Bonjour,

Ça dépend de ce qu'on entend par "les quinze hommes permutent leur place". On peut comprendre soit que chacun des quinze hommes doit changer de place, soit qu'au moins deux hommes parmi les quinze doivent changer de place. Je distingue les deux cas :

1. Au moins deux hommes parmi les quinze doivent changer de place. Il y a une seule solution : 2 et 3 permutent leurs places et 15 et 16 permutent aussi leurs places. De cette manière les sommes restent identiques.

2. Il faut que chacun des quinze hommes change de place. Il n'y a pas de solution parce que :
Sur la ligne horizontale du bas, le total 70 ne peut être obtenu qu'en additionnant les cinq valeurs les plus élevées (de 12 à 16).
De même, sur la deuxième ligne horizontale, le total 38 ne peut être obtenu qu'en additionnant les quatre valeurs les plus élevées parmi celles qui restent à placer.
Encore de même, la première ligne horizontale doit contenir 5, 6 et 7.

Si on force tous les nombres à changer de place, 7, 11 et 16 doivent aussi changer de place. Les valeurs maximales par lesquelles ils peuvent être remplacés sont respectivement 6, 10 et 15 (pris parmi les nombres qui doivent être sur leurs lignes horizontales). Sur la ligne du côté droit, même en mettant 3 à la place de 2, le total maximum qu'on peut obtenir devient 38 au lieu de 40, c'est donc impossible.

Merci, bonne soirée !

On trouve rapidement que la somme de chaque groupe de 3 points aux pointes du triangle doit être égale à 135-3S. (avec S =somme à chercher).
On trouve aussi que la somme des 6 chiffres centraux est égale à 9S-270...
De plus, on sait que les chiffres des sommes de 3 points (ex: 5+6+7) sont plus élevés que ceux des sommes à 5 points (ex : 2+4+7+11+16).
Ces considérations permettent de réduire la recherche, la somme S étant telle que 33<S<39, les petits chiffres aux extrémités, les grands au centre.
Je ne trouve pas de solution qui réponde à la question.
J'en conclus (un peu vite peut être) que le problème n'a pas de solution....

Bonjour littleguy,

Voici une disposition convenant au chef de groupe

ligne 1 : [1]
ligne 2 : [9]
ligne 3 : [4, 5]
ligne 4 : [11, 15, 13]
ligne 5 : [7, 16, 14, 2]
ligne 6 : [8, 3, 12, 6, 10]

Merci pour cette énigme d'algèbre linéaire.

Je suis allé trop vite, j'ai pensé que les neuf sommes devaient être égales à leurs valeurs respectives sur le premier schéma, or il fallait comprendre que les neuf sommes doivent être égales entre elles.

Dans ce cas, il y a douze solutions qui sont toutes des symétries d'une de ces deux solutions :

Il y a exactement 2 solutions à rotations et symétries  près du grand triangle équilatéral.
A savoir

1ère solution
ligne 1 : [1]
ligne 2 : [9]
ligne 3 : [4, 5]
ligne 4 : [11, 15, 13]
ligne 5 : [7, 16, 14, 2]
ligne 6 : [8, 3, 12, 6, 10]

2ème solution
ligne 1 : [1]
ligne 2 : [9]
ligne 3 : [2, 7]
ligne 4 : [13, 15, 11]
ligne 5 : [5, 14, 16, 4]
ligne 6 : [10, 3, 12, 6, 8]

Si l'on ne tient pas compte des rotations et des symétries, il y a donc 12 solutions.
Voilà !

Bonjour,

Le supérieur n'a aucune idée de sa bêtise.

Au rez-de chaussée (de le pyramide) les 5 nombres sont
nécessaires pour obtenir 70 le plus petit à gauche ne pouvant
être que 13.
Au premier étage  qui doit totaliser 38 le plus petit nombre
à gauche ne pourra être que 9.
Observons le total des chiffres de gauche ,il nous reste 30-(13+9)=8
à trouver or 3  est impératif donc il reste 5 pour les deux derniers avec
1 (le chef ) déjà mobilisé.
Donc la mission est impossible

bonjour littleguy
voici une disposition qui convient: (ce n'est pas  la seule)

Bonsoir
Je pense que c'est impossible
A+

Bonsoir LittleGuy,

Impossible

La disposition est la suivante :

      Encore une énigme très amusante, merci. je propose la disposition suivante pour un total de 39

              
                                                  1

                                                   9

                                        2                    7

                              13               15                 11

                    5                  14                16                     4

          10               3                   12                     6                     8

Bonjour à tous.

Voir ma réponse ci-dessous.

Merci pour l'énigme.

une autre solution
A partir de cette solution et de celle montrée dans ma première réponse, on en déduit 10 autres par des symétries (ou rotations)
Donc 12 solutions en tout.
Une remarque:
A partir de la disposition de l'énoncé, si on permute le 2 et le 3 ainsi que le 15 et le 16, les sommes restent inchangées.
Cordialement

Je propose la disposition suivante (avec chaque somme = 39):

            1
            8
          4   6
       11  16  12
      7  15  14   3
    9   2  13   5  10

            1
            8
          7   3
       11  16  12
      4  15  14   6
    9   5  13   2  10

Pour des sommes de 39

bonjour,

je propose

                              8
                        4          6
                11       16       12
           7         15       14       3
    9          2         13         5       10

chaque rangée ayant un total de 39

Cordialement

bonjour Littleguy
encore merci pour cette énigme très intéressante !

après essai de plusieurs méthodes et diverses approches de réflexion, je n'ai pas trouvé d'arrangement qui convienne.
le plus approchant donne des totaux de lignes de 38, sauf pour 2 lignes qui restent obstinément à 39 et 40 :'(

ma réponse est donc : je dis à mon supérieur que c'est impossible.

mais je n'ai pas réussi à le démontrer... il me tarde de voir la solution !!

Bonjour
Somme de 39 pour les 9 lignes demandées (aux symétries près)
                                    8
                                 7   3
                         11   16   12
                     4      15   14   6
                 9      5      13     2    10

Bonjour,
Il existe exactement 12 dispositions convenant aux volontés du supérieur.
Celles-ci sont répertoriées sur l'image suivante :


malou > ***image rapatriée***

Bon (long) week-end de Pâques à vous.
Tjaf

Bonjour,

Une solution possible :

Le problème est sans solution

2 réponses plus les symétries
[9,4,5,11,15,13,7,16,14,2,8,3,12,6,10,39],[9,7,2,11,15,13,4,16,14,5,8,6,12,3,10,39],[8,4,6,11,16,12,7,15,14,3,9,2,13,5,10,39],[8,7,3,11,16,12,4,15,14,6,9,5,13,2,10,39],[10,3,5,12,14,13,6,16,15,2,8,4,11,7,9,39],[10,6,2,12,14,13,3,16,15,5,8,7,11,4,9,39],[8,3,7,12,16,11,6,14,15,4,10,2,13,5,9,39],[8,6,4,12,16,11,3,14,15,7,10,5,13,2,9,39],[10,2,6,13,14,12,5,15,16,3,9,4,11,7,8,39],[10,5,3,13,14,12,2,15,16,6,9,7,11,4,8,39],[9,2,7,13,15,11,5,14,16,4,10,3,12,6,8,39],[9,5,4,13,15,11,2,14,16,7,10,6,12,3,8,39]

merci

Bonsoir,

je suis absolument incapable de le prouver, mais je pense vraiment que c'est impossible!

On verra bien!

Merci et à +

Bonjour

Je propose la configuration suivante, avec une somme de 39 pour chaque ligne.

Merci pour cette énigme ! C'était

Bonjour,

Pas immédiate celle-là. ..

Il fallait que "les quinze hommes permutent leurs places de telle sorte que les neuf sommes soient égales" ;  sans autre précision cela signifiait implicitement "entre elles", sinon il aurait été préféré quelque chose du genre "identiques (ou égales) aux sommes trouvées précédemment".

Bravo à ceux qui ont trouvé et merci à tous.

Pour Tjaf.

Une prochaine fois, et si l'occasion se présente, essaie d'insérer l'image directement dans ta réponse. Jette un coup d'oeil à la FAQ,  ici (Q05) : [lien]

Merci.

bonsoir littleguy
j'ai rapatrié l'image de Tjaf dans son message

Bonjour,

Pour une fois ,je ris de mon poisson
J'ai lu  :"que les  9 sommes soient  égales".
Et je me suis embarqué  dans une recherche qui me donnerait les 9
sommes initiales....j'en ris encore