Le plus petit entier dont le carré se termine par 321, est 111 (dont le carré est 12321).
Par contre, il est impossible de trouver un nombre entier dont le carré se termine par 06, et donc à plus forte raison par 2006.

Quel est le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 ?
111

par 2006 ?

n'existe pas


voila, je vais surment me prendre un poisson

Bonjour, ma réponse est :

111 pour un carré 12321
pour 2006, c'est impossible!

Voici le programme


Sub carré()


For a = 1000 To 1000000 Step 1000

Line1:

b = a + 321
c = Sqr(b)

If c = Int(c) Then GoTo Line2

Next a

Line2:
a = MsgBox("le carré est " & b, vbOKOnly, "carré finnissant par 321")

End Sub

Merci et à bientôt

Le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est 111 : 111² = 12321
Il n'y a pas d'entier positif dont le carré se termine par 2006.

Bonjour,

Pour 321, on doit chercher un nombre n impair, tel que n²=1000m+321.
En posant n=1000k+100a+10b+c où a,b,c sont des chiffres et k un entier, on obtient : n²=1000l+100(2ac+b²)+10(2bc)+c²
On montre alors que:
c=1 ou 9 puis b=1,3,6 ou 8 et a=1,3,6 ou 8.
Le premier cas a=b=c=1 convient avec k=0 on obtient ainsi n= (le carré vaut 12321).

Pour 2006, on doit chercher un nombre n pair, tel que n²=10000m+2006.
Or, en posant n=2k, on a n²=(2k)²=4k²=10000m+2006
10000m est divisible par 4 _(2500m) mais 2006 ne l'est pas _(501,5), donc pour 2006, le problème est .

Merci pour l'énigme.

Bonjour, le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est 111.

pour 2006, c'est impossible.

Merci pour l'énigme

111 est le plus petit entier dont le carré se termine par 321.
Il n'y a pas de nombre dont le carré se termine par 2006. Tous les carrés qui se terminent par 6 ont pour chiffre des dizaines un chiffre impair

Bonjour
Le plus petit nombre dont le carré se termine par 321 est

Par contre pour que le carré d'un nombre se termine par 6 , le nombre doit nécessairement se terminer par 4 ou 6 et les nombres se terminant par 4 ou 6 ont un carré se terminant par 16, 36, 56, 76, ou 96 mais jamais par 06 ; donc
il n'existe pas de nombre dont le carré se termine par 2006
*
Depuis que notre copain minkus est entré dans l'arène il n'y  a plus de répit.
A+

Salut,

Pour le carré se terminant 321, le plus petit entier est 111 (111^2=12321)
Pour le carré se terminant par 2006, il n'y en a pas, en fait il n'existe aucun entier dont le carré se termine par 06.

A++

Bonjour,
Le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est


Il n'existe pas de carré se terminant par 06 , donc aucun se terminant par 2006.

le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est 111 avec 111²=12321

par contre il n'existe pas d'entier dont le carré finisse par 2006.

Salut: je trouve 111 pour le plus petit entier naturel dont le carré se termine par 321, tout bêtement en examinant une table de valeurs des fonctions f et g définies sur par: f(x) = (10x +1)² et g(x) = (10x +9)², ce qui est peu glorieux, mais comme la solution apparaît rapidement, ça décourage le raisonnement.
Pour l'autre cas, il me semble qu'il n'existe aucun entier naturel dont le carré se termine par 2006:
si un tel entier n existe, alors son chiffre des unités est nécessairement 4 ou 6, en essayant toutes les possibilités pour le chiffre des dizaines, on ne trouve jamais 0 comme chiffre des dizaines de n².(méthode pas bien élégante non plus).
Merci à tous ceux qui nous proposent ces énigmes, que trouver de plus agréable que de se casser la tête sur des maths?

Bonjour,

Le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est puisque 111² = 12 321

Le plus petit entier positif dont le carré se termine par 2006 est car il doit à la fois terminé par 4 ou 6,
mais dans les deux cas, la première retenue est impaire (1 car 4.4 = 16 ou 3 car 6.6 = 36)
et ne permet pas en l'additionnant à 2.(4.x) ou bien à 2.(6.x)
d'obtenir un 0 à la place des dizaines du carré,
x étant le chiffre des dizaines de l'entier cherché.
On peut même dire qu'il n'y a aucun entier dont le carré termine par 06

En espérant ne pas m'être trompé (coup classique sur les énigmes à 1 *)

Merci et à bientôt, KiKo21.

Le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est 111
avec 111²=12321

Je ne pense pas qu'il existe de nombre entier dont le carré se termine par 2006

par321: 111.
par 2006:impossible

Merci
a+

Salut,

Je pense que le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est 111 (111² = 12321) ...
Cependant, le deuxième cas est apparemment impossible.

Espérons que ce ne soit pas un :s

@ + et merci pour l'énigme

le plus petit entier dont le carré se termine par 321 est 111.
Pour 2006 il n'est pas possible de trouver un entier dont le carré se termine par 2006.
Amicalement ireeti.

le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est:
12321

par contre il n'existe pas d'entier positif dont le carré se termine par 2006.
preuve:
supposons que ce nombre existe, notons le n=...dcba(i.e. a est le chiffre des unités, b celui des dizaines etc)
alors a= 4 ou a= 6 pour que le carré de n se termine par 6.

1er cas: a=6
alors on a    ...bcd6
             *...bcd6
             =...2006
ainsi on a en posant l'opération:
6*d+3+6*d est un multiple de 10
donc 12d+3 est un multiple de 10.
ce qui est impossible car 12 et 10 sont pair et 3 est impair
donc ce cas est impossible

2eme cas: a=4
alors on a    ...bcd4
             *...bcd4
             =...2006
ainsi on a en posant l'opération:
4*d+1+4*d est un multiple de 10
donc 8d+1 est un multiple de 10.
ce qui est impossible car 8 et 10 sont pair et 1 est impair
donc ce cas est impossible

On en déduit que il n'existe pas d'entier positif dont le carré se termine par 2006

Le plus petit nombre ayant un carré se terminant par 321 est 111:
111*111=12321
Je n'ai pas trouvé de nombre dont le carré se termine par 2006, je penses qu'il n'en existe pas

Bonjour.
Pour 321 je propose 111.
Pour 2006, je ne propose rien !
A+

Bonjour,

Pour moi, le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est 111 (dont le carré est 123321).

Par contre, il n'existe pas d'entier positif dont le carré se termine par 2006 : ce cas est donc impossible.

Merci pour le challenge

pour 321: c'est 139
pour 2006 il y en a pas

111 au carré donne 12321

c'est pas possible pour 2006

Salam,
Pour ..321, le plus petit nombre est 12321 (Tiens ! La symétrie !).
Pour ..2006, un carré ne peut être congru qu'à 0 ou 1 modulo 4. Or, un nombre se terminant par 2006 est congru à 2 [4]. Ce qui explique l'impossibilité d'avoir un carré parfait se terminant par 2006.

Bonjour,

Pour le nombre se finissant par 321, la réponse est 111.

En revanche, pour le nombre se finissant par 2006, il n'y a pas de réponse.

En effet, si mon nombre x² se finit par un 6, alors x se finit par un 4 ou un 6.

En appelant par a le chiffre des dizaines de x, on obtient comme condition que 8a+1 est un multiple de 10, chose impossible avec a entier, ou alors que 12a+3 est un multiple de 10, tout aussi impossible.

Voilà, en espérant que j'ai bon...

A bientôt, merci pour l'énigme.

...
Quand je dit que le plus petit carré se terminant par un 321 est 12321, je sousentends que le plus petit entier positif dont il est le carré est bien 111.
On sait jamais , salam.

Bonjour, je dirais que le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est 111 et qu'il n'y a aucun entier dont le carré se termine par 2006.

Salut ...

Le plus petit entier n positif dont le carré se termine par 321 est 111 .
Pour le prouver, il suffit d'écrire n en base 10, d'élever son développement décimal au carré et d'identifier les coefficient de ce dernier en 10^0, 10^1 et 10^2 à 1, 2, 3

Par contre il n'existe pas d'entier dont le carré se termine par 2006
En effet si il existe n entier naturel tel que n^2 se termine par 2006 alors n^2 est multiple de 2 donc n l'est aussi
Donc n = 2k
Donc 4k^2 = 2006 mod(10000)
Donc il existe un entier u tel que :
4(k^2 - 2500) = 2006
Donc 4 divise 2006 ... ce qui n'est pas le cas ...

Merci pour l'enigme ...

Matouille2b

Pour 321: je trouve 111 car 111^2 = 12321
Pour 2006: ce n'est pas possible.
En effet, pour i allant de 1 à 9999 on ne trouve rien qui corresponde, et comme:
(10000+i)^2=10000*x+i^2 avec x un certain nombre entier dépendant de i, si le carré d'un nombre se termine par 2006 c'est que le carré du nombre formé des 4 derniers chiffres se termine aussi par 2006.

Ah mince, j'aurais pu faire plus court, car il n'y a pas de nombre de 2 chiffres dont le carré se termine par 06, ça aurait été plus rapide.

Si vous voulez une énigme de ce genre mais un peu plus rigolote:

Est-ce qu'il existe un puissance de 2 commençant par 123456789 ? Si oui, pouvez-vous donner un majorant de l'exposant de 2 correspondant, en expliquant?
Si vous êtes intéressés...

Bonjour à tous,

le plus petit nombre dont le carré finit par 321 est 111 (d'ailleurs x²=321 mod 1000 est équivalent à x=111 mod 1000)

il n'y a aucun nombre dont le carré finit par 2006

bret

Bonjour,

Le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est 111.
Pour 2006: pas de solution.

A+,
gloubi

Bonjour,

Ma proposition est :

Le plus petit nombre dont le carré se termine par 321 est : 111.
Le plus petit nombre X dont le carré se termine par 2006 est : problème impossible.

En effet, cherchons un X qui convienne.
X se termine obligatoirement par 4 ou 6.

1er cas : Cherchons a entier tel que : X = 10a + 4, sachant que l'on a aussi : X² = 10000 Y + 2006
X² = 100a² + 80a + 16 = 10000 Y + 2006.
10 a² + 8 a = 1000 Y + 199.
Pour que l'égalité soit respectée, il faut que 8a se termine par 9, ce qui est impossible, car 8a est pair.

2ème cas : Cherchons a entier tel que : X = 10a + 6, sachant que l'on a aussi : X² = 10000 Y + 2006
X² = 100a² + 120a + 36 = 10000 Y + 2006.
10 a² + 12 a = 1000 Y + 197
Pour que l'égalité soit respectée, il faut que 12a se termine par 7, ce qui est impossible, car 12a est pair.

Merci pour cette énigme.

111 pour la fin en 321
impossible pour la fin en 2006

Bonjour à tous,

1. Le plus petit nombre entier dont le carré se termine par 321 est 111. Nous avons ainsi (111)² = 12321.

2. Il n'existe, par ailleurs, aucun nombre entier dont le carré se termine 2006.  Un nombre a un carré qui se termine par 6 ssi le chiffre des unités de ce nombre est 4 ou 6.
Considérons un nombre dont le chiffre des unités est 4 ou 6;   considérons pour ce même nombre un chiffre des dizaines se situant entre 0 et 9 (donc toutes les possibilités), le carré de ce nombre n'aura jamais zéro comme chiffre des dizaines.

Les exemples suivants le montrent:

(...04)² = ...16;
(...14)² = ...96;
(...24)² = ...76;
(...34)² = ...56;
(...44)² = ...36;
(...54)² = ...16;
(...64)² = ...96;
(...74)² = ...76;
(...84)² = ...56;
(...94)² = ...36.

(...06)² = ...36;
(...16)² = ...56;
(...26)² = ...76;
(...36)² = ...96;
(...46)² = ...16;
(...56)² = ...36;
(...66)² = ...56;
(...76)² = ...76;
(...86)² = ...96;
(...96)² = ...16.

Le chiffre zéro n'apparaît jamais comme chiffre des dizaines dans les différents carrés ci-dessus. Donc 2006, dont le chiffre des dizaines est zéro, ne terminera jamais le carré d'un nombre.

atomium.

  

On a 111^2=12321.
Pour 2006, c'est impossible, car un carré pair est divisible par 4, mais un nombre n'est divisible par 4 que si ses deux derniers chiffres le sont (ici 6)

Bonjour à tous,

le plus petit entier positif qui élevé au carré se termine par 321 est : 111
Par contre j'ai fait tourné mon programme jusqu'à 1 000 000 000 et pas de solution pour 2006, donc je vais dire qu'il n'a pas de solution pour 2006 (super la démonstration...) .
@+

le plus petit entier positif qui finit par 321 est 111
il n'y a pas d'entier positif dont le carré finit par 2006

Bonsoir,

Ah ce cher Python...

Bonjour,
Le plus petit entier positif dont le carré se termine par 321 est 111.
Pour 2006, n'est pas possible.
Merci pour l'énigme.

Le plus petit nombre dont le carré se termine par 321 est 111, dont le carré est 12321.
Aucun carré ne se termine par 2006 : si un tel carré existait, il devrait être soit impair, soit divisible par 4 selon que sa racine carrée serait impaire ou paire; or un nombre terminé par 06 n'est ni l'un ni l'autre : le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 2 mais non par 4.

111²=12321
impossible pour 2006

en espérant que ce soit correct, première énigme que je fais...

Merci à tous de votre participation.

Benoît, je ne ris pas, car j'ai failli faire la même erreur que toi, j'ai lu 123 au lieu de 321, et j'ai failli poster que de tels carrés n'existent pas. Dommage, mais l'image est jolie