Soit a_i les termes de la suite et n le nombre total de termes de cette suite.
On remarque que :
1. pour i>11 et i<n-2, a_i+a _i+1+a _i+2>+2 (en effet, on doit passer d'un somme de 11 termes strictement négative à une somme de 14 termes strictement supérieure à +1, car constituée de suite de 7 termes)
2. pour i>7 et i<n-3, a_i+a _i+1+a _i+2+a _i+3<-1 (en effet, on doit passer d'un somme de 7 termes strictement positive à une somme de 11 termes strictement négative).

On peut donc conclure, par différence, que pour i>10 et i<n-3, a_i<-4.
On a donc : a₁₁<-4, a₁₂<-4, a₁₃<-4, mais il est impossible que a₁₄ soit <-4, car contradictoire avec la première remarque.
Pour cela , il donc que 14n-2, donc n16.
Pour confirmer que la suite comporte 16 termes, il suffit d'en trouver une, en observant en outre que la suite était symétrique : a₁=a₁₆ ,a₂=a₁₅,a₃=a₁₄,…etc.

Voila donc les termes d'une des nombreuses suites solutions :
a₁=a₁₆= -30
a₂=a₁₅= -13
a₃=a₁₄= +50
a₄=a₁₃= -9
a₅=a₁₂= -35
a₆=a₁₁= -27
a₇=a₁₀= +67
a₈=a₉= -22

Attention, !!! en vue !!

Salut minkus

Pour tout dire, je tente vraiment ma chance, car je n'ai aucune démonstration viable qui prouve que j'ai atteint le maximun avec cette suite (u_n).

u₁ = -5       u₉ = -5
u₂ = -5       u₁₀ = 13
u₃ = 13      u₁₁ = -5
u₄ = -5       u₁₂ = -5
u₅ = -5       u₁₃ = -5
u₆ = -5       u₁₄ = 13
u₇ = 13      u₁₅ = -5
u₈ = -5       u₁₆ = -5

La somme de  7 nombres consécutifs de la suite est toujours de 1 (donc strictement positive)
La somme de 11 nombres consécutifs de la suite est toujours de -1 (donc strictement négative)

J'ai donc construit une suite de 16 nombres entiers relatifs non nuls qui vérifie les condition ... reste à voir si on peut trouver mieux !

Romain

La plus longue suite aura 16 termes, par exemple:
-5, -5, 13, -5, -5, -5, 13, -5, -5, 13, -5, -5, -5, 13, -5, -5

Bonjour, j'ai trouvé la suite suivante :



On ne trouve pas plus loin que e₁₆

Je poste l'image pour montrer les sommes de nombres consécutifs et raccourcir le temps de correction.

On peut écrire une suite de seize nombres maximum. Par exemple :
-5 -5 13 -5 -5 -5 13 -5 -5 13 -5 -5 -5 13 -5 -5
Examinons les sommes cumulées, en admettant un cumul d'indice ₀ = zéro (avant l'introduction de tout nombre).
c_n-11 < c_n < c_n+7
En ajoutant 7 ou en soustrayant 11 au cumul d'un indice, on obtient un cumul supérieur. Si cette opération était possible pour tous les indices de 0 à x, après x+1 opérations, on répéterait inévitablement un indice r et c_r serait supérieur à c_r !
Le plus grand intervalle d'entiers 0-x dans lequel il existe un nombre auquel on ne peut ni ajouter 7 ni soustraire 11 est 0-16.
Dans la solution, l'indice du cumul le plus petit, est celui auquel on ne peut soustraire 7 ni ajouter 11 : c'est 6. L'ordre des indices est 6, 13, 2, 9, 16, 5, 12, 1, 8, 15, 4, 11, 0, 7, 14, 3, 10. Attribuons aux cumuls des valeurs croissant de 1 en 1. c₆ aura -10, car il est dix places avant c₀, qui vaut zéro.
La suite des cumuls est donc -5 -10 +3 -2 -7 -12 +1 -4 -9 +4 -1 -6 -11 +2 -3 -8
NB : l'énoncé n'interdit pas la répétition de nombres dans la suite.

Bonjour,

La plus grande suite possible comporte 14 termes

Par exemple:
1, 1, 1, -5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -5, 1, 1, 1.

A+,
gloubi

Bonjour

La plus longue suite possible de nombres entiers relatifs non nuls vérifiant les deux condition de l'énoncé est composée de 16 termes. En voici un exemple :

-5 -5 13 -5 -5 -5 13 -5 -5 13 -5 -5 -5 13 -5 -5

La somme de 7 termes consécutifs est égale à 1
La somme de 11 termes consécutifs est égale à -1

Kévin

Bonjour,

Encore posté trop vite!

On arrive à une suite de 16 nombres avec, par exemple:
-51, -18, 102, -49, -49, -32, 100, -51, -20, 102, -49, -49, -28, 102, -49, -28.

sommes des 7 derniers termes:
_______________________ 3 __ 3 __ 1 __ 1 _ 1 __ 1 _ 5 __ 7 __ 9 __ 1

sommes des 11 derniers termes:
_____________________________________ -15  -13  -23  -23  -23  -2

Pour trouver une suite de 17 nombres, on a un abominable système de 18 inéquations, qui n'a pas de solutions. Ou alors, je suis passé à côté.

En tout cas, une bien belle énigme, qui m'a turlupiné pendant près d'une semaine.
_{De l'intérêt de ne pas cloturer les énigmes au bout de trois jours et demi...}

Merci pour le n+1ème    !

A+,
gloubi

Bonjour,
Je note Sn, la somme de  n nombres consécutifs quelconques de la suite.
L'énoncé donne
S7 > 0 et S11 < 0 Or
S11 = S7 + S4 ce qui implique S4 négatif et
S7 = S4 + S3   ce qui implique S3 positif. Or
S4 = S3 + S1 ce qui implique S1 négatif.
Donc pour répondre à l'énoncé, chaque terme de la suite devrait être négatif et la somme de 7 de ces termes positives.
Ca me paraît impossible.
Et en avant pour un (-1) de plus ?
Très cordialement.

Bonjour,

On ne se bouscule pas pour repondre ! Autant cloturer alors. La bonne reponse etait bien 16 et plusieurs suites etaient possibles.

Bravo pour toutes ces bonnes reponses.

>eve13 : Je pense qu'il y a un souci dans ton raisonnement, notamment dans la definition de ton S_n.

Salut Minkus. Tu as d'autres énigmes sous presse, ou tu prépares la rentrée

^{Désolée d'avoir utilisé un mot qui fâche...}

Salut Borneo,

Ta question tombe a pic car je viens justement d'en proposer 9 sur le site prive hier soir. 3 sont prevues pour cette fin de mois d'aout et le reste est en effet prevue pour la rentree

Patience, patience...

D'une manière générale, on peut trouver une suite de N termes tels que la somme de p termes consécutifs soit positive et celle de q termes consécutifs négative avec N=p+q-PGCD(p,q)-1...

En tout cas, merci Minkus pour ces trois défis, je suis notamment fier de ********* !

Lucas

edit T_P

Salut Lucas, il est stricement interdit de parler des énigmes en cours.

^{C'est à peu près la seule chose qui pourrait me fâcher sur ce forum}

Borneo >

Merci Minkus pour les explications.
Je m'accroche, je continue tout de même, je les ai tous tentés. Mais c'est dur après 40 ans sans math.
J'espère y arriver un jour.
Cordialement.

Et en plus, si je vois bien les résultats, à froid sans papier ni crayon, je ne comprends aucune démonstration. Dur, dur. S'il fallait le repasser, je n'aurais pas mon bac !

7 et 11 sont des nombres consécutifs de la suite de Lucas. La méthode des cumuls consécutifs donne les nombres 13 et -5 qui sont les nombres de la suite de Fibonacci qui les entoure.
Avec 11 et 18, paire suivante de la liste, on obtient les nombres de Fibonacci -21 et 8 : inversion de signes !

minkus >

Il me semble sauf erreurs que gloubi n'a pas été noté ... alors qu'il a la bonne réponse !

Après avoir passé une semaine sur cette énigme, comme il le dit lui même, je pense qu'il mérite son

Romain

Je poste ma démo, au cas où elle pourrait être utile. J'ai trouvé cette énigme très dure pour ses 2 étoiles.

J'appelle e1  e2  e3 .... les nombres de la suite.

J'appelle Sn la somme e1 + e2 + e3 + ...... en

Je peux dire que comme la somme de 7 nombres consécutifs est toujours >0

S7 > 0 et S14 > S7

On peut dire aussi que S8 > S1,  S9 > S2 puisqu'à chaque fois pour passer de Sn à Sn+7 on ajoute un nombre positif.

De même, comme toute suite consécutive de 11 nombres est toujours < 0 on peut dire que

S12 < S1, S13 < S2 etc... puisqu'on ajoute un nombre négatif quand on passe de Sn à Sn+11



Maintenant, on essaye avec un nombre défini de nombres dans la suite.

Je commence avec une suite de 12 nombres : e1  e2  e3  e4  e5  e6  e7  e8  e9  e10  e11  e12

et je cherche à classer les sommes S en fonction de ce que je sais.

S1 < S8
S2 < S9
S3 < S10
S4 < S11
S5 < S12
S7 > 0
S11 < 0
S12 > S1

Je peux classer : S4 < S11 < 0 < S7

Il me faut  plus de nombres pour faire un classement de toutes les sommes.

Si je prends 13 nombres, je peux ajouter les inégalités suivantes : S13 < S2 et S6 < S13

Pour le classement, S4 < S11 < 0 < S7  et S6 < S13 < S2 < S9

Avec 14 nombres, je peux ajouter les inégalités suivantes : S14 > S7 et S3 > S14

Pour le classement, j'ai  S4 < S11 < 0 < S7 < S14  < S3 < S10 et S6 < S13 < S2 < S9

Avec 15 nombres, je peux ajouter les inégalités suivantes : S15 > S8 et S15 < S4

Pour le classement, j'ai  S5 < S12 < S1 < S8 < S15 <  S4 < S11 < 0 < S7 < S14  < S3 < S10 et S6 < S13 < S2 < S9

Avec 16 nombres, je peux rajouter S16 < S5 et S16 > S9

Pour le classement, j'ai :

S6 < S13 < S2 < S9 < S16 < S5 < S12 < S1 < S8 < S15 <  S4 < S11 < 0 < S7 < S14  < S3 < S10  

Avec 17 nombres, je peux rajouter S17 < S6 et S17 > S10 ce qui me fait rajouter S17 des deux côtés de mon inégalité. Donc c'est impossible, et on s'arrête là.

Il me reste à trouver ma suite. Je donne arbitrairement des valeurs à mes sommes S qui respectent l'ordre trouvé plus haut, et je cherche les valeurs e_n.


Je me sers de la formule en = S_n - S_n-1 (merci wikipédia) pour trouver mes valeurs et je vérifie avec excel que la somme de n'importe quels 7 nombres consécutifs est positive et que la somme de n'importe quels 11 nombres consécutifs est négative. J'essaye aussi de rajouter un 17e nombre, n'importe lequel, et je constate que c'est impossible.

Regarde bien lyonnais Gloubi a ete note dans son premier message Si tu as lu son 2e message tu as du voir qu'il commence par "encore poste trop vite".

Exact Minkus désolé

Pas de pour lui alors ...

Belle démo borneo !

Romain

Bonjour Minkus !
1. En choisissant précisément 7 et 11, aviez-vous pensé à Lucas (951 ?) et à Fibonacci) ?
2. Si p et q avaient un diviseur commun d, le problème aurait été légèrement plus difficile. La nécessité de trouver un cumul d'indice i tel que ni i+p ni i-q n'existent aurait alors dû s'appliquer à chaque groupe d'indices de même modulo d, ce qui démontre la formule de Piepalm.

Plumemeteore, pourquoi penser à Fibonacci et à moi pour ce défi ?

Lucas

lucas951 >

plumeteore parle de la " suite de lucas "

cf ici :

Romain

Jeune pour comprendre mais je comprends.

Bonjour plumemeteore

Je dois avouer que j'ai trouve l'enigme en l'etat, sans vraiment me poser la question de savoir si changer les nombres pouvait rendre l'exercice plus difficile.

Au passage merci pour les infos, je connaissais tres bien la suite de Fibonacci mais n'etais pas familier avec celle de Lucas. (S'agit-il d'Edouard Lucas ? Si oui alors j'ai deja entendu parler de lui a propos d'autre chose. Je crois qu'il etait adepte de casse-tetes et autres jeux mathematiques.) Tout ceci est tres interessant. Merci a Lyonnais pour le lien, le site de Gerard Villemin est franchement incroyable et ne semble pas loin de l'exhaustivite. On n'en a jamais fait le tour !

minkus

_{Plumemeteore, pourquoi le vouvoiement ? J'espere que ce n'est pas parce que je suis prof, vieux ou posteur d'enigmes}