Bonjour, nouvelle énigme
Soit E la fonction partie entière, alors pour tout x réel fixé, on a :
Quelle est la limite de cette suite ?
Bonne Chance à tous
étant donné cette période de vacances, cela me permet de vous gâter
La suite Vn=(x+2x+...+nx)/n^2= x(n+1)/2n tend vers x/2 quand n tend vers l'infini.
Par ailleurs Vn-Un=((x-E(x)+...+(nx-E(nx))/n^2 et comme pour tout y, 0<=y-E(y)<1
0<=Vn-Un<1/n donc Un a même limite que Vn
Un tend vers x/2
Comme E(px)<px, on a :
un < 1/n2 *(x+2x+3x …+nx)
Un < x/2 (n2+n)/n2
De plus E(px) >(px-1)
un > [(x-1)+(2x-1)+(3x-1)….+(nx-1)]/n2
un> [x/2 (n2+n)/n2] -n/n2 = x/2 (n2+n)/n2-1/n
Donc :
[x/2 (n2+n)/n2]-1/n <un< x/2 (n2+n)/n2
La limite de la suite un est donc x/2.
je dirai que la limite quand n tend vers +l'infini de Un(x) est x/2 quel que soit x réel fixé
Bonjour,
C'est la fête !
Réponse proposée : un(x)=x/2 mais sans être capable de le démontrer
Uniquement en visualisant la courbe jusqu'à n=20
Question : est-ce qu'avec np au dénominateur on aurait x/p ?
Philoux
La limite de la suite est la suivante :
En utilisant les convergeances et ... ;
Il faut encadrer le numérateur :
-Si ,, donc converge et converge vers .
-Si , on a pour tout .
On en déduis en sommant terme a terme que :
On obtient ainsi un encadrement de , On doit maintenant prouver la convergence et trouver la limite :
On démontre que avec dans .
D'où
D'où
D'où
D'où
D'où
Par un théorème des gendarmes, on déduit que
_______________________________________________________________________________
Ou on peut trouver la limite par une autre méthode "l'égalité évidente" :
, où désigne la partie entière du réel . Ainsi :
Puis : .
On en déduit immédiatement que :
_______________________________________________________________________________
Conclusion : dans les deux cas, le résultat trouvé est : .
La limite est x/2
je ne sais plus ce qu'est une suite... alors je l'ai fait avec excel, suffit de recopier vers le bas assez loin et de faire varier x.
merci pour l'énigme.
Ma fille qui est en prépa devait m'expliquer les suites, mais elle est partie boire un pot en ville
LA suite tend vers x/2
c'est mon père qui le pense (prof de maths)
Bonjour,
En partant de l'encadrement xE(x)<x+1 (x réel), on a pour tout entier k compris entre 1 et n, kxE(kx)<kx+1.
D'où par sommation de 1 à n et division par n², .
Donc
soit, pour fixé et pour tout entier n1, .
Ainsi, par définition, .
Conclusion: La limite de cette suite vaut .
Merci pour cet exercice... oops cette énigme !
Je pense que je vais prendre un gros poisson mais je me risque quand même !
Je dirais lim Un = x/2
bonjour,
j'encadre la suite Un par deux suites
[(x-1)+(2x-1)+...+(nx-1)]/n² < Un < [(x)+(2x)+...+(nx)]/n²
les deux suites tendent vers x/2
donc Un ---> x/2
n->
Salut,
Je trouve par encadrement que la limite de Un est de x/2 . Merci pour l'énigme.
Je ne suis pas du tout sûr de moi, mais de manière intuitive, pour n assez grand, j'aurais tendance à assimiler cette suite à x.n(n+1)/2 /n².
i.e. j'assimile E(nx) à nx en estimant que nx-E(nx), divisé par n² devient négligeable.
Ca nous donnerait donc x.(1/2+1/n) qui pour a pour limite x/2.
Quelque chose me dérange là-dedans, mais je tente le poisson (ou le smiley, ne soyons pas défaitistes) quand-même.
Réponse : x/2
De toute façon, je n'ai absolument aucune idée de la façon dont on manipule ces parties entières.
Quand je vois le nombre de réponses, je crois que je vais pouvoir prendre une leçon dans ce domaine.
Sachant que par définition : x-1 < E(x) <= x
on obtient directement :
(x-1) + (2x-1) + ... + (nx-1) < E(x) + E(2x) + ... + E(nx) <= x + 2x + ... + nx
Ce qui se simplifie en :
xn(n+1)/2n2 - 1/n < U(n) <= xn(n+1)/2n2
U(n) est encadré par deux suites qui convergent toutes deux vers x/2.
U(n) est donc convergente de limite x/2 (CQFD).
salut puisea :
Pour moi il y a 3 cas à distinguer :
1er cas :
2eme cas :
3eme cas :
sauf erreur ...
merci pour l'énigme
romain
, ça c'est du retour gagnant sur les énigmes !
Merci puisea, au moin j'ai compris les réponses des autres intervenants ...
romain
J'ai juste, cool !
"Hello lyonnais, and welcome among us and good stay, moreover than I wish you a good stay on the island of mathematics. Remain longest here, that disturbs anybody, I laugh...".
j'ai durer 1H pour faire ça à cause de l'écriture bizzaroïde du LaTeX!
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