On trouve une solution pour n = 538461.
en effet, = 153846 , donc 7 = 1076922. Or 2n = 1076922.
Donc 2n = 7

Bonjour  


* On suppose que n est un nombre à deux chiffres :
n = 10b + a
= 10a + b
7(10a + b) = 2(10b + a)
68a = 13b
68 n'est pas divisible par 13, donc le nombre n ne peut pas avoir deux chiffres.

* on suppose que n est un nombre à trois chiffres :
n = 100c + 10b + a
= 100a + 10c + b
7(100a + 10c + b) = 2(100c + 10b + a)
698a = 13(10c + b)
698 n'est pas divisible par 13, donc le nombre n ne peut pas avoir trois chiffres.

... et ainsi de suite en incrémentant le nombre de chiffres.

quand on arrive à un nombre à six chiffres :
n = 100 000f + 10 000e + 1 000d + 100c + 10b + a
= 100 000a + 10 000f + 1 000e + 100d + 10c + b
on obtient :
699 998a = 13(10 000f + 1 000e + 100d + 10c + b)
Et on constate que 699 998/13 = 53846.
On a donc :
53846a = 10 000f + 1 000e + 100d + 10c + b
Si a = 1, alors :
f = 5
e = 3
d = 8
c = 4
et b = 6

Donc  n = 538 461   et   = 153 846

Vérification :
2n = 1 076 922
7 = 1 076 922

Pour déterminer la taille du nombre (k+1 chiffres), il faut définir k tel que 7*10^k2 (13).
C'est vérifié pour k de la forme 6*k'+5.
Le plus petit nombre n est 538 461.
Le suivant est 538 461 538 461...puis ainsi de suite ...etc.

En partant du fait que le dernier terme de n est un 1, je trouve la solution suivante:

n=538461, et n(barre)=153846.

bonjour Jamo
538461 est une solution pour n
soit a le nombre formé par les chiffres de n sauf celui des unités
le nombre des unités est 0, 1 ou 2
s'il est 0, l'équation 20 a est impossible
s'il est 1, on a l'équation 7x+7a = 20a+2, ou x est une puissance de 10
7x-2 = 13a
la plus petite valeur de x est 100000
699998 = 13a; a = 53846
n = 538461
538461*2 = 153846*7 = 1076922

si le chiffre des unités est 2
14x+7a = 20a+4
14x-4 = 13a
les mêmes puissances x qu'avec le chiffre 1 donnent aussi un nombre divisible par 13, mais ici a a un chiffre en trop

Bonjour,

Je trouve plusieurs solutions dont la plus petite est

J'ai posé
ce qui donne avec l'équation
J'obtiens une première solution pour b=1 et x=5 soit a=53846

Merci et à+, KiKo21.

Bonjour,

ma réponse:  



est-ce la seule solution ?

non il y celle là qui ressemble étrangement à l'autre:


ça marche aussi avec n=538461538461538461 etc...

Je vais essayer d'expliquer mon raisonnement

7*1..... = 2*.....1

pour qu'il y ait égalité, le chiffre des unités doit être 2*1=2
et 7*a=?2 donne a=6

ainsi, on obtient:

7*1....6=2*....61

on poursuit ensuite: 2*61=122, donc le chiffre des dizaine est un 2
et 7*a6=?22 ce qui donne a=4 (car 46*7=322)

et ainsi de suite jusqu'à obtenir un a=1, où dans ce cas, on peut s'arrêter. et on obtient le 538461
(mais on est pas obligé)

ainsi n=538461538461 et n(barre)=153846153846 marchent

et plus généralement
n=538461, pour tout k appartenant à doivent marcher également, à cause des cycles.





Mais existe-t-il des solutions sous d'autres formes? peut-être en partant d'un autre chiffre...

n ne peut pas commencer par 0, et sinon, on aboutit à 0000, qui en soi est une solution, mais ne fait pas partie de l'ensemble de définition de n.
en commencant par 2, je trouve: 3076922, mais il y a une retenue de 1: 7*2307692=16153844 tandis que 2*3076922=6153844
j'ai essayé d'aller plus loin, mais sauf erreurs, cela ne donne rien
après, il faudrait voir avec d'autres chiffres de départ...

Bonjour,

n=538461

merci pour l'énigme.

Bonsoir,

un peu à court de temps actuellement, je vais me contenter d'une seule valeur (pardon!).

n=538461 convient ( et il s'agit de la plus petite valeur)

En effet, 2n=1076922=7 avec =153846.

Merci pour l'énigmo.

Bonjour Jamo et merci pour l'énigme.
En notant p et q le quotient et le reste de la division par 10 de n, dont je suppose qu'il a k+1 chiffres, j'arrive à la condition
. En essayant k=1,2 etc.., je vois que, pour k=5, est divisible par 13, le quotient étant 53846.
En prenant q=1, cela me donne

n=538461

qui convient effectivement puisque
n barre=153846, 7n barre=1076922=2n.

Il y a sans doute d'autres solutions.

Bonjour,

Je trouve que 538461 est solution de l'équation. Je n'en ai pas trouvé d'autres pour les nombres de moins de 9 chiffres.

Merci pour l'énigme.

On a alors : 2*538461 = 1076922 = 7*153846

J'avoue avoir fait un programme pour trouver cette valeur.
Il n'y a pas d'autre solution pour n < 100 000 000.

Bonjour,

Une solution: n = 538461

Merci pour l'énigmo.

Enigmo 62

je propose n = 538461

qui donne et

bonjour jamo,
je propose n=538461
subsidiaire
soit en base 10 avec
s'écrit alors
traduisons les données (1)
est un chiffre non nul sinon N  est nul et n serait nul ce qui est contraire à l'hypothèse
13 divise le membre de gauche de (1) et est premier avec donc 13 divise
on trouve sauf erreur que ( est divisible par 13 pour
N est le quotient de la division de par 13 avec tel que ce qui implique
pour
pour
...
merci pour cet exercice que j'ai bien aimé et que j'espère avoir résolu correctement

Ma réponse est : problème impossible

J'ai tenté un truc sur Excel... en vain...

J'ai donc supposé qu'il n'y avait pas de solutions...

J'ai alors cherché à démontrer qu'il n'y avait pas de solutions...

Pour simplifier l'écriture, je remplace   par m.

7m=2n équivaut à 3,5m=n

Comme n et m ont le même nombre de chiffres (si le chiffre des unités de n est 0, alors m=n/10 donc n n'est pas solution de l'équation), n se termine par 1 ou 2.
Donc n est du type 1....1, 2....1, ..., 9 ..... 1 ou 1.....2, 2....2, ...., 9....2.

alors m est du type 11..... etc.

Du coup, on trouve rapidement que seul 5.....1 convient.
Donc 2n se termine par un 2 et du coup, m se termine par un 6 !

Donc on trouve 5...61 pour n.

En continuant ainsi, je suis arrivé à... ô miracle, une solution !!!

538 461 !!!

Bon, c'est LA solution que j'ai trouvée, peut-être pas la seule...

Ca m'a fait penser à 142 857...
En effet, je ne sais pas si beaucoup connaissent mais
142 857 x 2 = 285 714
142 857 x 3 = 428 571
142 857 x 4 = 571 428
142 857 x 5 = 714 285
142 857 x 6 = 857 142
142 857 x 7 = 999 999

et on retrouve en fait, l'écriture décimale des divisions par 7.

Exemple :
22 / 7 = 3, 142 857 142 857 142 857 142 857 142 857 142 857 142 857......

Une solution serait par exemple :
n = 538461    
n_ = 153846     (n_ signifie n barre)

2n=1076922=7*n_

A+
Torio

Bonjour,

voici ma solution :
n=538461

on a bien 538461*2=7*153846 = 1076922

Merci pour l'enigme

1emeu

Bonjour Jamo,
n= 538 461
= 153 846
2n=1 076 922
7=1 076 922

Il y a une infinité de solutions:
538461 , 538461538461 , 538461538461538461 , etc.
Pour le démontrer on pose n=10a+b avec b<10 et a nombre à p chiffres (donc a<10^p).
On obtient la condition 7(b*10^p+a)=2(10a+b) d'où 13a=(7*10^p-2)b.
On en déduit que 13 doit diviser 7*10^p-2. Les puissances de 10 modulo 13 valant 1,10,9,-1,-10,-9 et 1, les entiers p qui conviennent sont les p=5+6k.
D'autre part, la condition a<10^p impose de plus b<2 d'où b=1.
On a donc n=10*(7*10^5+6k-2)/13+1=7*(10^5+6k-1)/13 que l'on peut encore écrire:
.

7ñ = 2n

n = A0x10^0 + A1x10^1 + ... + Apx10^p
ñ = A1x10^0 + A2x10^1 + ... + Apx10^(p-1) + A0x10^p

En posant les produits ñ x 7 et n x 2 comme en primaire, de proche en proche on trouve un chiffre que l'on reporte dans la multiplication d'à coté.

2n=7ñ admet un chiffre des unités identique lorsque le dernier chiffre de n est 0,2,4,6 ou 8)

Si le dernier chiffre de n est 2, (pour 2x2=4 et 2x7=14)
Je trouve comme solution le nombre ......80769228076922 avec une infinité de 8076922 à gauche.

Si le dernier chiffre de n est 0, il n'y a que n=0 ce qui n'est pas admis car n>0 dans l'énoncé.

Si le dernier chiffre de n est 4 : on trouve ......23076882307688 avec à gauche une infinité de fois le cycle 2307688.

Si le dernier chiffre de n est 6 : on trouve ......92307669230766 avec à gauche une infinité de fois le cycle 9230766.

Enfin si le dernier chiffre de n est 8 : ....92307692307688 avec à gauche 923076 répété.

Ma méthode empêche peut-être de trouver des valeurs finies... :s

Bonjour Jamo, merci pour cette énigme, très interessante, j'ai longtemps cru au problème impossible, mais...
je propose n = 538 461 538 461.

0 solution

Je plaisante   * challenge en cours *

Si tu poses cette question c'est qu'a mon avis tu as trouvé une solution au hasard et tu as voulu en faire une enigme. Non ?

n=538461
n=538461538461
n=538461538461538461
n=538461538461538461538461
n=538461538461538461538461538461
n=538461538461538461538461538461538461
n=538461538461538461538461538461538461538461
n=538461538461538461538461538461538461538461538461
n=538461538461538461538461538461538461538461538461538461
n=538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461
n=538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461
n=538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461
n=538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461538461
et ainsi de suite

Il existe des solutions.
Par exemple n = 538461 donne n' = 153846 et on a 2n = 7n' = 1076922.
Ou encore n = 538461538461 et n' = 153846153846 et on a 2n = 7n' = 1076923076922.
Ou même n = 538461538461538461 et n' = 153846153846153846 et on a 2n = 7n' = 1076923076923076922.
(pour s'amuser un peu on remarquera que 7/13 = 0,538461538461538461538461... !)

Pseudo-Démonstration.

Tous les entiers seront considérés entiers naturels. Si n est un entier on note n' l'entier obtenu en déplaçant le chiffre des unités de n à gauche.

Comme on travaille en base 10, le nombre n se décompose de manière unique sous la forme

n = a₀ + a₁ 10¹ + a₂ 10² + ... + a_k 10^k

où les nombres a_i appartiennent à l'ensemble {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} pour tout i entier et où k est le plus petit entier tel que a_k 0.

Ainsi, d'après la définition de n', on a :


n' = a₁ + a₂ 10¹ + a₃ 10² + ... + a_k 10^k-1 + a₀ 10^k


Or, à l'aide du mise en facteur d'une partie de la somme composant n on a :

n = a₀ + 10 (a₁ + a₂ 10¹ + a₃ 10² + ... + a_k 10^k-1)
= a₀ + 10 (a₁ + a₂ 10¹ + a₃ 10² + ... + a_k 10^k-1 + a₀ 10^k) - a₀ 10^k+1
= 10n' - (10^k+1 - 1) a₀


Ainsi, l'équation 7n' = 2n équivaut à l'équation 7n' = 20n' - 2a₀(10^k+1 - 1)

soit 13n' = 2a₀(10^k+1 - 1) et enfin

n' = 2a₀(10^k+1 - 1)/13 si et seulement si 13 divise le numérateur 2a₀(10^k+1 - 1).

Or 2 et 13 étant premiers, donc premiers entre eux, il faut que 13 divise 10^k+1 - 1 qui est égal à (1 + 10¹ + 10² + ... + 10^k) (10 - 1) = (1 + 10¹ + 10² + ... + 10^k) 9.

(somme des termes d'une suite géométrique).

13 et 9 étant premiers entre eux, celà revient à chercher les multiples de 13 (s'ils existent) de la forme 1 + 10¹ + 10² + ... + 10^k soit un nombre de k+1 chiffres tous égaux à 1.

Le plus petit nombre de cette forme divisible par 13 est 111111.
De là, tous les nombres de la forme 111111 1000001^p où p est un entier sont composés uniquement du chiffre 1 et divisibles par 13.

Le problème admet donc une infinités de solutions.

Pour p=1, on obtient 111111. n' = 2a₀(1111119)/13 = 153846a₀
Pour a₀=1, n' = 153846 et n = 538461 répondent au problème.
Pour les autres valeurs de a₀, il n'y a pas de solution.

Pour p=2, on obtient 111111111111. n' = 2a₀(1111111111119)/13 = 153846153846a₀
Pour a₀=1, n' = 153846153846 et n = 538461538461 répondent au problème.

Je ne sais pas s'il existe des solutions autres que les nombres n de la forme 5384611000001^p. Les multiples de 13 ont un critère de divisibilité qui ne m'inspire pas.

Bonjour,

J'ai cherché à la main mais n'ai rien trouvé de concluant.

J'ai donc lancé un petit programme qui m'a donné une solution pour

n = 538461

7 x 153846 = 2 x 538461

J'aurais du chercher un peu plus avant de poster.
Je viens de trouver d'où sort la solution pondue par mon programme:

si on pose n = Xa, X étant un nombre de i chiffres

(par exemple X=123 et a=4 => n=1234)

on a alors :
n(barre) = aX = (n-a)/10 + a.10ⁱ

il faut donc
7.[(n-a)/10 + a.10ⁱ] = 2n

soit
13n = 7a.(10ⁱ-1)
130X+13a = 7a.(10ⁱ-1)

et enfin
13X = a.(7.10^i-1-2)

il suffit donc de prendre a=1 et chercher i pour que 7.10^i-1-2 (=13X) soit divisible par 13.

Ceci est vrai pour i multiple de 6. (i=6k, k entier strictement positif)

On le prouve par récurrence : la différence (10^6k-10^6k-1) est divisible par 13 (999999/13 = 76923)

on a donc une infinité de solutions du type
n = (7.10^6k-20)/13 + 1 avec k entier >0

pour k=1, n=538461

_{bon, j'espère que j'ai pas trop de coquilles dans ma démonstration...}

Rectif : la formule finale est bonne, mais :

1. 13n = 7a.(10ⁱ⁺¹-1) et 13X = a.(7.10ⁱ-2)
2. Il faut préciser qu'avec a=1, (7.10ⁱ-2) a forcément i+1 chiffres et X a donc i chiffres (avec a>1, ça ne marche pas)
3. On doit donc avoir i = 6k-1
4. C'est la différence 10^6k-10^6(k-1) qui est divisible par 13.


Tiens, j'en profite également pour mettre les 2 solutions suivantes :

k=2   =>   n = 538 461 538 461
k=3   =>   n = 538 461 538 461 538 461

on devine la suite ... en fait, les solutions sont :

n = 538461.10^6j   , j allant de 0 à autant qu'on veut.

538 461

Bonjour à tous !
Voici ma réponse :

On pose (division euclidienne)

Ainsi :    avec étant le nombre de chiffre de

or et premier

Donc , on cherche donc à résoudre
Je n'ai pas encore vu les congruences, mais on se débrouille en posant la division, on trouve avec
Ainsi, on a avec



MV

Rebonjour,

Bonjour à tous,

Je trouve par exemple une solution pour

En ce qui concerne la question subsidiaire, tout ce que je parviens à formuler, c'est qu'il faut trouver des nombres de la forme qui soit divisible par . Ces quotients entiers sont en effet solutions du problème :









…

Je n'arrive cependant pas à formuler les solutions d'une manière générale bien que j'arrive à les construire…

Merci pour l'énigme. Bien à vous tous.

Bonjour !

Voila j'ai trouvé une réponse :

Une solution de l'équation 7 = 2n est n = 538 461.

En effet si n = 538 461 alors = 153 846 et donc 7 = 2n = 1 076 922.

Sinon j'ai laissé cherché Maple et il n'a pas trouvé d'autres valeurs de n inférieures à 30 millions.

Merci !

n = 538 461

Réponse

n = 538461

n_Barre = 153846

7 * n_Barre = 1076922 = 2 * n

Bonjour ,
je trouve n=538461
avec 7*538461=2*538461=1076922

Bonjour,

merci pour une énigme originale.
Je pense qu'il y a une infinité de solutions :

Posons n=10*b + a
Il faut résoudre

Il faut donc que 13 divise car a est inférieur à 10.
Il faut d'autre part que b possède c chiffres. Pour tous les cas que j'ai regardés, cette condition implique que a=1.

On trouve une solution pour c=5, une autre pour c=11... je n'ai pas regardé au delà, mais je pense qu'on peut en trouver

Par exemple, les nombres n=538461 et n=538461538461 conviennent.

En regardant cette solution, j'ai envie de formuler une conjecture que je n'ai pas le temps de vérifier ce soir : en répétant le motif 538461, on doit trouver tous les nombres solutions de ton équation.

Rebonjour,

Maintenant, j'ai un peu de temps

Donc...

Tout nombre n peut s'écrire sous la forme n=10.b+a
où b est un nombre de c chiffres

et a un nombre compris entre 0 et 9.

On a


L' équation proposée devient
,
ce qui donne


Il faut que 13 divise , de manière évidente.

Si on pose
et , on obtient la plus petite solution (avec ).
Cette solution s'écrit

Si on avait choisi plus grand que 1, on obtiendrait un nombre à plus de cinq chiffres, donc la solution serait à exclure.

Ensuite,

il est facile de montrer que si est solution de , alors est aussi tel que
Il suffit de poser
et de remarquer que , où .
Donc
Remarquons alors que, en posant
, il vient
et que l'on peut écrire


Par récurrence, on peut montrer que




donnent un ensemble de solutions de l'équation de départ.

Pour montrer que ce sont les seules, il suffit de remarquer que où est un nombre de chiffres n'a de solution que si

Euh, emporté par mon élan, j'ai écris une bêtise à trois lignes de la fin.

Dans ma formule de récurrence, j'ai écris
C'est une énormité.

Il faut bien entendu lire


Si je n'ai pas fait d'autres erreurs....

j'ai trouvé une solution à 6 chiffres : 538 461.
infinité d'autres solutions à 12,18,24...etc chiffres.

par rapport à ma première réponse,
je précise n= 538461 et = 153846

soit l'équation 7 x 153846 = 2 x 538461 = 1076922

Il existe à mon sens une infinité de solutions dont




Preuve
Soit un entier que l'on va écrire sous la forme avec et .

où désigne le nombre de chiffres de .

L'égalité devient avec ces notations

soit encore



comme est un chiffre compris entre 0 et 9, 13 ne divise pas donc 13 divise

Je passe rapidement la démonstration de l'étude de la congruence mais on peut prouver que les valeurs de qui satisfont sont

En posant donc on trouve que

L'équation devient
                avec composé de chiffres.

On ne peut choisir car a un chiffre de trop mais convient.

En définitive



et



vérifient

probléme impossible car:
si n = x..........y avec x est le dernier chiffre à gauche de n et y le chiffre des unités alors :n(bar)= y..........x
1ere cas: il est clair dabord que si x=y alors n=n(bar)et parsuite 7n=2n entraine que n=o ce qui est impossible ( car normalement ici le nbre n different de 0 )
2eme cas: si x different de y et 7n(bar)=2n alors il faut que:
1) les deux chiffres  x  et y sont paires
2)les deux nbres 7x et 2y possédent le méme chiffre des unites ce qui est impossible( car si 7x et 2y possédent le méme chiffre des unites alors x=y mais nous on travaille dans le cas ou  x différent de y)
voila les différent cas pour les deux chiffres x et y:
7*8=56  et  2*8=16 :ici 7x et 2y ont le méme chiffre des unites (6) mais x=y
7*6=42  et  2*6=12 :ici 7x et 2y ont le méme chiffre des unites (2) mais x=y
7*2=14  et  2*2=04 :ici 7x et 2y ont le méme chiffre des unites (4) mais x=y
7*4=28  et  2*4=08 :ici 7x et 2y ont le méme chiffre des unites (08) mais x=y
conclusion generale: notre equation est impossible

La seule solution que j'ai trouvé est n = 538461 et /n = 153846.

Je n'ai pas réussi à le prouver mathématiquement alors j'ai écrit un programme sur Excel

PS: pour ceux que ca intéresse voici le code:
Nb: ouvrir une feuille Excel et créer un bouton "commande" et copier le code suivant.

Private Sub CommandButton1_Click()
Dim A, B, C, D, n, Nx, msg, Egal
A = 0
B = 0
C = 0
D = 0
E = 0
F = 1
Egal = 0
LineTest:
n = A & B & C & D & E & F
Nx = F & A & B & C & D & E
Range("A1").Value = n
Range("A2").Value = Nx
Range("B1").Value = 2 * n
Range("B2").Value = 7 * Nx
If ((2 * n) = (7 * Nx)) Then Range("C1").Value = Egal + 1: GoTo LineEnd Else GoTo lineABCD
lineABCD:
If (A = 9 And B = 9 And C = 9 And D = 9 And E = 9 And F = 9) Then GoTo LineStop Else GoTo LineBCDEF
LineBCDEF:
If (B = 9 And C = 9 And D = 9 And E = 9 And F = 9) Then A = A + 1: B = 0: C = 0: D = 0: E = 0: F = 0: GoTo LineTest Else GoTo LineCDEF
LineCDEF:
If (C = 9 And D = 9 And E = 9 And F = 9) Then B = B + 1: C = 0: D = 0: E = 0: F = 0: GoTo LineTest Else GoTo LineDEF
LineDEF:
If (D = 9 And E = 9 And F = 9) Then C = C + 1: D = 0: E = 0: F = 0: GoTo LineTest Else GoTo LineEF
LineEF:
If (E = 9 And F = 9) Then D = D + 1: E = 0: F = 0: GoTo LineTest Else GoTo LineF
LineF:
If (F = 9) Then E = E + 1: F = 0: GoTo LineTest Else F = F + 1: GoTo LineTest
LineEnd:
msg = "n=" & n & "Nx=" & Nx
Style = vbOK
Response = MsgBox(msg,Style)
GoTo LineFinal
LineStop:
If ((2 * n) = (7 * Nx)) Then GoTo LineEnd Else GoTo LineFinal
LineFinal:
End Sub

bonsoir ce n est possible que si n= 0000