Fiche de mathématiques
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Endomorphismes remarquables d?un espace euclidien

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Agrégation : leçon 126 en Maths Générales


E désigne un espace vectoriel de dimension fini muni d'un produit scalaire et de la norme associée.


I. Endomorphismes normaux

Rappel
Soit f\in \mathcal{L}(E),\;\exists !\;f^*\in\mathcal{L}(E)/\forall\quad(x,y)\in E^2
<f(x),y>=<x,f^*(y)> f^* est appelé l'adjoint de f.
Soit B une base orthonormale de E si Mat_B(f)=M alors Mat_B(f^*)=^tM

Proposition 1 ([M]p357-358)
Ker(f^*)=(Im(f))^{\perp} et Im(f^*)=(Ker(f))^{\perp}
F sev de E, F stable par f alors F^{\perp} stable par f^*


Définition 2
f\in\mathcal{L}(E) est dit normal si f^* \circ f = f \circ f^*
M\in M_n({\mathbb R}) est dit normal si ^tMM = M^tM


Proposition 3 ([G]p254)
f \in \mathcal{L}(E) normal ssi \|f(x)\| = \|f^*(x)\|


Théorème 4 ([C]p159)
f \in \mathcal{L}(E) normal ssi il existe une base B de E orthonormée telle que f soit presque diagonale dans cette base.
\begin{pmatrix}\lambda_1& & & & &\\ &\ddots& & & &\\ & &\lambda_r& & &\\ & & &\boxed{\rm{A_1}}& & \\ & & & &\ddots& \\& & & & &\boxed{\rm {A_s }}\end{pmatrix} Avec \lambda_i \in \mathbb{R}
Et \rm{A_i} = \begin{pmatrix}a_i&-b_i\\b_1&a_i\end{pmatrix} (a_i,b_i)\in\mathbb{R}^2



Lemme 5 ([C]p157)
Si f endomorphisme normal, et si F sous espace de E stable par f alors F^{\perp} stable par f.




II. Endomorphismes symétriques

Définition 6
f est dit symétrique ou autoadjoint si f^*=f.
f est dit antisymétrique si f^*=-f


Exemple :
Si f\in\mathcal{L}(E), fof^* est symétrique.

Remarque :
Si f symétrique, alors f est normal.
\mathcal{L}(E)=Sym(E)\oplus\AA(E) avec
Sym(E)=\lbrace f\in\mathcal{L}(E),f^*=f\rbrace et \AA(E)=\lbrace f\in\mathcal{L}(E),f^*=-f\rbrace

Proposition 7 ([G]p240)
f\in\mathcal{L}(E) autoadjoint ssi la matrice de f dans une quelconque base orthonormée est symétrique.



Définition 8
S_n(\mathbb{R})=\lbrace M\in M_n(\mathbb{R}),\:^tM=M\rbrace
M\in S_n(\mathbb{R}) est dite positive si \forall X\quad^tXMX\ge 0
On note S_n^+(\mathbb{R}) l'ensemble des telles matrices.
M\in S_n^+(\mathbb{R}) est dite définie positive si \forall\; X\neq 0\quad^tXMX>0
On note S_n^{++}(\mathbb{R}) l'ensemble des telles matrices.



Exemple :
\forall\;M\in M_n(\mathbb{R})\quad ^tMM\in\S_n^+(\mathbb{R})
\forall\;M\in GL_n(\mathbb{R})\quad ^tMM\in S_n^{++}(\mathbb{R})

Proposition 9 ([M]p359)
Soit \psi:f\in Sym(E)\rightarrow \psi_f\in BL_S(E) tel que \psi_f(x,y)=<f(x),y>
\psi est un isomorphisme d'espaces vectoriels de Sym(E) vers BL_S(E) l'ensemble des formes bilinéaires symétriques.



Théorème 10 ([G]p240)
Si f\in Sym(E) alors il existe une base orthonormée B de E, formée de vecteurs propres pour f.
Si M\in S_n(\mathbb{R}),\exists\; C\in M_n(\mathbb{R}),\; C orthogonale telle que :
^tCMC=^{-1}CMC soit diagonale



Corollaire 11 ([G]p241)
Si M\in S_n^{++}(\mathbb{R}), N\in S_n^+(\mathbb{R}) alors il existe P\in GL_n(\mathbb{R}) telle que
^tPMP=I_n\mbox{ et } ^tPNP soit diagonale



Application :
Si \Phi est une forme quadratique, il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de \Phi est diagonale.

Remarque :
On pourrait aussi réduire les endomorphismes antisymétriques par le Théorème 4.


III. Endomorphismes orthogonaux

Définition 12
f\in \mathcal{L}(E) est orthogonal si et seulement si il vérifie l'une de ces quatre propositions équivalentes.
f\circ f^*=f^*\circ f=Id_E
\forall (x,y)\in E^2\;<f(x),f(y)>=<x,y>
\forall \; x\in E \|f(x)\| = \|x\|
l'image par f d'une base orthonormée est une base orthonormée.

On note O(E) l'ensemble des endomorphismes de E qui sont aussi appelés isométries de E.



Remarque :
O(E) est un sous groupe de GL(E)
Si f\in O(E), f est normal.
M\in M_n(\mathbb{R}) est dite orthogonale si ^tMM=I_n

Exemples :
Les symétries orthogonales sont des isométries.
Les matrices de permutations sont des isométries.
Les projections orthogonales ne sont pas des isométries.

Proposition 13 ([G]p252-253)
f\in \mathcal{L}(E) est une isométrie ssi la matrice de f dans toute base orthonormale est une matrice orthogonale.



Remarque :
Si f\in O(E) on a (\det(f))^2=1
On note SO(E)=\lbrace f\in O(E),\; \det(f)=1\rbrace qui est un sous groupe distingué de O(E)
On définit de même SO_n(\mathbb{R})=\lbrace M\in O_n(\mathbb{R}),\mbox{\det }M=1\rbrace

Proposition 14
O(E) et SO(E) sont des sous groupes compacts de GL(E)



Proposition 15 ([G]p252-253)
Si f\in O(E) il existe B une base orthonormée telle que
Mat_B(f)=\begin{pmatrix}I_p& & & &\\ &-I_q& & &\\ & &\boxed{R_1}& & \\ & & &\ddots& \\& & & &\boxed{R_s}\end{pmatrix} Avec (p,q,s)\in \mathbb{N}^3/\quad p+q+2s=n
Ri=\begin{pmatrix} cos(\theta_i)&-sin(\theta_i)\\sin(\theta_i)&cos(\theta_i) \end{pmatrix}
0<\theta_1\le \ldots\le \theta_s<\pi



Remarque :
q pair \Leftrightarrow \quad f\in SO(E)

Application :
SO_n(\mathbb{R}) est connexe par arcs.


IV. Le groupe orthogonal

Théorème 16 ([MT]p18-19) - Décomposition polaire
Soit \phi:(O,S)\in O_n(\mathbb{R})\times S_n^{++}(\mathbb{R})\rightarrow OS\in GL_n(\mathbb{R}) est un homéomorphisme.



Application ([A]p138-140) :
O_n(\mathbb{R}) sous groupe compact de GL_n(\mathbb{R})
SO_n(\mathbb{R}) sous groupe compact maximal de SL_n(\mathbb{R})
\forall\; M\in M_n(\mathbb{R}) d(M,O_n(\mathbb{R})) = \| \sqrt{^tMM}-I_n \|

Corollaire 17
\forall M \in GL_n(\mathbb{R}),\; \exists (\Omega_1,\Omega_2)\in(O_n(\mathbb{R}))^2 et D diagonale à valeurs propres réelles positives telles que M=\Omega_1 D\Omega_2



Proposition 18 ([C]p?) - Décomposition d'Iwasawa
Si M\in GL_n(\mathbb{R}) alors il existe un unique couple (O,T) avec O orthogonale et T triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs tel que: M=OT



Proposition 19 ([B]2.7.5 et 8.2.5.2)
Soit G un sous groupe compact de GL_n(\mathbb{R}), il existe une structure euclidienne G-invariante sur \mathbb{R}^n



Définition 18
f\in \mathcal{L}(E) une symétrie orthogonale.
Si dim(ker(f-Id_E))=n-1 f est appelé réflexion.
Si dim(ker(f-Id_E))=n-2 f est appelé renversement.



Proposition 20 ([P]p142)
Z(O_n(\mathbb{R}))=\lbrace \pm I_n\rbrace
Si n pair Z(SO_n(\mathbb{R}))=\lbrace \pm I_n\rbrace
Si n impair Z(SO_n(\mathbb{R}))=\lbrace I_n\rbrace



Proposition 21 ([P]p143)
f\in O(E) est le produit d'au plus n réflexions.



Corollaire 22
f\in SO(E) est le produit d'un nombre pair de réflexions.



Proposition 23 ([P]p143)
Pour n\ge3\quad SO(E) est engendré par les renversements.



Application ([P]p148) :
SO_3(\mathbb{R}) est simple.

Proposition 24 (([P]p150))
Soit \mathbb{P} SO_n(\mathbb{R})=SO_n(\mathbb{R})/Z(SO_n(\mathbb{R})).
Alors pour n=3 et n\ge 5 \mathbb{P} SO_n(\mathbb{R}) est simple.



Proposition 25 ([P]p152)
Tout automorphisme de SO_3(\mathbb{R}) est intérieur.



Remarque [P] :
SO_n(\mathbb{R}) est le groupe dérivé de O_n(\mathbb{R}) et si n>2 c'est aussi celui de SO_n(\mathbb{R}).
D(SO_2(\mathbb{R}))=\lbrace I_2\rbrace
M\in O_2(\mathbb{R}) alors M=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} ou M=\begin{pmatrix}-a&b\\b&a\end{pmatrix} avec a^2+b^2=1.
SO_2(\mathbb{R}) est commutatif est isomorphe à \mathbb{R}/2\pi\mathbb Z
On peut noter que le groupe O_3(\mathbb{R}) est composé de :
I_3, -I_3, les rotations et les produits de 3 réflexions.

Proposition 26 ([MT]p125-127)
SO_3(\mathbb{R})\approx \mathbb P^3 \mathbb{R}
\Pi_1(SO_3(\mathbb{R}))\approx\mathbb Z/2\mathbb Z



Bibliographie

[A]: M.Alessandri "Thèmes de géométrie"
[C]: M.Cognet "Algèbre bilinéaire"
[G]: X.Gourdon "Algèbre"
[MT]: R.Mneimné, F.Testard "Groupes de Lie Classiques"
[M]: D.Monasse "Cours MP-MP*"
[P]: D.Perrin "Cours d'algèbre"
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