Bonjour à tous,
Dessinons un triangle rectangle ABC à l'intérieur d'un demi-cercle de diamètre AC, puis un demi-cercle de diamètre BC coupant le segment [AC] (voir l'exemple ci-dessous).
L'angle entre CA et CB sera noté x, compris entre 0 et /2.
On a ainsi défini deux zones de couleur bleue et rouge.
Question : Pour quelles valeurs exactes de x le quotient de la surface bleue par la surface rouge est-il égal à ?
S'il existe plusieurs solutions, donnez-les toutes.
Salut
Nul en géométrie, je me lance quand même.
x=acos(1/sqrt(pi))
ou pi vaut la variable pi
acos arccosinus (inverse du cosinus)
et sqrt la racine carrée.
Soit environ 55,65°
Evidemment, la valeur symétrique -x convient également
J'ai essayé d'intégrer ... puis j'ai abandonné....
On peut considérer que les deux zones sont homothétiques dans un rapport de 1/cos(x).
Donc les surfaces le sont dans un rapport 1/cos2(x).
La rapport étant égal à , on a 1/cos2(x)=
soit cos(x)=1/ puisque cos(x)>0.
Donc x=0,9713 rd(ou 55,654°)
bonjour
la hauteur issue de B coupe AC en H . Et les triangles rectangles ABC & CHB sont semblables.
Ainsi leur rapport r peut s'écrire:
le rapport de leurs aires se formule donc:
C'est aussi le rapport des 2 aires :
Et
Alors
la partie rouge est une réduction de la partie bleue de rapport cos(x) et donc cos2(x)=1/
x=arccos(1/)
Bonjour
Je me méfie de valeur exacte
Je ne trouve pas une valeur remarquable pour x
à part en ° Décimaux
55.6539665431
Bonjour
Je trouve pour x une valeur non-rationnelle, ce qui m'ennuie un peu pour donner une valeur "exacte"
Je peux toutefois proposer la valeur selon l'expression suivante:
cela sent donc le poisson... mais je tente le coup quand même.
Merci pour la joute et à bientôt
Bonjour Godefroy,
Les surfaces bleue et rouge étant semblables, leurs aires sont proportionnelles aux carrés des segments et (où est la deuxième extrémité du segment rouge).
On doit donc avoir c'est-à-dire .
Autrement dit :
(un peu moins de 56°)
Merci pour la joute
Bonjour Godefroy,
x étant compris entre 0 et /2, il n'y a qu'une solution :
(le rapport des aires des deux segments est simplement le carré du rapport des diamètres de leurs cercles)
Précision..
Etant turlupiné par "valeur exacte"
Je donne l'approche qui permet d'en être sûr:
On trouve Cos² x= 1/
cos x = 1/
x en degés décimaux 55.35396655 etc...
Lorsque x vaut le quotient de la surface bleue par la surface rouge est égal à .
En effet le quotient de la surface bleue par la surface rouge vaut .
Note : j'ai réellement calculé les deux surfaces séparément avant de m'apercevoir de cela ^^'
bonjour
A première vue, les Aires A et B sont proportionnelles aux aires des disques de rayons R et Rcosx donc au carré de leurs rayons.
x = arccos (1/)
Clôture de l'énigme :
Tout le monde avait trouvé mais certains n'ont pas vraiment répondu à la question.
Dire que cosx = 1/, ce n'est que l'avant-dernière étape de la démarche.
Or, ce qu'on cherche, c'est x.
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