier )
on peut dire que
a4+(ab+c)²+(ac-b)²=1
j'espère que pour ceux qui sont arriver à comprendre cela vous a plu
pour les autres, je suis désolée de vous avoir fait peur (mais j'avais prévenu qu'il ne fallait lire la suite qui si vous pensiez ne pas avoir peur des maths)
je tiens à m'exuser, si par malheur, j'ai oublié des conditions sur les éléments a, b et c (ou sur d'autre point)
alors Puisea, juste ou pas juste?
ciao
Bonjour. Développons a[/sup]4 etc..... On trouve ainsi a[sup]2(a[/sup]2+c[sup]2+b[/sup]2)+b[sup]2+c[/sup]2. Or a[sup]2+b[/sup]2+c[sup]2= 1 donc on trouve que a[/sup]4 +(ab+c)[sup]2+(ac-b)[sup][/sup]2=1
Donc ma réponse est 1
bonjour à tous
il y a longtemps que je ne suis pas venu
Quel plaisir!
Voici mon idée pour l'énigme 50
a^2+b^2+c^2=1
a^4+(ab+c)^2+(ac-b)^2=
a^2*a^2+a^2b^2+2abc+c^2+a^2c^2-2abc+b^2=
a^2*(a^2+b^2+c^2)^+b^2+c^2=
a^2+b^2+c^2=1
le resultat sera forcément 1!
on croise les doigts et on attend le resultat!
Salut tout le monde
Pour que a2+b2+c2=1
Alors a=1 b=0 c=0
ou a=0 b=1 c=0
ou a=0 b=0 c=1
Quelque soit la valeur on trouve donc que
a4+(ab+c)2+(ac-b)2= 1
Ma réponse est donc 1
Voila, @+
En dvpant l'égalité, on obtient:
a^4+(ab+c)²+(ac-b)²=a^4+(a²+1)(1-a²)=1
Coucou
Pas de dissertation ? C'est pas mon truc, mais bon
Si a² + b² + c² = 1
Alors a4 + (a.b + c)² + (a.c - b)² = 1
Mais au fait c'est quoi, une QRC ?
@+
Emma
on a a2 + b2 + c2=1
donc sachant qu'un carré est toujours positif a, b et c sont égale à 0 ou 1
donc si a=1, b=0 et c=0
si b=1, a=0 et c=0
et si c=1, a=0 et b=0
donc dans tous les cas a4+(ab+c)²+(ac-b)² = 1
Salut à tous ,
Ma réponse est : 1
Raisonnement (si on peut appeler ça un raisonnement )
On dévellope le tout, puis on factorise ce que l'on peut par a2. Le tour est joué, il ne reste plus qu'à remplacer la somme des trois carrés par 1 :
Voili voilou .
Bonne chance à tous , et merci à Puisea pour cette énigme (tout particulièrement en cette 50ème édition, ça se fête non ? Avec un joli smiley espérons le )
À +
la réponse est 1....
je peut donner le raisonement si'il le faut!
Ca fait bien longtemps que je n'ai pas visité le site...
Enfin voila ma reponse:
E =
a^4+(ab+c)²+(ac-b)² =
a^4+a²b²+2abc+c²+a²c²-abc+b² =
a^4 + a²(1-a²) + 1 -a² =
a^4 + a² - a^4 + 1 - a² = 1
E = 1
alors je ne sais s 'est la bonne reponse mias je dirais que:
a4+(ab+c)²+(ac-b)²= a4+ac2+b2+ab2+c2
a4+ac2+b2+ab2+c2 = 1+ac2+ab2
apres je sais plus comment faire
a4+(ab+c)²+(ac-b)² = a4+a²b²+c²+2abc+a²c²+b²-2abc = a²(a²+b²+c²)+b²+c²= a²+b²+c² = 1
Et bien je dois dire que vous avez fait honneur à cet 50è édition de mes challenges avec un nouveau record de participation... Merci à vous tous...
La réponse attendue était 1. Je pense que le pourquoi du comment n'a pas besoin d'être explicité vu le nombre de réponses bonnes...
Le taux de réussite de cette énigme est de 90%
Pour ce qui est de la signification de QRC, il s'agit d'une Question à Réponse Courte que l'on retrouve de plus en plus à la place des QCM...
Voila, prochaine énigme dans deux minutes...
Pour muriel : j'ai adorée ta réponse !!
en effet, félicitations a muriel!
c est bien le genre de trucs auxquels je pense pas!!!
y en a qui ont de bons reflex!
merci merci
noluck: c'est quoi les trucs que tu ne penses pas: faire une dissertation alors qui est explicitement écrit le contraire, ou le fait de chercher la petite bête en montrant l'importance des conditions initiales?
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