Fiche de mathématiques
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Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice. Résolution d'un système d'équations linéaires. Exemples et applications.

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Soit (A \, , \, + \, , \, \times) un anneau euclidien ; pour fixer les idées, on prendra le plus souvent A = \mathbb{Z}.
Soit aussi \mathbb{K} un corps commutatif.

I. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice

1. Description des opérations élémentaires

Soient p \, , \, n \in \mathbb{N}^*, et M une matrice à p lignes et n colonnes à coefficients dans A.
Définition :

On appelle opération élémentaire sur M toute opération de l'un des types suivants :
En notant Li la i-ème ligne de M :
Li \leftarrowLi + \lambdaLj , où \lambda \in A : on ajoute à Li la j-ème ligne de M multipliée par \lambda.
Li \leftarrow \lambda Li : on multiplie Li par un scalaire \lambda \in A.
Li \leftarrow Lj et Lj \leftarrow Li : permutation de 2 lignes de M.

On peut effectuer des opérations similaires sur les colonnes. (On notera Ci la i-ème colonne de M).

2. Matrices associées aux opérations élémentaires

Définitions :

On appelle
matrice de transvection toute matrice de la forme T_{i,j} = I_n + \lambda E_{i,j} \in M_{p,n}(A)
matrice de dilatation : D_i(\lambda) = I_n + (\lambda - 1) E_{i,i} \in M_{p,n}(A)
E_{i,j} désigne la matrice n \times n à coefficients dans A, dont le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne vaut 1, les autres 0.

Proposition 1 :

i) Une matrice de transvection est inversible, et son inverse est T_{i,j}(\lambda)^{-1} = T_{i,j}(-\lambda)
ii) Si \lambda \in A^*, une matrice de dilatation est inversible, avec D_i(\lambda)^{-1} = D_i(\lambda^{-1}).

Proposition 2 :

Soit M une matrice à p lignes et n colonnes à coefficients dans A.
i) Multiplier M à gauche par T_{i,j}(\lambda) \in \mathcal{M}_p(A), c'est ajouter à la i-ème ligne de M la j-ème ligne de M multipliée par \lambda. (\text{Li} \leftarrow \text{Li} + \lambda \text{Lj})
ii) Multiplier M à gauche par D_i(\lambda) \in \mathcal{M}_p(A), c'est multiplier la i-ème ligne de A par \lambda. (\text{Li} \leftarrow \lambda \text{Li}).

Remarque :
En multipliant à droite par une matrice de taille n (transvection ou dilatation), on effectue des opérations élémentaires sur les colonnes.
Définition : Matrice de permutation

P_{i,j}(\lambda) = I_p - (E_{i,i}+E_{j,j})+(E_{i,j}+E_{j,i}).
Multiplier M à gauche par cette matrice permet d'échanger les lignes i et j de M.

Corollaire 1 :

Toute opération élémentaires sur les lignes et les colonnes de M transforme M en une matrice équivalente.


3. Facteurs invariants d'une matrice

Théorème 1 :

On notera D \sim M pour " D équivalente à M ".
M \in \mathcal{M}_{n,p}(A)-\lbrace 0\rbrace
Alors il existe D \sim M de la forme D = \left(\begin{array}{ccccc} d_1 &  &  & &  \\   & d_2 &  & 0 & \\  & & d_3 &  &  \\   & 0 & & \ddots & \\     &  & &  & d_r   \end{array}\right)
D est quasi-diagonale, et r \leq \min(p \, , \, n), avec d_1/d_2/ \cdots / d_r.

Définition :

Les d_i sont les facteurs invariants de M ; ils sont uniques à un inversible près.



II. Premières applications

On se place désormais sur \mathbb{K} corps commutatif.

1. Calcul du rang d'une matrice

Donner un exemple de calcul de rang d'une matrice ; en voici un tiré de AF-1
\mathbb{K} = \mathbb{C}
M = \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -4 & -3 & -2 & 2 \\  2 & -6 & -6 & -4 & 4\\  -3 & 12 & 12 & 6 & -9 \\  0 & 2 & 3 & 0 & -3 \end{array}\right) qui est de rang 3.

2. Calcul de l'inverse d'une matrice carrée

Donner un exemple ; expliquer la méthode générale : on effectue des opérations élémentaires sur M pour la transformer en la matrice identité, et on effectue en parallèle les mêmes opérations sur la matrice identité ; cette dernière sera alors transformée en l'inverse de A.

3. Décomposition d'une matrice inversible

Théprème 2 :

M \in GL_n(\mathbb{K})
Il existe des matrices de transvection P_1 \, , \, \cdots \, , \, P_r \, , \, Q_1 \, , \, \cdots \,  , \, Q_s telles que M = P_1 \times \cdots \times P_r \times D_n\left(\det(M)\right) \times Q_1 \times \cdots \times Q_s

Corollaire :

GL_n^+(\mathbb{R}) \, , \, GL_n^-(\mathbb{R}) sont connexes par arcs ; ce sont les composantes connexes de GL_n(\mathbb{R}).

Application :
Groupe dérivé du groupe linéaire, du groupe spécial linéaire

4. Matrices de transvection et matrices unipotentes supérieures

Proposition 3 :

Soit n \geq 2 ; les matrices de transvection engendrent le groupe des matrices unipotentes supérieures.



III. Systèmes linéaires

1. Systèmes de Cramer

Définition :

Ce sont les systèmes de n équations à n inconnues, que l'on peut écrire sous la forme AX = B, où A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \text{ et } B \, , \, B \, , \, X \in \mathbb{K}^n

Proposition : Formules de Cramer :

On note A_i la i-ème colonne de A, \mathcal{B}_{\mathbb{K}^n} la base canonique de \mathbb{K}^n
Alors x_i = \frac{\det(A_1 \, , \, \cdots \, , \, A_{i-1} \, , \, B \, , \, A_{i+1} \, , \, \cdots \, , \, A_n)}{\det(A)} où on considère le déterminant dans la base \mathcal{B}_{\mathbb{K}^n}.


2. Cas général

On considère un système à p équations et n inconnues.
Définitions :

Le système est compatible s'il admet une solution.
Si r est le rang de la matrice A, un déterminant \Delta d'ordre r non nul extrait de A est appelé déterminant principal du système.
Les équations dont les indices sont ceux des lignes de \Delta sont les équations principales ; on définit de même les inconnues principales.
On peut écrire \Delta = \det(a_{i,j})_{i\in I, j \in J}.
Les déterminants caractéristiques sont les déterminants d'ordre r+1 de la forme \left(\begin{array}{cc} (a_{i \in I, j \in J}) & (b_i)_{i \in I} \\ (a_{k,j})_{j \in J} & b_k \end{array}\right)k n'est pas dans J (et r < p).

Théorème 3 (de Rouché-Fontené) :

Le système est compatible si et seulement si p = r ou les p-r déterminants caractéristiques sont nuls.
Le système est alors équivalent au système des équations principales ; on a un système de Cramer avec les inconnues principales.


3. Opérations élémentaires et résolution de systèmes linéaires

On se place dans le cas des systèmes matriciels AX = BA est de taille n \times n à coefficients dans \mathbb{R} ou \mathbb{C}, et A inversible.

a) Méthode de Gauss

Principe général :
on cherche i tel que le coefficient de la i-ème ligne et 1ère colonne soit non nul (possible car A inversible). On échange les lignes 1 et i.
Par des combinaisons linéaires appropriées de L1 et Lj, on annule tous les éléments de la colonne 1 situés sous la diagonale.
\text{L}_j \leftarrow \text{L}_j - \left(\frac{a_{j,1}}{a_{i,1}}\right) \times \text{L}_1
On recommence avec les colonnes suivantes.
Coût : de l'ordre de \frac{2n^3}{3} opérations pour résoudre le système.
A titre de comparaison, si on appliquait les formules de Cramer, on devrait évaluer n+1déterminants, et effectuer n divisions ; or le calcul d'un déterminant est de l'ordre de n! (...!!!)

b) Décomposition LU

Théorème 4 :

Soit A matrice carrée d'ordre n dont les n mineurs principaux soient inversibles.
Alors il existe L triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale, et U triangulaire supérieure, telles que A = LU.
Une telle factorisation est unique.

Application :
AX = B \Longleftrightarrow LUX = B \Longleftrightarrow (Y = UX \text{ et } LY = B)
et on est ramené à la résolution de deux sytèmes triangulaires.

Bibliographie :
- J.E. ROMBALDI : Analyse matricielle, cours et exercices résolus - EDP Sciences
- X. GOURDON : Les maths en tête: algèbre - Ellipses
- F. COMBES : Algèbre et Géométrie - Bréal
- J.M. ARNAUDIES & H. FRAYSSE : Cours de mathématiques 1 algèbre - Dunod
- P.G. CIARLET : Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation - Masson



Développements proposés :
1) Théorème 1 - existence (d'abord dans le cas de \mathbb{Z}, puis passage au cas général) (Combes)
(évidemment il faut avoir une idée de la preuve de l'unicité...)
2) Théorème 2 avec le corollaire (Rombaldi)

Commentaires :
- Pour la présentation de la planche (8 minutes), je pense qu'il est bon d'introduire les opérations élémentaires comme un outil permettant de simplifier l'écriture des systèmes linéaires, ce qui justifie leur utilité d'un point de vue pratique. Ensuite on explique pourquoi on se place dans un anneau euclidien (insister sur le théorème des facteurs invariants), on explique à quoi correspondent les opérations élémentaires, et on liste quelques applications (en théorie des groupes , pour la connexité,...), ce qui permet de revenir sur les systèmes linéaires et d'expliquer l'utilité du pivot de Gauss et la décomposition LU...
- Pour ceux qui maîtrisent le sujet, on peut aussi donner des applications aux modules (cf. le livre de M. Artin). Cependant , je pense qu'il ne faut en parler que si on domine à fond!!!. Ne pas en parler ne signifie pas avoir une mauvaise note...
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