Bonjour,

En fait, l'erreur commise par les deux vendeuses est que le prix moyen d'un brin de muguet est supérieur lorsqu'elle vendent séparément. Donc, à quantité de muguet égale, la somme récoltée sera supérieure.

On calcule le prix moyen d'un brin de muguet en vendant séparément :
Mme Dupondé : 5 euros / 2 brins = 2,5 € / brin = x_d
Mme Duponté : 5 euros / 3 brins = 5/3 € / brin = x_t
Le prix moyen de l'ensemble des brins sera alors la moyenne de ces deux prix moyens, soit x_m = (x_d + x_t) / 2 puisque Mmes Dupondé et Duponté ont exactement la même quantité de muguet.
Prix moyen : x_m = ((5/2) + (5/3)) / 2 = 25/12 > 2

On calcule le prix moyen d'un brin de muguet lorsque la vente est commune :
Ensemble : 10 euros / 5 brins = 2 € / brin = y_m

Comme le prix moyen x_m est supérieur au prix moyen y_m, à quantité de muguet égale la somme récoltée avec une vente séparée est supérieur à celle récoltée avec une vente commune.

Merci pour l'énigme... euh je voulais dire pour le défi !

Ce que les deux dames ajoutent dans leur raisonnement, ce ne sont pas du brins de muguets, mais des lots de 2 et des lots de 3.
Leur raisonnement serait bon si chacune possédait le même nombre de lots.
x lots de 2 brins à 5 euros + x lots de 3 brins à 5 euros donne bien x lots de 5 brins à 10 euros.
Dans le cas de nos deux dames, Mme Dupondé a 60 lots de 2 brins et Mme Duponté n'en a que 40 lots à 3 brins.
Il est donc impossible de regrouper l'inégralité des brins de muguets sans modifier les lots existants.
Pour obtenir les 240/5 = 48 lots de 5 brins, on regroupe les 40 lots de Mme Duponté avec 40 des 60 lots de Mme Dupondé, ce qui donne bien 40 lots de 5 brins à 10 euros.
Les 20 lots de 2, restants à Mme Dupondé, soit 40 brins, doivent être regroupés en 8 lots de 5 brins, vendus 10/5= 2 euros le brin, au lieu du prix initial prévu, soit 5/2=2,5 euros le brin.
Mme Dupondé vend donc moins cher que prévu ses brins de muguet, en les regroupant avec ceux de Mme Duponté.

Bonjour,
d'après l'énoncé, la fleuriste comptait vendre 60 bouquets de 2 fleurs à 5€ chacun, et la coiffeuse 40 bouquets de 3 fleurs à 5€ chacun. Pourtant, on décidant de vendre des bouquets de 5 fleurs ensemble, elles n'ont pas remarqué (ou du moins la fleuriste n'a pa remarqué ) que ceci ne revenait au même au niveau du chiffre d'affaire que s'ils vendaient 40 bouquets ensemble. En effet, pour les 40 premiers bouquets, tout se passe comme prévu : 3 fleurs fournies par la coiffeuse et 2 par la fleuriste. Cependant, à ce moment là, le stock de fleurs de la coiffeuse est épuisé et les 5 fleurs de chaque bouquet ne sont fournies que par la fleuriste. Madame Dupondé et Madame Duponté avaient évidemment prévu qu'elles ne toucheraient pas la même somme sur les ventes, mais ici, étant donné que les bouquets de 5 fleurs sont vendus à 10€, la fleuriste ne vend plus 4 fleurs à 10€ mais 5 à ce prix. Après 40 bouquets vendus, elle offre inconsciemment 1 fleur pour 2 bouquets de 2 fleurs achetés au prix de base prévu, c'est-à-dire 10€ les 4 fleurs. Les fleurs "offertes" sont au nombre de 8, et l'empêchent donc de faire 4 derniers bouquets de 2 fleurs prévus à la vente, d'où la différence de chiffre d'affaire.

Merci pour cette énigme très sympa ^^

On peut trouver une analogie avec une distance aller-retour à parcourir avec deux vitesses différentes. Et on a normalement appris que la vitesse moyenne n'est pas nécessairement égale à la moyenne des vitesses.

Elles auraient dù les vendres moin cher en ne faisant pas de  regroupemments ( en ne pas vandant 3 brins à 5 euro par exemple) lles auraient dù les vendres à la pièces.

En fait l'erreur commise par ces 2 femmes est que :

* en vendant leur muguet séparément; mme dupondé aurait vendu 60 lots de 2 brins
                                    mme dupondé aurait vendu 40 lots de 3 brins

* or en vendant leur muguet ensemble ; lorsque les 40 premiers lots auront été vendu; tous les muguets de mm duponté auront été vendu, ainsi il ne restera plus que les 20 derniers lots de 2 brindilles , soient 40 brins de muguet de mme dupondé.
Le problème est que ces 40 brins, mme dupondé ne peut plus les vendre par lot de 2 mais les vend par lot de 5!

donc sur ces 40 brins , elle gagnera : 8*10 = 80 euros (8 lots de 5 brins à 10 euros le lot); au lieu de 20*5=100 euros (20 lots de 2 brins à 5 euros le lot) ; d'oà les 20 euros manquant !!

Bonjour Minkus, je sens que tu vas t'amuser avec des questions ouvertes... bonjour la correction.

L'erreur fait par les deux vendeuses est de dire "120 brins à 5 euros les 2 et 120 brins à 5 euros les 3, ça fait bien 240 brins à 10 euros les 5."

Ce qui se traduirait en langage mathématique par
120*5/2 + 120*5/3 = (120+120)*10/5 ce calcul est erroné et revient à dire que 500 = 480.


En effet, si elles vendent séparément, elles vendront au prix moyen de 2,08 euros le brin car la moyenne de 5/2 et 5/3 ne fait pas 10/5 ou 2 euros le brin. mais :

5/2 + 5/3 = 15/6 + 10/6 = 25/6 qu'on divise par 2 pour obtenir 25/12 = 2,08 euros et non 2 euros.

Pour obtenir le vrai prix moyen, nous avont mis au même dénominateur les deux fractions, alors que les deux vendeuses avaient tout simplement additionné les numérateurs et les dénominateurs.



Autre possibilité d'eplication :
La fleuriste vend 60 bouquets à 5 euros pièce et la coiffeuse vend 40 bouquets à 5 euros piece. Imaginons qu'elles donnent chacune un bouquet et vendent l'ensemble 10 euros, au bout de 40 bouquets vendus, il restera à la fleuriste 20 bouquets de 2 brins (40 brins) qu'elle aurait vendus 20*5 = 100 euros si elle les vendait seule, alors que là, à 10 euros les 5 brins elle ne récoltera que 80 euros.

Merci pour l'énigme.

Quelle belle surprise pour mon retour sur l'îlr de constater que ce cher minkus est devenu poseur d'énigme ! Toutes mes félicitations.

Bon voici ma réponse :

L'erreur vient du fait qu'il  y a plus de bouquets de 2 brins chez Me Dupondé (60 bouquets) que de bouquets de 3 brins chez Me Duponté (40 bouquets).

Donc on ne peut associer à chaque bouquet de 2 brin à 5 Euros un bouquet de 3 brins à 5 Euros pour faire un bouquet à 5 brins à 10 Euros.

cela aurais pu marcher par exemple si Me Dupondé avais eu 96 brins et madame Duponté 144 brins, elles auraient alors pu vendre 48 bouquets de 5 brins à 10 Euros soit un gain de 480 Euros.

En fait initialement un brin de Me dupondé coûte 5/2 Euros = 2.5 Euros et un brins de Me Duponté coûte 5/3 Euros
Il aurait donc fallu faire la moyenne de ces deux coûts soit (5/2+5/3)/2=25/12
donc le bouquet de 5 brins aurait du être vendu au prix de (25/12)*5=125/1210,42 Euros

les deux dames auraient alors vendu 48 bouquets à ce prix, soit un gain de (125/12)*48=125*4=500

Bonjour à tous,

Bonjour Minkus, content de te répondre pour ce nouveau challenge.

Les deux vendeuses ont commis comme erreur le fait de tenir compte du nombre de brins qu'elles possédaient et qui était le même (120 brins chacune) pour calculer le prix final du bouquet de 5 brins d'ou la simple somme 5 + 5 = 10 euros , pensant fournir d'égale à égale le pot commun de bouquet.

En tenant compte du nombre de bouquet (puisque le prix se rapporte au bouquet et non au brin), Elles se seraient aperçues qu'elles n'en composeraient dans un premier temps que 40 à 10 euros (2 + 3 = 5 brins 5 + 5 = 10 euros), et qu'il resterait 40 brins chez Mme Dupondé (20 bouquets de 2 brins) et aucun chez Mme Duponté !
Mme Dupondé se serait alors rendu compte qu'avec ses 20 bouquets de 2 brins à 5 euros (soit 100 euros), elle n'avait pas intérêt à faire 8 bouquets de 5 brins à 10 euros (soit 80 euros) car elle perdrait... 20 euros !

Le principe mathématique a adopter ici est la somme pondérée : Pour faire 1 bouquet de 5 brins, elles fournissent chacune 2,5 brins mais pas pour la même somme puisque cela correspond à 5 euros x (2,5/2) pour Mme Dupondé contre 5 euros x (2,5/3) pour Mme Duponté.
Le prix du bouquet devrait être 5 euros x (2,5/2) + 5 euros x (2,5/3) = 125/12 10,42 euros (arrondi au centime supérieur).

Ce n'est effectivement pas un calcul très simple ni un prix très commercial !!

J'espère avoir été clair bien que peu succinct...

Merci et à bientôt, KiKo21.

Les deux vendeuses auraient vendu respectivement 60 et 40 lots à 5€ chaque, soit un total de 500 euros. Elles ont compté sur une valeur moyenne, qui ne tient pas compte du nombre différent de lots qu'elles auraient vendu, et qui ne pouvait s'appliquer que si les deux nombres de lots vendus étaient identiques.
D'où l'erreur...
Et voili voilà, merci pour l'énigme...

5 euros les 2 brins 5/2 euro pour 1 brin
5 euros les 3 brins 5/3 euro pour 1 brin

10 euro les 5 brins 10/5 euro pour 1 brin
10/5=2
[5/2+5/3]/2=25/12

Merci pour l'énigme.

Bonjour
La différence vient du fait qu'elles ont ajouté 2+3 alors qu'il ne le fallait pas
En effet, elles gagneront à deux 120/3+120/2=100; 100*5=500.
Or 120/3+120/2≠120/5+120/5.
Pour moi l'erreur vient donc du fait qu'elles auraient du calculer non pas avec des sommes mais avec des sommes des quotients.
Pourvu que je ne me sois pas trompé.

Quel sont les prix d'un muguet?
Première vendeuse:
Deuxième vendeuse:
  Le prix moyen du muguet doit donc être l'isobarycentre de ces deux prix, puisque les deux vendeuses ont le même nombre de muguets. Le calcul serait
  Or ce que les vendeuses font, c'est pour faire leur moyenne, et en trifouillant bien cette expression, on trouve qu'elle vaut .
  Les deux femmes ont donc calculé en fait la moyenne harmonique des deux prix, et il se trouve justement que la moyenne harmonique est inférieure à la moyenne "normale":
Démonstration pour a!=b
   (a-b)² > 0
<=> a²+b²-2ab > 0
<=> a²+b² > 2ab
<=>(a²+b²)/ab > 2
<=>(1+1+a/b+b/a)>4
<=>(a+b)*(1/a+1/b)>4
<=>(a+b)/2 > 2/(1/a+1/b)

la différence entre les deux moyennes vaut ici justement 1/12 soit 20/240 d'où les 20 euros perdus par les deux vendeuses.

Bonjour.
Mesdames Dupondé et té commettent 2 erreurs.
1. Factorisation.
xa + xb n'est pas égal à 2x(a+b)
2. Addition de fractions.
a/b + c/d n'est pas égal à (a+c)/(b+d)

Sur le problème :
5*120/2 + 5*120/3 n'est pas égal à 2*5*(120+120)/(2+3)

La vente commune aurait du être par exemple de 6.25 euro les 3 brins.
A+

Bonjour,

Je répondrai qu'elles ont fait une erreur entre moyenne arithmétique et moyenne pondérée.
Chaque brin de Madame Dupondé vaut 2,5€ le brin
Chaque brin de Madame Duponté vaut 5/3€ le brin
Si on prend 2 brins à Madame Dupondé et 3 brins à Madame Duponté, ça fait 5 brins à 10€. Ce système fonctionne pour les 40 premiers bouquets. Mais elles ont le même nombre de brins toutes les deux alors Madame Dupondé "solde" ses brins dans les 8 derniers bouquets (car Madame Duponté n'en a plus) et perd (2,5-5/3)*3 euros par bouquet soit (2,5-5/3)*3*8=20€ au final. En vendant leurs bouquets à 10 euros, elles se basent sur un prix moyen de 2 euros le brin or le prix moyen de leur brin est 2,08 :
[120*2,5+120*(5/3)]/240=500/240=25/12>24/12=2

C'est un peu une question de proportionalité.

Cela me fait penser au fermier avec ses poules (exemptées de grippe aviaire)
Il sait que 8 poules pondent 8 oeufs en 8 jours. Un collègue lui conseille de prévoir 12 kilos de grains pour nourrir 12 poules pendant 12 jours, et à ce régime 24 poules pondront 24 douzaines d'oeufs en 24 jours.
Combien faut-il de kilos de grains chaque jour, pour ses 24 poules, pour une douzaine d'oeufs ?

Celle-ci est d'un autre genre :
3 amis sont dans un bar branché, ils prennent chacun un cocktail, soit 25 euros pour les trois, ils décident de faire part égale et ils donnent à la serveuse chacun un billet de 10 euros, la serveuse garde 2 euros de pourboire pour elle, et leurs rends 1 euro à chacun, ils ont donc payé chacun 10 euross, moins 1 euro qu'on leurs rend, soit 9 euros chacun plus deux euros de pourboire...
3 x 9 = 27 euros
27 + 2 = 29 euros
Où est passé le dernier euro ???

Bonjour,

C'est un joli problème en effet. Pour voir l'erreur, il faut repérer à qui appartiennent les brins de muguet vendus :

Lorsqu'un client achète 5 brins à 10€, il en achète, sans le savoir, 2 pour 5€ à Mme Dupondé et 3 pour 5€ à Mme Duponté.
Du coup, Mme Duponté vend ses brins plus rapidement que Mme Dupondé.

Au bout de 40 ventes de 10 brins, Mme Duponté aura vendu la totalité de son muguet (120 brins), alors que Mme Dupondé n'en aura vendu que 80 brins.

Il reste alors à vendre 40 brins à 5€ les 2 brins à Mme Dupondé, au lieu de 10€ les 5.
Il y a donc une erreur de 40*5/2 - 40*10/5 = 20€.


Le calcul aurait dû être fait comme suit :
Mme Dupondé vend 5 brins pour 5*5/2=12,50€.
Mme Duponté vend 5 brins pour 5*5/3=25/3 €.
La moyenne est donc 5 brins pour €, et non 10€.

Bonjour,

Les vendeuses ont eu tort d'ajouter les prix et le nombre des muguets : il ne faut pas faire

     5 euros => 2 brins
   + 5 euros => 3 brins
   ____________________

    10 euros => 5 brins

car un tel raisonnement est faux, car 5/2 + 5/3 est différent de 10/5.!

Il faut donc calculer le prix de cinq brins pour chaque vendeuse et additionner le tout.
1ère vendeuse : 1 brin = 5/2 euros
2ème vendeuse : 1 brin = 5/3 euros
prix en commun pour un brin = 25/12 euros
prix en commun pour cinq brins = 125/12 euros
Le prix en commun devait être non pas de 10 euros pour cinq brins mais de 125/1210,42 euros.

J'ai fini d'expliquer l'erreur commise par les deux vendeuses. En espérant qu'elles ne se tromperont plus,

Benoit

Bonjour,

Madame Dupondé vend ses brins 5€ les 2, soit au final 2€50 le brin.
Madame Duponté vend ses brins 5€ les 3, soit au final 1€67 le brin.

Lors de la mise en commun, elles décident de vendre leur muguet 10€ les 5 brins, soit 2€ le brin.

Lors de leur vente, elles ont accordé trop d'importance au prix de madame Duponté, en faisant une moyenne pondérée par le nombre de brins qu'elles mettaient dans chaque bouquet (3 et 2).

Or, si elles voulaient ne pas perdre leur argent, elles auraient du vendre le brin (2€50+1€67)/2, soit à peu près 2€09 le brin.
Elles auraient fait des bouquets de 5 brins pour 10€45 et n'auraient pas perdu d'argent.

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Le problème ici, est que les deux vendeuses ne proposent pas le même nombre d'objets. Ce n'est pas le nombre de brins de muguet vendus qu'il faut comparer, mais le nombre de bouquets. On en a d'un côté 60, de l'autre 40. En réorganisant les bouquet par lots de 5 brins, on n'a que 48 bouquets et non 50.

Il s'agit en fait d'une moyenne harmonique: 2/(1/60+1/40) = 2*40*60/(40+60) = 48

Même problème pour un aller retour en voiture entre deux villes distantes de 80 km. Vitesse aller: 100 km/h, vitesse retour: 80 km/h.
Mais la vitesse moyenne n'est pas 90 km/h!
En effet, temps aller = 80/100 = 0.8 h = 48 mn, temps retour = 1 h. Ce qui nous fait 1.8 h pour 160 km soit une vitesse moyenne de 160/1.8 = 88.888... km/h.

A moins que je ne réponde à côté... (très possible, çà)

A+,
gloubi

le problème vient du fait que ces deux charmantes dames ont le meme nombre de bouquets !!

En effet parmi les 5 brins mis en commun par lot 3 sont sensés provenir  de Madame Duponté et 2 de Madame Dupondé.

Par conséquent les 40 premiers lots seront composés de 3 brins venant de Madame Duponté et 2 de Madame Dupondé, mais les 8 suivants seront composés que de ceux provenant de Madame Dupondé.

Ainsi des brins de Madame Dupondé devant etre vendu en moyenne 2,5 € (2 brins pour 5 euros) seront vendus au cout moyen de 2€ (5 brins pour 10 euros). La recette sera ainsi réduite.

L'erreur vient du fait que si les deux voisines ont le même nombre de brins de muguet (120 chacune), elles n'ont pas le même nombre de bouquets ( 60 bouquets de 2 brins chez l'une et 40 bouquets de 3 brins chez l'autre).
Or,puisqu'elles ne pratiquent pas le même prix pour une unité, ce qu'elles devraient mettre en correspondance, c'est l'ensemble des bouquets de l'une avec l'ensemble des bouquets de l'autre,pour fabriquer un bouquet de 5 brins avec 2 brins à 5 euros(provenant de l'une) et 3 brins à 5 euros (venant de l'autre) qu'il est légitime de vendre à 10 euros, puis de partager en deux fois 5 euros entre les deux vendeuses.
Mais ces ensembles n'ayant pas le même nombre d'éléments ( 60 pour 40), cette correspondance n'est pas bijective: en associant les deux types de bouquets, on ne peut former que 40 bouquets de 5 brins.
Il reste alors 20 bouquets de 2 brins chez madame Dupondé, avec lesquels on peut faire 8 bouquets de 5 brins, mais le prix de ces 8 bouquets doit alors être calculé en fonction du tarif de madame Dupondé, soit 5 5/2 = 12,5 euros le bouquet.
Le principe mathématique à appliquer ici est d'établir une bijection entre deux ensembles finis, donc qui doivent avoir le même nombre d'éléments. Mais il y eu erreur sur le choix de ces ensembles: ensembles des brins de muguet de chacune ayant le même nombre d'éléments, entre lesquels on peut établir une bijection (mais qui ne conviennent pas) et ensembles des bouquets qui eux n'ont pas le même nombre d'éléments et entre lesquels on ne peut pas établir une bijection (mais qui devraient être utilisés).

Bonsoir,

L'erreur des deux vendeuses réside évidemment dans cette phrase : "120 brins à 5 euros les 2 et 120 brins à 5 euros les 3, ça fait bien 240 brins à 10 euros les 5".

L'addition proposée n'a en effet aucun sens !
Soit on raisonne par brins, soit on raisonne par bouquet
mais certainement pas l'affreux (mais astucieux) mélange des deux...
En raisonnant par brin:
120 brins à 5 euros les 2, font 120 brins à 2,5€ pièce.
120 brins à 5 euros les 3, font 120 brins à € pièce.
On obtient bien ainsi 240 brins, coûtant € pièce (via la moyenne) (et non 2€ pièce contenu dans la phrase 10 euros les 5).
(Vérif : )
En raisonnant par bouquet:
120 brins à 5 euros les 2, font 60 bouquets B2 (de 2) à 5€.
120 brins à 5 euros les 3, font 40 bouquets B3 (de 3) à 5€.
Les bouquets n'étant pas identiques, on peut additionner 40 bouquets B2 et 40 bouquets B3, pour obtenir effectivement 40 bouquets à 10€ les 5 (d'un montant total de 400€ )
Mais il reste 20 bouquets B2, soit € et si on veut à partir de ce type de bouquet composer des bouquets de 5 alors que 40 brins font 8 bouquets de 5 soit 80€ et on retrouve l'erreur annoncée.

J'espère avoir correctement expliqué l'erreur, mais ce qui m'embête c'est : "par exemple en citant et expliquant le principe mathématique caché derrière ce paradoxe apparent, ou aussi en evoquant d'autres situations identiques".
D'une part je suis pratiquement sûr de ne jamais avoir croisé ce "paradoxe" auparavant ou alors il est vraiment très très bien emballé .
D'autre part, j'ai bien du mal à citer le principre mathématique caché ... ça me fait penser à des moyennes pondérées _{(assez évident dans le raisonnement par brin, moins dans ma façon de raisonner par bouquet mais présent quand même)}.

J'espère avoir été assez clair et précis sans pouvoir évoquer d'autres situations identiques !

Merci pour cette première énigme, minkus, effectivement annonciatrice d'un "joli mois de mai".

Salut,

Ces fleuristes calculent le prix d'un lot de 5 brins de muguet en considérant qu'elles mettent en commun un lot de 2 brins de Mme Dupondé et un lot de 3 brins de Mme Duponté. Un tel lot a bien une valeur de 10 euros = 5 Euros pour le lot de Mme Dupondé + 5 Euros pour le lot de Mme Duponté.

L'erreur commise est qu'elles ont omis le fait qu'elles n'ont pas le même nombre de lots à vendre. Mme Dupondé possède 60 lots de 2 brins à 5 euros le lot. Mme Dupondé possède 40 lots de 3 brins à 5 Euros le lot. Il n'est donc pas possible de constituer plus que 40 lots de 5 brins à 10 Euros, chaque lot étant une paire d'un lot de chez l'une et d'un lot de chez l'autre. Ces 40 lots vendus Mme Duponté aura épuisé ses stocks et il restera 20 lots de 2 brins de Mme Dupondé. Ces 20 lots ont une valeur de 100 Euros, mais les deux fleuristes les répartissent en 8 lots de 5 brins et les vendent pour 80 Euros seulement... On retrouve le déficit de 20 Euros (= 100 - 80 Euros).

Comme les 240 brins se présentent séparément, et que les deux fleuristes les mettent tous en commun, elles ne se rendent pas compte de leur erreur sur le moment.

Pour calculer de façon juste le prix d'un lot de 5 brins, il aurait fallu considérer que chaque fleuriste amène 2.5 brins par lot. Les brins de Mme Dupondé ont une valeur marchande de Euros le brin, ceux de Mme Duponté une valeur de Euros le brin, le juste prix d'un lot de 5 brins est donc de : Euros.

Voilà j'espère que c'est suffisamment clair et précis !

A++

Bonsoir, et merci à Minkus pour ce joli défi!

la moyenne de 5€ les 2 et 5€ les 3 donneraient non pas 10€ les 5 mais:

(5/2 + 5/3)/2 soit (15/6 + 10/6)/2 soit (25/6)/2 soit 12.5€ les 6. A ce tarif, les dupontés auraient encaissé 500 € les 240.

Elles ont vulgairement additionnés 2 fractions comme les collégiens peu studieux, en additionnant les numérateurs d'une part, et les dénominateur de l'autre.

Cela me fait pensé à l'erreur tout aussi grossière de confondre la moyenne des temps et celle des vitesses, car comme vous le savez surement:

Rouler une chemin aller à 10 m/s et le retour à 20 m/s ne signifient pas que la vitesse moyenne est de 15 m/s

En effet, pour une distance x, l'aller se fait en x/10 s.
De même, le retour se fait en x/20 s.

soit pour une distance 2x, le temps est de (x/10 + x/20)soit 3x/20, et donc la vitesse moyenne est de :

2x / (3x/20) soit 40x/3x soit 13.33m/s

Pour moi, c'est du même accabi!

Merci, et à bientôt!

"120 brins à 5 euros les 2 et 120 brins à 5 euros les 3, ça fait bien 240 brins à 10 euros les 5."

et non, vendre 1 brin à 5/2 euros + 1 brin à 5/3 euros, c'est vendre 2 brins au prix moyen, c'est à dire (5/2+5/3)/2 soit environ 2,08 euros, ce n'est pas 2 euros.

Courage, la correction risque d'être délicate !

Bonjour,

Explication proposée :
Le total de départ est : 5 x 120 / 2 + 5 x 120 / 3 = 500.

Plutôt que de factoriser (mettre en facteur commun 5 x 120), Mmes DuponDTé ont additionné chaque élément de l'opération.

Leur résultat en mettant en commun les brins de muguet aurait dû être :
5 x 120 x (1/2 + 1/3) = 500
Et non
(5x2) x (120x2) / (2+3) = 480.

Merci pour cette énigme.

10 euros les 5 brins représentent 48 bouquets soit 480 euros
5 euros les 2 brins représentent 60 bouquets + 5 euros les 3 brins représentent 40 bouquets soit en tout 100 bouquets. Et 100 bouquets à 5 euros ça fait 500 euros!

Je sais pas si c'est très claire mais bon...

a/b + c/d n'est pas égal a (a+c)/(b+d) mais a (ad+cb)/bd
en espérent que cette réponse ne soit pas tros incompréhensible a mon habitude merci pour l'énigme
en espérent également ,e pas avoir commis d'erreure

Bonjour à tous,

Afin d'éviter les répétitions, je nomme "vente séparée" la première intention des deux dames, et "vente commune", celle  réellement effectuée.

La substance de l'énoncé sous-entend que tous les éléments de la vente séparée doivent apparaître dans la vente commune.

Retenons aussi qu'en première analyse, les prix unitaires des brins de muguet étaient respectivement fixés à 5/2 = 2,5 € chez Mme Dupondé et à 5/3 = 1,6666 ... € chez Mme Duponté.

L'accord passé entre ces dames étaient valables sur 2 points, à savoir regrouper les 120 brins de chacune dans une seule caisse pour une vente commune de 240 brins, et procéder à une vente commune avec des bouquets de 5 brins.

L'erreur commise par ces dames se situe dans le calcul du prix d'un bouquet de 5 brins. Le principe énoncé au deuxième alinéa ci-dessus n'a pas été respecté, comme on le verra ci-après.

Partant du fait que  les dames ont mis chacune le même nombre de brins - soit 120 - dans la caisse commune, on peut considérer dans l'absolu que chaque fois que l'on sort deux brins de cette dernière, l'un émane de Mme Dupondé et l'autre de Mme Duponté. Et en respectant le même principe énoncé, le premier brin doit être vendu au prix de 2,50 € et l'autre au prix de 1,6666...€, soit 4,1666...€ pour les deux, soit un prix unitaire de 4,16666/2 = 2,0833...€. Or, la vente a été faite au prix unitaire erroné de 10/5 = 2 €

Au prix unitaire correct, la vente aurait dû rapporter 240 X 2,0833.. € = 499, 992 €, arrondi à 500 €, soit la recette de la vente séparée initialement prévue.

Essai d'explication du paradoxe: l'erreur commise est due au fait que le principe mathématique de la règle de trois  n'a pas été respecté pour fixer le prix lors de la vente commune. La règle de trois suppose le passage obligatoire par l'unité. Le principe de la règle de trois doit être appliqué chaque fois que l'on transpose une valeur d'un contexte à un autre. Cela n'a pas été fait en l'occurrence.

Je m'en remets à la décision du professeur Minkus , et saisis l'occasion pour lui prodiguer mes encouragements dans ses nouvelles fonctions sur l'Ile.

atomium.

          


  

Ce paradoxe s'appelle le paradoxe de Simpson
Il apparait lorsque l'on traite deux ensembles, une fois séparément et une fois de ensemble. Les résultats obtenus ne sont pas les memes de ces deux façons, ce qui peut paraitre paradoxal.

Pour que nos deux amies aient gagné auatnt en vendant les fleurs ensemble que séparément, il aurait falu qu'elles calculent la somme qu'elle auraient gagné en les vendant séparément, c'est à dire 500€, et la diviser par le nombre brins pour obtenir le prix par brin:  500/240=2.083333 (approximatif)
Puis le multiplier par le nombre de brins par bouquet pour obtenir le prix par bouquet: dans le cas d'un bouquet à 5 brins: 10.4166667 (approximatif)
Le résultat ne tombe pas sur un nombre fini, il ne reste plus qu'à ces deux dames de se mettre d'accord sur le prix des bouquets.

Bonsoir

Je vais essayer d'être clair
*
La 1ère vendeuse a 60 bouquets  à  5 € le bouquet de 2 brins
La 2ème  a 40 bouquets à 5€ le bouquet  de 3 brins
En mettant les 40 bouquets de la 1ère avec les 40 bouquets de la 2ème à 10 € le bouquet de 5 brins  (dont le total = 400€)
Il reste donc 20 bouquets (de 2 brins) qui initialement  était vendu à  5€ les 2 brins  ( soit  au total 100€) mais  les 40 brins sont  maintenant vendu à 10€ les 5 brins (soit au total 80 €) c-à-d  20 € en moins
En fait il faut prendre un 5ème brin qui initialement se vendait 2,5€ pour former le bouquet de 5 et cela 8 fois puiqu'il y en a 40 soit une perte de 2,5*8 = 20 €
*
D'ailleurs
120 brins à 5 € les 2 et 120 brins à 5 € les 3, ça fait bien 240 brins à 10 € les 5 => 240 brins à 10*12/5 les 12 => 24 € les 12
NON
120 brins à 5 € les 2 et 120 brins à 5 €les 3  => 120 brins à 15 € les 6 et  120 brins à 10 € les 6  =>240 brins à 25  €les 12
Il faut prendre le p.p.c.m de  2 et  de 3 soit 6
d'où une différence de 1 € pour 12 => une différence de 20 € pour 240
*
En espérant que ceci est suffisant pour ne pas avoir de
*
Bon courage pour la correction
A+

5 euros les 2 d'un côté et 5 euros les 3 de l'autre, ça fait bien 10 euros les 5, mais à condition de prendre 2 brins de muguets dans la caisse de Mme Dupondé et 3 brins dans la caisse de Mme Duponté qui en comportent toutes deux 120.

Or, en faisant ainsi, Mme Duponté aura fini sa caisse plus vite que Mme Dupondé. Ce qu'il restera alors dans la caisse de Mme Dupondé vaudra 5 euros les 2 brins et non 10 euros les 5.

La différence vient de là : après 40 lots de 10, il ne reste plus rien dans la caisse de Mme Duponté, et il reste 40 brins dans celle Mme Dupondé. Vendus 10 euros les 5, ils valent 80 euros alors qu'à 5 euros les 2, ils auraient valu 100 euros.

120 brins à 5 euros les 2 et 120 brins à 5 euros les 3, ça fait bien 240 brins à 10 euros les 5.  
Cette affirmation est fausse.

     (5/2)+(5/3) 10/5

La somme de deux fractions n'est pas égale à la somme des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs.

Bonjour

Pour qu'elles aient la même recette, in fine, il aurait fallu qu'elles confectionnent 50 bouquets au lieu de 48 (car 200+300=500€ divisé par 10 € le bouquet fournit 50 bouquets)

Examinons ce que représentent les nombres 50 et 48 vis à vis du nombre de bouquets :

D : 60
T : 40

Nombre de bouquets moyen, au sens arithmétique : (D+T)/2 = (60+40)/2 = 50

Nombre de bouquets moyen, au sens harmonique : 2/(1/D+1/T) =2/(1/60+1/40) = 48

La moyenne harmonique est inférieure ou égale à la moyenne arithmétique => la recette harmonique sera donc inférieure à la recette arithmétique telle que l'imaginait les deux artisanes.
Le seul cas où ces moyennes puissent être égales serait le cas où le nombre de bouquets soit identique.

----------------

Un autre exemple classique est celui des vitesses moyennes sur un parcours aller et retour :

Soit minkus qui, le matin, part en vélo de la vallée pour se rendre au sommet de la montagne à la vitesse constante de 15 km/h.
Le soir, il redescend vers la vallée par la même route à la vitesse constante de 45 km/h.

La vitesse moyenne sur les deux trajets n'est pas la moyenne arithmétique sur les deux trajets, soit (15+45)/2 = 30 km/h.

La vitesse moyenne sur les deux trajets est bien la moyenne harmonique, soit 2/(1/15+1/45) = 22,5 km/h.

Démontrons-le :
Soit D la distance de montée et de descente, t1 et v1 puis t2 et v2 les temps et vitesses de montée et de descente; Enfin, soit V la vitesse moyenne cherchée.

On a les relations suivantes :

sur l'aller : D = v1t1 => t1 = D/v1

sur le retour : D = v2t2 => t2 = D/v2

sur l'aller et retour : (2D) = V(t1+t2) = V(D/v1 + D/v2) => V = (2D)/( D/v1 + D/ v2 )

V = 2/( 1/v1 + 1/v2 ) n'est pas égale à  (v1+v2)/2

Ces deux valeurs ne sont égales que si v1=v2 (mais je connais minkus, monter la cote à 45 km/h, il n'y parvient plus depuis qu'il a arrêté l'EPO, et la descendre à 15 km/h échauffe trop ses freins...)

-----------------

Merci pour cette énigme qui a dû plaire à Estelle (à moins qu'elle en ait été interdite...)

Philoux

Merci à tous de votre participation.

Je suis désolé pour la correction tardive, mais comme certains l'ont deviné, celle-ci ne fut pas aisée.
D'autre part, étant donné les exigences de clarté et de précision que je vous avais demandé d'associer à vos réponses, je juge que vous êtes tout à fait en droit d'exiger de moi une correction aussi détaillée et claire. Je vous la propose donc, dans sa version définitive.

Et puis si j'avais clôturé plus tôt, j'aurais raté la réponse de Philoux. C'eût été dommage car elle m'a bien fait rire.

Pour commencer, je tiens à préciser d'emblée quel était, pour moi, l'anguille cachée sous cette roche, anguille qui a essayé de me glisser entre les doigts tout au long de la semaine, mais qui, je l'espère, a fini par ne pas m'échapper.
Il s'agissait en fait au départ d'illustrer la différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique.

Pour ceux qui ne le sauraient pas, la moyenne harmonique h de 2 nombres a et b est telle que l'inverse de h est la moyenne arithmétique des inverses de a et de b. Autrement dit on a 1/h = (1/a + 1/b)/2 ou 2/h = 1/a + 1/b ou encore h = 2ab/(a+b).

Une situation, bien connue, illustrant cette moyenne est celle des vitesses.
120 kms parcourus à 20km/h puis 120 kms parcourus à 30 km/h ne donne pas une vitesse moyenne de 25 km/h (moyenne arithmétique de 20 et 30) mais une vitesse moyenne harmonique de 24 km/h avec  2*20*30/(20+30) = 24.
Autrement dit 120 kms à 20 kms/h (durée de 6h) et 120 kms à 30 kms/h (durée de 4h), ca ne fait pas 240 kms à 50 kms les 2 heures (durée de 9,6 h) comme auraient pu le penser Mesdames Dupondé et Duponté.

Mais revenons à nos muguets

Comme beaucoup l'ont calculé, les prix moyens (en vente séparée) sont de 5/2 pour Mme Dupondé et 5/3 pour Mme Duponté et la moyenne arithmétique de ces deux prix est bien (5/2 + 5/3) = 25/12.

Mais qu'en est-il de la moyenne harmonique des deux prix moyens ? Le calcul donne (2*5/2*5/3)/(5/2 + 5/3) = (25/3)/(25/6) = 2. Autrement dit le prix moyen harmonique est de 2 euros, soit 10 euros les 5 brins.

Comparons maintenant les deux situations. Pour les deux, « l'addition des cancres » donne un résultat erroné. Mais alors que dans le cas des vitesses, cette fausse addition correspond à la moyenne arithmétique des deux vitesses moyennes, on s'aperçoit que dans le cas des muguets cette fausse addition correspond à la moyenne harmonique des deux prix moyens. Bizarre, bizarre…

Hé bien en fait pas vraiment. Pour le comprendre, il suffit de réfléchir aux objets que l'on manipule. Une vitesse est, traditionnellement, la donnée d'une distance sur une certaine durée : v = d/t. Un prix, lui, est la donnée d'un certain nombre d'euros sur, par exemple, un certain nombre de brins : p = e/b. On peut alors remarquer que dans le cas des vitesses, l'inconnue du problème est le temps total qui se trouve être au dénominateur dans v = d/t. En revanche, dans le cas des brins, l'inconnue considérée est le nombre total d'euros, c'est-à-dire le numérateur de la formule du prix p = e/b.

Pour poursuivre mon raisonnement je vais définir ce que j'appellerai la « contre-vitesse ». Comme on l'a vu une vitesse est l'expression d'une distance sur une unité de temps qui permet de définir l'allure d'un objet en mouvement. Cependant, la donnée d'une certaine durée sur une unité de distance peut très bien aussi aider à apprécier l'allure de cet objet. C'est cette dernière donnée que j'appelle « contre-vitesse ». Autrement dit, au lieu de donner le nombre de kilomètres parcourus en une heure, on peut pourquoi pas, donner le nombre de minutes nécessaires  pour parcourir un kilomètre. Une vitesse de 20 kms par heure correspondrait ainsi à une « contre-vitesse » de 3 minutes par kilomètre, notée 3 mn/km. Si on reprend l'exemple précédent, on remarque que 120 kms à 3 mn/km et 120 kms à 2 mn/km font bien 240 kms à 5 mn les 2 kilomètres, soit 2,5 mn/km. Cette fois ci c'est donc bien la moyenne arithmétique qu'il faut utiliser car la moyenne harmonique de 2 et 3 donne 2,4 minutes au kilomètre qui donne un total de 9,6 heures au lieu de 10.

Autrement dit, la « contre-vitesse moyenne » est la moyenne arithmétique des « contre-vitesses ».

Essayons d'appliquer cette idée au problème du muguet en définissant de façon analogue le « contre-prix ». (Non je n'ai pas dit contrepèterie, ça n'a rien a voir…)

Lorsque l'on voit affiché « 5 euros les 2 brins », le réflexe est de calculer le « prix moyen », c'est-à-dire le nombre moyen d'euros pour 1 brin. Mais pourquoi ne pas utiliser le nombre moyen de brins obtenus pour 1 euro, ce que j'appelle le « contre-prix » ?  Cela ne donne t-il pas le même renseignement sur la valeur des brins ?
Dans ces conditions, « 5 euros les 2 brins » donne « 0,4 brin à l'euro » et « 5 euros les 3 brins » donne « 0,6 brin à l'euro ». Calculons alors la moyenne arithmétique de ces deux contre-prix. (0,4 + 0,6)/2 = 0,5 brin à l'euro. A ce contre-prix là, les deux vendeuses ne vont récolter que 480 euros. (240 brins à 0,5 brin pour 1 euro). En revanche, la moyenne harmonique des contre-prix donne un résultat de 0,48 brin à l'euro. Et 240 brins à 0,48 brin pour 1 euro permet bien de récolter 500 euros.

Conclusion : Le « contre-prix moyen » est la moyenne harmonique des contre-prix.

L'explication en est simple. En inversant la définition de vitesse, on fait passer la durée au numérateur alors qu'en inversant la notion de prix, on fait passer le nombre d'euros au dénominateur. On retrouve donc bien l'analyse ci-dessus : si l'inconnue qui nous intéresse est au numérateur, on utilise la moyenne arithmétique, si elle est au dénominateur c'est l'harmonique.

Examinons maintenant une autre situation que j'aurai pu proposer dans l'énigme elle-même.

« Monsieur Durandé a prévu d'acheter pour 120 euros de brins de muguets à 5 euros les 2. Monsieur Duranté veut acheter pour 120 euros de muguet à 5 euros les 3 brins. Et puis ils réfléchissent. Ils se disent que si Mmes Duponté et Dupondé sont désavantagées par la vente en commun c'est que le client, lui, doit être avantagé. D'un commun accord ils décident donc d'acheter pour 240 euros de brins à 10 euros les 5. »

Surprise ! Ces messieurs ne gagnent rien dans l'affaire. Tout seul, Monsieur Durandé aurait acheter 48 brins de muguet et Monsieur Duranté, de son côté, en aurait acheté 72. A eux deux, un total de 120 brins de muguet. D'autre part 240 euros dépensés à 10 euros les 5 brins permet d'acheter 120 brins (24*5). Le même total ! Autrement dit, ces messieurs n'ont pas acheté leur brin à la moyenne arithmétique des deux prix moyens (25/12) mais à leur moyenne harmonique (2), simplement parce que « l'inconnue » qui nous intéresse ici (le nombre de brins) est au dénominateur de la formule p=e/b du prix. Cette situation est identique au problème classique sur les vitesses évoqué au début.

C'est ici qu'on rentre dans le nœud du paradoxe. En effet, il semble que « 5 euros les 2 et 5 euros les 3 » puisse faire « 10 euros les 5 » si l'on s'intéresse, non pas au nombre d'euros, mais au nombre de brins. Par analogie, rouler à 20 km/h pendant 2 heures puis à 30 km/h pendant 2 heures revient bien à rouler à 25 km/h (moyenne arithmétique) pendant 4 heures.

Voilà, j'arrête ici mes élucubrations de peur de perdre le seul lecteur qui reste et qui a tout lu jusqu'ici.

Explication des attributions de smileys/poissons.


Peu de réponses parlaient effectivement de moyenne harmonique mais comme on peut le constater dans les différentes réponses données, il y avait d'autres moyens d'expliquer le paradoxe, notamment à l'aide des moyennes pondérées ou du fait qu'il aurait fallu que les nombres de lots (ou de bouquets) soient les mêmes, voire à l'aide des bijections (merci prof2). Je n'ai donc pas été trop exigeant et ai accepté plusieurs types de réponses.

En tout cas, il fallait au minimum indiquer que le problème venait du nombre de bouquets et j'ai donc refusé -comme je l'avais précisé- les réponses qui se contentent de calculer les deux « prix moyens » en disant que ce ne sont pas les mêmes. (Vince 909, Livia_C, fiston, hervé, michelD...
Ou alors il aurait fallu expliquer pourquoi le prix moyen est bien la moyenne arithmétique contrairement à la situation des vitesses.

Je n'ai pas accepté non plus les réponses qui se contentent de dire que 5/2 + 5/3 est différent de 10/5, car si cette information n'est pas utilisée avec les nombres de brins, elle n'empêche pas que « 5 euros les 2 et 5 euros les 3 puisse faire 10 euros les 5 » comme je l'ai expliqué au-dessus.

Enfin, quelques cas individuels :

Jacques1313 :

Nonobstant la brièveté de ta réponse, je l'aurais acceptée si tu avais précisé « arithmétique » après le deuxième « moyenne ». Telle quelle ta phrase est fausse car la vitesse moyenne est bien la moyenne harmonique des deux vitesses.

Kimented :

Après quelques recherches, je ne suis pas sûr que ce problème ait un quelconque rapport avec le paradoxe de Simpson qui, pour moi, ne concerne pas toutes les situations où 2 choses sont traitées séparément puis ensemble. Je me trompe peut-être…

Pour finir et être complet, voici une autre situation similaire :

Un maçon construit un mur en 20 minutes alors qu'un autre a besoin de 30 minutes. Combien de temps leur faudra-t-il pour construire 2 murs ensemble. Ici encore un faux raisonnement donne 25 minutes, moyenne arithmétique de 20 et 30 alors qu'en fait 24 minutes suffiront. Sans parler de moyenne harmonique, la correction de ce genre de problèmes est souvent la suivante : En 1 minute, le premier construit 1/20 de mur et le second 1/30 de mur. A eux deux, en 1 minute ils construiront 1/20 + 1/30 soit 1/12 de mur. Il leur faudra donc 24 minutes pour construire les 2 murs. Ici, la différence est un peu plus subtile puisque les maçons travaillent en même temps sur le même mur et non l'un après l'autre.

Comme le dit Atomium, le passage à l'unité est important.

Voilà. J'espère avoir été cohérent dans la correction et les explications.

minkus

Ah, ces moyennes...

Comme l'avait supposé philoux, cette énigme m'a plu .

Merci minkus.

Estelle

Salut Estelle,

J'aurais souhaite que tu participes

En tout cas, félicitations minkus pour la réponse détaillée et les explications sur la notation : c'est du beau travail

J'aurais souhaité participer aussi, mais je n'étais pas chez moi, et je n'ai pas eu le temps nécessaire pour y réfléchir.

Estelle

Evariste => même erreur que moi !

Bonsoir,

J'ai un poisson... donc bien sûr une déception.

Je reconaais tout d'abord que c'était courageur de la part de Minkus de proposer une énigme nécessitant non pas une réponse précise, mais de explications. Quel boulot ! Et vu le détail de la correction, chapeau pour sa première enigme corrigée.

MAis il faut quand même que j'évoque ma frustration. Une énigme à 1 étoile (on a vu il y a quelque temps qu'il valait mieux rechercher une réponse basique, certains ont encore en mémoire quelques trapèzes douloureux) ne me semblait pas devoir nécessiter un grand développement. Toujours est-il que les années d'études étaient il y a trop longtemps pour songer à retrouver des histoires de moyennes arithmétiques ou harmoniques. Alors j'ai cherché une explication simple, qui ne me parait pas fausse pourtant.

Bref cette énigme n'était peut-être pas faite pour moi...

Itou !!!