Bonjour à tous,
Voici l'énigme du mercredi 22 ( bientôt noël ) :
Simplifiez au maximun cette expression :
Vous trouvez le résultat le plus simple possible et vous expliquerez votre raisonnement...
Bonne chance à tous
Clotûre le 25.
je vais utiliser
donc
et
donc l'Expession E vaut
d'où
on peut verifier avec des valeurs quelconques et ça marche !
Salut!!!c'est un peu trop dur pour moi mais bon je dirais: 0. C'est ça?? chao
Cette belle petite expression est égale à 3
En effet:
sin^4(x)=(sin^2(x))^2
=(1-cos^2(x))^2
=1-2cos^2(x)+cos^4(x)
2sin^2(x)=2(1-cos^2(x))
=2-2cos^2(x)
Je remets ces 2 expressions dans la formule de départ, on obtient alors:
sin^4(x)-cos^4(x)+2sin^2(x)+4cos^2(x)
=1-2cos^2(x)+cos^4(x)-cos^4(x)+2-2cos^2(x)+4cos^2(x)
Les termes en italique s'annulent ainsi que les cos^4(x).
On a alors:
sin^4(x)-cos^4(x)+2sin^2(x)+4cos^2(x)=1+2=3.
J'ai essayé d'être le plus clair possible mais je ne manie pas le Latex, donc dur dur...
Cette expression vaut 3.
En effet, elle vaut :
(sin²(x)-cos²(x)).(sin²(x)+cos²(x))+2.sin²(x)+4.cos²(x) or la 2e ( ) vaut 1
= sin²(x)-cos²(x)+2.sin²(x)+4.cos²(x)
=3.sin²(x)+3.cos²(x)
=3.(sin²(x)+cos²(x))
=3.1
=3
sin(x)^4-cos(x)^4+2sin(x)²+4cos(x)²
=(sin(x)²+cos(x)²)(sin(x)²-cos(x)²)+2sin(x)²+4cos(x)² (identité remarquable a²-b²)
=sin(x)²-cos(x)²+2sin(x)²+4cos(x)² (on utilise sin²+cos²=1)
=3sin(x)²+3cos(x)²
=3
je pense pas qu'on puisse trouver plus simple que 3 comme expresion.
J'ai fait le pari que l'expression était une constante .
Soit f(x) = sin4(x) - cos4(x) + 2 sin2(x)+ 4 cos2(x).
f'(x) = 4 sin(x) cos(x)[sin2(x)+cos2(x)]+4 cos(x) sin(x) -8 sin(x) cos(x)=
4 sin(x) cos(x)+4 sin(x) cos(x)- 8sin(x) cos(x)=0
f(x) est donc constante, donc
f(x) = f(0)=-1+4 .
f(x)= 3
on trouve 2 en factorisant sin4x-cos4x grace a l identite remarquable et en utilisant cos2x+sin2x=1.
sin4x - cos4x + 2sin2x + 4cos2x= (cos2x + sin2x)(sin2x - cos2x) + 2sin2x + 4cos2x = 3sin2x + 3cos2x = 3
L'expression est égale à 3.
Bonjour,
Soit E l'expression à simplifier. Je trouve E=3
Explication:
sin4(x)-cos4(x) = sin2(x)-cos2(x)
d'autre part, 2sin2(x)+4cos2(x) = 2 + 2cos2(x)
Donc, E = sin2(x)-cos2(x) + 2 + 2cos2(x) = sin2(x)+cos2(x) + 2 = 3
Bonjour
sin^4x-cos^4x+2sin^2x+4cos^2x=
(sin^2x-cos^2x)(sin^2x+cos^2x)+(2sin^2x+2cos^2x)+2cos^2x=
(sin^2x-cos^2x)(1)+(2)+2cos^2x=
sin^2x+cos^2x+2=1+2=3
Bonjour,
A = (x) - (x) + 2(x) + 4(x)
= ( (x) - (x) )( (x) + (x) ) + 2(x) + 4(x)
= (x) - (x) + 2(x) + 4(x) car (x) + (x) = 1
= 3(x) + 3(x)
= 3
désolé j'ai effectué un envoi prématuré du précédent message
(1)
d'ou
l'expression (1) devient
en simplifiant on obtient :
d'ou resultat final
Bonjour,
Voici ma solution : 3 (j'ai pas réussi à copier les détails du calcul mais la formule principale est : cosinus carré de x + sinus carré de x = 1).
Bonne soirée
La forme la plus simple est : 3
Mon raisonnement est le suivant:
sin4(x) - cos4(x) + 2sin2(x) + 4cos2(x) =
sin4(x) - cos4(x) + 2[sin2(x) + cos2(x)] + 2cos2(x) =
sin4(x) - cos4(x) + 2cos2(x) + 2 =
(puisque sin2(x) + cos2(x) = 1)
En remplaçant cos2(x) par 1 - sin2(x), on obtient:
sin4(x) - [1 - sin2(x)]2 + 2[1 - sin2(x)] + 2 =
sin4(x) - 1 + 2 sin2(x) - sin4(x) + 2 - 2sin2(x) + 2 = 3
Alors cette expression est équivalente à 3! Pour ce qui est des explications, si la démonstration n'est pas suffisante, bah... il suffit de remplacer et par des identités trigonométriques équivalentes! Tout se simplifie par la suite.
sin4x-cos4x+2sin2x+4cos2x
=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+2sin2x+4cos2x
=(sin2x-cos2x)1+2sin2x+4cos2x
=3sin2x+3cos2x=3(sin2x+cos2x)
=3
Salut a tous !!,
En remplaçant par on obtient, sauf erreur de ma part:
=
=
=
=
Voilà.bon je vous souhaite à tous un joyeux noêl!!!
Allez, @+
on sait que :
sin2()=(1-cos(2))/2
cos2()=(1+cos(2))/2
donc :
sin4()-cos4()
=((1-cos(2))/2)2-((1+cos(2))/2)2
=[(1+cos2(2)-2cos(2))-(cos2(2)+1+2cos(2))]/4
=(-4cos(2))/4
=-cos(2)
de plus :
2sin2()+4cos2()
=2[sin2()+cos2()]+2cos2()
=2+(1+cos(2))
=3+cos(2)
donc :
sin4()-cos4()+2sin2()+4cos2()
=-cos(2)+3+cos(2)
=3
Bonjour,
on utilisera la propriété qui dit que
sin2(x)+cos2(x)=1
sin4(x)-cos4(x)+2sin2(x)+4cos2(x)
=
sin4(x)-cos4(x)+2sin2(x)+2cos2(x)+2cos2(x)
=sin4(x)-cos4(x)+2+2cos2(x) (grâce à la ppté)
Par ailleurs
a4-b4=(a²-b²)(a²+b²)
avec a=sin(x) et b=cos(x)
on a sin4(x)-cos4(x)=(sin2(x)-cos2(x))(sin2(x)+cos2(x))
= (sin2(x)-cos2(x)) d'après la ppté
Donc on a
sin2(x)-cos2(x)+2+2cos2(x)
=sin2(x)+cos2(x)+2
=1+2 (d'après la ppté)
=3
La réponse est 3
C'est bon?
la quantité vaut en factorisant
(sin(x)²-cos(x)²) [car sin(x)²+cos(x)²=1]
ce qui equivaut a 1-2cos²(x) c est le resultat cherché.
Bravo à tous,
J'espère que vous avez passer un bon Noël
Et à l'année prochaine pour ma prochaine énigme
A plus
Bonjour et joyeux Noël à tous,
Si je peux me permettre ( et spécialement en ce jour de Noël), je trouve que le poisson de daniel12345 est particulièrement sévère d'autant qu'il est facile de se tromper entre les deux boutons POSTER et Aperçu.
Je suggère qu'en dépit du règlement , les bien-aimés correcteurs de l' fassent preuve de clémence .
Bonjour franz,
Je savais qu'on allait me faire remarquer ce poisson...
Mais je suis désolé, je dois faire respecter le réglement du forum énigme à la lettre...
Désolé que ca soit tomber sur toi daniel12345.
A plus
De plus si on part du principe qu'il est facile de se tromper entre les deux boutons POSTER et Aperçu.
Il est aussi facile de se tromper en écrivant son message, on peut aussi facilement se tromper de touches sur son clavier...
Donc je me dois d'être impartial
A plus
Bonsoir à tous et joyeux Noël
Merci Franz pour ta remarque.
Je me permets d'insister.
J'accepte la remarque qu'il est facile de se tromper en écrivant son message, mais on peut toujours relire. En revanche, il n'y a pas de garde-fou une fois qu'on clique sur poster.
Quand on veut faire un aperçu intermédiaire d'une formule , qui n'a rien d'évident dans la fenêtre de message, une confusion des touches est impardonnable. Or cela est manifestement ce qui s'est passé dans le cas du message de daniel12345.
Cela ne plaide pas pour une utilisation de , ce qui est à mon sens dommage surtout sur un site mathématique.
Ce n'est que mon avis. J'aimerais qu'il permette d'initier un débat sur une solution à ce genre d'erreur.
A bientôt.
Je ne sais pas si cela est bon, mais on va bien voir :
sin4x - cos4 + 2sin²x+4cos²x
= ( sin4x - cos4 ) + 2sin²x+4cos²x
= ( sin²x - cos²x ) ( sin²x + cos²x ) + 2(cos²x+sin²x) +2cos²x
= 1( sin²x - cos²x ) + 2 + 2cos²x ( car (cos²x+sin²x)=1 )
= sin²x + cos²x + 2
= 3
J'espére avoir bon...
Après quelques discutions avec le conseil des sages du forum :
Tu as droit à ton smiley daniel12345...
A plus
Bravo aux conseil des sages pour l'intelligence de son jugement. Il est louable de savoir rester dans l'eprit de la loi sans s'enfermer dans des positions trop rigides.
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