Le chiffre des unités de cette somme est 3.
En effet 1! + 2! + 3! + 4!
         = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 se termine par 3
5! = 120 est un multiple de 10 (se termine par 0)
6!, 7!, et tous les termes suivants sont des multiples de 5!, donc se terminent par 0.
La somme, qui vaut  33 + multiples de 10 se termine donc par 3.

A partir de n=5,le terme 2*5 garantit que n! est un multiple de 10, donc que le chiffre de ses unités est un 0.

reste à calculer 1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33
Le chiffre des unités de la somme est un 3

Pour tout entier k supérieur ou égal à 5, est un mulitple de 10.

Le chiffre des unités de 1! + 2! + 3! +4! + ... + 1997! + 1998! est donc celui de 1! + 2! + 3! +4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 c'est-à-dire 3.

De façon pédante :

      

ma réponse est 3

n5
la chiffre des unités de n! est 0 car dans n! il y a 5*2=10

donc le chiffre des unités de 1! + 2! + 3! +4! + ... + 1997! + 1998! est celui de 1! + 2! + 3! +4!

1!=1
2!=2
3!=6
4!=24

1! + 2! + 3! +4! = 33

le chifrre des unités de 1! + 2! + 3! +4! est 3
donc le chiffre des unités de 1! + 2! + 3! +4! + ... + 1997! + 1998! est 3

   1!=   1
   2!=   2
   3!=   6
   4!=  24
   5!= 120
   n!= xxxx0

    donc chiffre unité=3
  

Soit =

= 1! = 1
= + 2! = 1 + 2 = 3
= + 3! = 3 + 6 = 9
= + 4! = 9 + 24 = 33
...
= + (n+1)!

Or, pour tout entier n5, n! est un multiple de 10 (car multiple de 2 et 5) donc le chiffre des unités de n! est un zéro.

Ainsi, comme le chiffre des unités de est un 3, on en déduit ( à l'aide de = + (n+1)! et de ce qui précède ), que le chiffre des unités de est un 3 dès que n4  (et même pour tout entier naturel non nul sauf 1 et 3)

La réponse est donc 3...


P.S. : ... mais l'autre problème (qui me turlupine quelque peu et dont seul puisea possède la réponse) est de savoir à quoi tient le choix de 1998 (qui ne correspond même pas à la création de "L'île des Mathématiques" (j'ai quand même vérifié...)). Déroutant !
Alors, puisea, pourquoi 1998 et non 2005 (par exemple) ?

A partir de 5! inclus, les termes de la somme sont des multiples de 5 et de 2 donc des multiples de 10 et se terminent donc par 0.
Le chiffre des untés de la somme est donc celui de 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33.
Le chiffre des unités de la somme est donc 3.

a parti de 5! tous les factorielle sont des multiple de 10 donc le chiffre des unité est le meme que celui de 1!+2!+3!+4! = 1+2+6+24 = 33 donc je dirais que le chifre des unité est 3...

pas sur du tout mais 5*

J'ai vérifié pour les 21 premiers n,
Le résultat est 3 sauf pour n=3, c'est 9 !

Donc réponse: 3

Heureusement qu'il ne faut pas le prouver, car déjà je n'en suis pas sur a 100% et je ne saurais pas comment commencer ...

Toutes les factorielles se terminent par 0 (car multiples de 10) sauf les 4 premières.
1 ! se termine par 1
2 ! se termine par 2
3 ! se termine par 6
4 ! se termine par 4
Total = 13
La somme de 1998 premières factorielles a donc 3 pour chiffre des unités.

lorsque l'on multiplie par un factoriel superieur a 10(ex:22!) nous obtenons obligatoirement le chiffre des unités egal à 0 car multiplier un nombre par 10 ajoute un zero a "l'arriere du nombre"
le chiffre des unites de cette somme:

      

est donc le meme que le chiffre des unités de cette somme:

      

or

donc la réponse est

                               réponse:

                                  3

La réponse est=3
on sait que:
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=5!(6)=120x6=720
7!=5!(6x7)=120x42=5040
donc à partir de 5! le chiffre des unites pour n! est toujours = 0
donc pour la somme de
1!+2!+3!+4!+5!+6!+...+1997!+1998!=1+2+6+24+120+720+....+
comme 1+2+6+24=33 donc le chiffre des unités est =3

Oulala, sacré calcul ça...

Ma réponse est 3 (En espérant que Maple m'ait donné la valeur exacte...)

Bonsoir,

Le chiffre des unités  de cette somme est 3

car

on remarque que 5!=120
donc pour avoir 6!, il suffit de multiplier 120 par, dont on aura un nombre terminant par 0. Donc pour avoir le chiffre des unités de cette somme, il suffit de calculer 1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33, donc le chiffre des unités est3.

Réponse: 3

C'est Bon?

1
2
6
24
120
720
5040
voici les premiers resultat des factorielles n! (avec ici n= 1,2,3,4,5,6 et 7)
on voit que plus l'on prend n grand et plus le chiffres des unités tend vers 0. De ce fait le chiffre des unites ainsi obtenu tend alors vers 1+2+6+4+n*0
                                    soit 13
donc je diré que le chiffre des unites de cette somme est 3
                    

Salut,

A partir de 5! tous les n! ont 0 pour chiffre d'unité
donc le chiffre des unités sera donné par 1 + 2! + 3! + 4!
Le chiffre des unités pour la somme demandé est 3

On peut écrire le nombre sous la forme 1+2X, il est donc impair et a pour chiffre des unités, 1;3;5;7 ou 9

1!+2!+3!+4!=33
donc on peut écrir que la somme = 33+5Y
Les multiples de 5 ont 0 ou 5 comme chiffres des unités si on ajoute 33 on cela donne 3 ou 8. Comme 8 n'est pas impair, la réponse est 3.

Le chiffre des unités serait un 3!

5!=120
Donc, tous les termes suivants de la somme ont pour chiffre unité 0 : par exemple, 6!=6*5! et 6*0=0 donc l'unit" est 0.

Ainsi le chiffre unité de la somme est égal au chiffre unité de la somme suivante :
1!+2!+3!+4! = 1+2+6+24 = 33.

La réponse est donc 3

Quelque soit n>4 n! = 1x2x3x4x5x....n
Donc quelque soit n>4 n! =2x5xautre chose
Donc quelque soit n>4 n!=10xautre chose
Donc quelque soit n>4 n! se termine par 0
Donc somme (i=1 à 1998) de i! se terminera par la même chose que somme (i=1 à 4) i!
Or, somme (i=1 à 4) i! = 1! + 2! + 3! + 4! = 1+2+6+24=33

donc le chiffre des unités de 1! + 2! + 3! +4! + ... + 1997! + 1998! est 3

Bravo à tous, la bonne solution était 3, comme l'on bien démontré nombre d'entre vous !!

Merci à tous de votre participation, énigme suivante déja en ligne  

@+

Et la réponse à ma question, alors ?

Ah oui c'est vrai désolé, j'avais oublié pourtant je l'avais remarqué :$ et bien, il est vrai que j'aurai pu continuer jusqu'à 2005 comme m'arrêter à 200, j'ai pris 1998! car c'était comme ceci que s'arrêtait le problème analogue trouver sur internet.

Je l'ai fait a la calculette et le chiffre des unités est 3.

ah un petit nouveau

Il faut répondre aux énigmes avant leur clôture Stan, quand tu vas sur le forum énigme, toutes les énigmes encore en cours sont situées sur le haut de la page, toutes celles qui sont finies sont en bas de la page

@+

pffffffffffff
Encore cette salpoeire d'internet

Enfin puisque il semble que je joue de makheur....Et je vois que personne ne c'est vraiment cassé la tête, moi j'ai pris mon crayon et un bout de papier et j'ai additionner (avec l'aide de maple )

Donc je vais vpous donnez le resultat avec c 5729 chiffres. Ca sera ma petite vengeance (jai eu accès à l'enigme hjier à 20h et quand je suis revenu aujourd'hui à 21h30 elle était deja cloturé...) Certaine mauvaises langues (parmie les moderateur ) que je ne citerais pas m'ont fait remarqué que cela faisait plus de 24h donc je n'ai plus qu'à pleurer sur mon sort et continuer mes série de Riemann...

Voila la bete :
82989887977894105331862686418613960365925006451256936523317203947429974520290557835291780965103020743258360743308
12032011079084970327247747691116692091083172665653779615162426727471758338148627245689161854081578670152951454269
29430934868045987286448296403446837862017772751673208902992119782092161152380699502415883602811424618886549001851
50245218853690198370284758748279860095985422367817826126117023528204754921687156635224368144833350658364742803797
25506378176767732488285088760034625841780708137847539760536922746525248401440362778824162861131675953952099155872
98917470221529434431887975396613201795901564278650192523770290495064166035066502043765171006206800233912867957734
31767944556068900676080741168399285604384388387511951433670171465420567663897061591533602154954887974492013041865
91057950294862258338434597068376108693583369291074739645104928359152220074341646733164505335452483980648557423412
23547122847104408185561307071592985852197235887776878045240730700738638707103769978301365119482819994757004102187
89180737001166606351698390973638616758048644019097442497880878942939080054804448667182829488028100642336767082826
09987233626587730817945366746859027704462926499351489831293178766499379307189347854983098428835613847461154899670
74352861241796783262084511182139740224723895889519541880523185995739083616138438094373527821846647163493135562115
90470251002020181049870634403599189398997420635821775193957199105010675114827950818352489506849007028772015142160
60958151354330387611953369378962135648388169189598776403482833553558487970579498469246773552650925454870538600432
85901143178597234517680783841901919502262922875507465662034262180813440798994133637271347129267598555437004551275
67223809486085887480317602521978310378035023701758435478030868317132956879138893850350435181665382901679524635039
58346013765578782695103401858526797981808926192988897083016683266719500163601359240385373753851808341958539229337
97192242193076791695404106830710036353719127932511498721656413598813588913627597010495993323498034800016159149061
86584231763502415468489956107248867532191432906705827846381564072283811601128221702842870920768293902151686141161
87451811128400441888265413476488109019439469975543385047040647270853826081642683559766744885385208193222500899215
32989248715877183856707847642360100466497860427777785669335628876256391093261044948290923889755935848058827529409
17877564848368773148877726507537714826254505179668593120733493998644124817455757538697519699484727330265793661368
63999798720834614967675977728246948577630897689016043420607182106009190059200415332388690209783626868939893584117
42184586146376472577755839707119773718938389948760785750170772068532283927172032159904136633927340761322120540788
47752925661178423896088592218583083057053737129047957975293818705335967464528390262795244459455257267631674878645
16502870208630045585007558488722964818021995762149278796513390513536562065169321549512602240813976882242954309770
74954926167546630326678874486764197317293729844728108764901947813569957763891794340293995560533022958932420879047
46309544169776892647177607197195758050863797395112844029353322304360907362025295503376940068461676104638991433497
43704637982412267911322757202157083190508396722819931008481889182819314410726067407622446413381866759923834653941
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45337970227333264574643091685283443732255693851151169491059895375352718481691407499371413581019875511072565560406
39864228241387094724290862633572591535237460391670837636782005132591276323435863872606977761835832404505844626300
56071581881125729896545096983222208474181009165049052470273385954663693665060474773678365985507591474950200281878
45464707450975874957708680458239646248018871544409583057952243452868241026986498072290422980185227504315501475762
37738362207680890026681755673887146086290022933134983561702647008233353015298084062616125448396127162465993651183
47785870499396255070442849673406256414396697053771568981221313144090238072052254986059027246700351988487964776102
14420800708545594777724902780230971158407599126933875551821337773914908174305383306467896868465828739020275743268
15440403820314117494861715792756423103430900282228852240434558946923374584850882022199153300757654253235501444660
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60631510327150862322419736112229166314001547088560980975908694737070159537652003819025229316289446315783610973862
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Voila c'est fini