Bonjour à tous,
Non, je ne vais pas vous parler d'un de ces restaurants typiques qui font la fierté gastronomique de Lyon et de ses environs, mais plutôt des embouteillages si fréquents dans cette région, le week-end notamment.
Un vendredi soir, un poids lourd se couche en travers de la route et 2 000 voitures s'agglutinent pour former un énorme bouchon. La route est ensuite fermée pour éviter que d'autres voitures ne viennent grossir davantage le bouchon.
Les voitures sont sur une seule file et régulièrement espacées de 5 mètres (la distance entre l'avant d'une voiture et l'avant de la voiture qui la suit).
Si on trace une ligne au niveau du pare-choc avant de la première voiture, on considérera qu'une voiture est sortie de la zone du bouchon dès que son pare-choc avant a franchi cette ligne.
Une fois le camion dégagé, les voitures peuvent enfin redémarrer.
Chaque voiture démarre 5 secondes après celle qui la précède. Elle prend de la vitesse de façon régulière (c'est-à-dire avec une accélération constante) pendant 30 secondes jusqu'à atteindre la vitesse de 60 km/h, puis elle maintient cette vitesse jusqu'à la sortie de la zone du bouchon.
Question : combien de voitures sont encore présentes sur la zone du bouchon au moment où la dernière voiture démarre ?
J'ai trouvé que les voitures n° 1885 à 2000 étaient encore dans le bouchon au moment où la 2000° démarre, soit 116 voitures.
Bonjour,
Merci pour ce joli problème !
Sauf erreur, je dirais qu'au moment où la dernière démarre, il y a 1884 voitures sorties du bouchon.
Cordialement,
MM
Bonjour,
Sauf erreur, il reste 116 voitures.
Explication :
En intégrant dV/dt = g, (accélération constante) : g = 5/9 (m/s²)
En intégrant dX/dt = g.t²/2 : X(t=30s) = 250m
Pour le véhicule 'i', on compare Xi, la distance parcourue entre son démarrage et celui du 2000ème véhicule,
... avec Li, la distance qui séparait ce véhicule de la sortie du bouchon.
Li = (i-1)*5
Xi = 250 + 100/6*[(2000-i)*5 -30]
(Xi - Li) positif : le véhicule est sorti de la zone.
L'expression devient négative à partir de i=1885.
Il reste donc 2000 - 1885 + 1 = 116 véhicules.
Bonjour
Comme d'habitude très intéressant
1/c'est loin d'être un départ de F1
2/J'ai considéré que la phase d'accélération était uniforme je trouve 0.5553 m/s2
3/il faut rajouter 5 m pour la longueur des voitures donc la 2000 ème est quand
même à 19990 m de la première.
4/tout ceci étant la dernière voiture partira au bout de 9995 s et cela donnera
tout juste le temps à la 1784 ème de quitter la zone donc 216 voitures seront
encore dans celle -ci
Bonsoir Godefroy.
Il reste cent seize voitures dans le bouchon au moment où la dernière démarre.
Il est clair que quand la dernière voiture démarre, celle qui se trouve six places devant, qui vient donc d'atteindre sa vitesse de croisière, est encore dans le bouchon.
Par ailleurs la distance d'accélération est 1km * 0.5 /2 = 250 m. Seules les cinquante premières voitures n'ont pas atteint leur vitesse de croisière au moment du bouchon. Au moment où la cinquante et unième sort, il s'est écoulé 5*50 + 30 = 280s et on est encore bien loin du démarrage de la dernière.
Conclusion : au moment du démarrage de la dernière voiture, toutes les voitures qui sont encore dans le bouchon à au moins six places devant elle sont en vitesse de croisière.
Soit une voiture placées x places devant la dernière (x > 5).
avance initiale : 5x
distance d'accélération : 250
distance parcourue après la fin de l'accélération : (5x-30)*(100/6) = 500x/6 - 500
avance finale : 5x + 250 + 500x/6 - 500 = 530x/6 - 250
pour que la voiture soit encore dans le bouchon, il faut que 530x/6 - 250 soit inférieur ou égal à 5*(2000-1)
530x/6 - 250 <= 9995
530x/6 <= 10245
530x <= 61470
x <= 115,981
au moment où la dernière voiture démarre, 115 voitures devant elle sont encore dans le bouchon; à ce résultat, il faut ajouter la dernière voiture
Bonsoir godefroy_lehardi
je n'aime pas les bouchons (motard que je suis) mais j'ai aimé me pencher sur ce problème !
Je dirais donc qu'il y a encore 116 véhicules présents (le dernier y compris bien sûr) sur la zone de bouchon au moment où le dernier véhicule démarre, le véhicule précédent étant sorti de la zone de bouchon 1/10 s avant.
Bonjoir,
Je pense qu'il reste 116 voitures dans la zone quand la dernière démarre.
Merci pour vos énigmes.
Après quelques calculs et donc erreurs potentielles, je propose 117 véhicules dans la zone de bouchon quand la 2000° démarre.
sauf erreur de calcul je pense qu'il devrait encore rester 116 voitures, au moment où redémarrera le 2000ème véhicule.
En effet la 1884è voiture (derrière laquelle se trouvent encore 116 véhicules) doit parcourir 9415 mètres et démarrera 9415 secondes après la première.
Pour parcourir cette distance il lui faudra 30 secondes pour les 250 premiers mètres, puis une minute par kilomètre (à la vitesse de 16.666...m/s), donc un temps de roulage total de 579.9 secondes.
Cette voiture sortira donc de la zone de bouchon 9415 + 579.9 = 9994.9 secondes après la première, ou encore un seul petit dixième de seconde avant que la dernière puisse démarrer.
merci et à bientôt!
Bonsoir godefroy_lehardi
223 voitures sont encore présentes sur la zone du bouchon au moment où la dernière voiture démarre .
Merci pour ce joute qui ce réalise de plus en plus souvent .
Bonjour godefroy lehardi,
Au moment où la 2000ème voiture démarre, il reste 116 voitures dans la zone de bouchon.
Merci pour l'énigme.
bonsoir,
je trouve que seules les 1884 premières voitures sont sorties du bouchon quand la dernière voiture démarre
il reste donc 116 voitures dans la zone du bouchon au moment du démarrage de la dernière
merci pour cette joute,j'ai bien aimé l'exercice (mais comme je fais toujours des erreurs de calcul je ne suis pas sûre de mon résultat)
ah ben mince, je viens de m'apercevoir que je n'avais pas répondu explicitement à la question
(sera-ce un poisson ?... l'avenir le dira !)
bon bref !
je garde mon calcul et il y aura donc 2000-1884 = 116 voitures encore présentes dans le bouchon quand la dernière démarrera...
Quel idiot !
117 voitures sont encore dans le "bouchon"
soit : v = le nombre de voiture encore dans le bouchon
v doit être le plus petit entier vérifiant :
10 000 - 5 x v < (5 x v) x 60/3,6 - 250
soit 117
Clôture de l'énigme :
J'espère que vous avez passé de bonnes fêtes et que vous êtes en forme pour demain.
Bonne chance à ceux qui vont affronter les bouchons ce soir
Je vous souhaite une excellente année 2011 et j'espère vous retrouver encore plus nombreux dans la rubrique "Enigmes" (promis, il y en aura aussi des faciles )
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