Fiche de mathématiques
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BTS Groupement B

Session 2010

Durée : 2 heures

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EXERCICE 1

Partie A - Résolution d'une équation différentielle

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(E):y'-y=\text{e}^x-2x

1- Solution de (E_0):y'-y=0

L'équation différentielle (E_0):y'-y=0 étant de premier ordre, sa solution générale y_0:\mathbb{R}\to\mathbb{R} s'écrit sous la forme y_0(x)=ke^{-\lambda(x)}k est un réel quelconque et \lambda une primitive de la fonction x\mapsto -1, d'où:
\lambda:x\mapsto -x et donc:

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La solution générale } y_0 \text{ de }(E_0)\text{ est définie par: }y_0(x)=k\text{e}^x \text{ avec } k\in\mathbb{R} }}


2- g(x)=x\text{e}^x+2x+2

Dérivée de g :

g'(x)=1\times\text{e}^x+x\text{e}^x+2\times 1+0=x\text{e}^x+\text{e}^x+2

Pour montrer que g est solution de l'équation (E), il faut montrer qu'elle vérifie: g'(x)-g(x)=\text{e}^x-2x

Calculons g'(x)-g(x):

g'(x)-g(x)=\text{e}^x+x\text{e}^x+2-\left(x\text{e}^x+2x+2 \right) =\text{e}^x+\cancel{x\text{e}^x}+\cancel{2}-\cancel{x\text{e}^x}-2x-\cancel{2}=\text{e}^x-2x

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{g\text{ est solution particulière de }(E) }}


3- Ensemble des solutions de (E)

La solution générale de (E) qu'on note y est donnée par la somme de la solution de (E_0) avec la solution particulière de (E), soit y =y_0+g, elle est donc définie par:

y(x)=y_0(x)+g(x)=k\text{e}^x+x\text{e}^x+2x+2=(x+k)\text{e}^x+2x+2

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'ensemble des solutions de }(E)\text{ sont les fonctions de la forme }y(x)=(x+k)\text{e}^x+2x+2\text{ avec } k\in\mathbb{R}.}}


4- f solution de (E) et condition initiale : f(0)=3

f solution de (E), donc f s'écrit sous la forme f(x)=(x+k)\text{e}^x+2x+2\text{ avec } k\in\mathbb{R}

\displaystyle f(0)=3\Longleftrightarrow (0+k)\text{e}^0+2\times 0+2\times 1=3\Longleftrightarrow k+2=3\Longleftrightarrow k=1

Donc :

f(x)=(x+1)\text{e}^x+2x+2

\boxed{\textcolor{blue}{ \text{La solution f de l'équation différentielle (E) vérfiant } f(0)=3 \text{ est définie sur } \mathbb{R} \text{ par: } f(x)=(x+1)\text{e}^x+2x+2 }}


Partie B - Etude d'une fonction

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f(x)=(x+1)\text{e}^x+2x+2


1- Limite de f en +\infty

\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}\left[(x+1)\text{e}^x+2x+2 \right]

On a :

\displaystyle\left\lbrace\begin{array}l \underset{x\to +\infty}{\lim}(x+1)=+\infty \\ \underset{x\to +\infty}{\lim}\text{e}^x=+\infty\\\underset{x\to +\infty}{\lim}2x=+\infty \end{array}

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=+\infty }}


2- Asymptote de \mathcal{C} en -\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse B.} }}

Explication (non demandée) :

On a :

\underset{x\to -\infty}{\lim}\left[f(x)-(2x+2) \right]=\underset{x\to -\infty}{\lim}\left[(x+1)\text{e}^x+\cancel{2x}+\cancel{2}-\cancel{2x}-\cancel{2} \right]=\underset{x\to -\infty}{\lim}(x+1)\text{e}^x=\underset{x\to -\infty}{\lim}\underbrace{x\text{e}^x}_{\to 0}+\underbrace{\text{e}^x}_{\to 0}=0

La droite d'équation y=2x+2 est asymptote à la courbe \mathcal{C} en -\infty.


3-a)- Développement limité de la fonction f à l'ordre 2 au voisinage de 0

La fonction exponentielle x\mapsto\text{e}^x admet pour développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 : \text{e}^x=1+x+\dfrac{1}{2}x^2+x^2\epsilon(x)\text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0

Puisque f(x)=(x+1)\text{e}^x+2x+2, donc le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 pour la fonction f est :

\begin{array}{cl}  \\  \\ \\f(x)  &= (x+1)(1+x+\dfrac{1}{2}x^2+x^2\epsilon(x))+2x+2\text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0  \\          	&=x+x^2+1+x+\dfrac{1}{2}x^2+2x+2+x^2\epsilon(x)     	  \\ 		&=\dfrac{3}{2}x^2+4x+3+x^2\epsilon(x)   \\\end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{f(x)=\dfrac{3}{2}x^2+4x+3+x^2\epsilon(x)\text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0 } }}


3-b)- Equation de la tangente T à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 0

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse B.} }}

Explication (non demandée) :

Méthode rapide:
Une équation de la tangente à la courbe \mathcal{C} de la fonction f au point d'abscisse 0 est donnée par la partie affine du développement limité de la fonction, l'équation de la tangente à la courbe \mathcal{C} de f au point d'abscisse 0 est donc: y=4x+3

Méthode classique:
Cette méthode classique est présentée à titre indicatif, le ou la candidat(e) est censé être familier avec la méthode rapide:
On a : f(x)=x\text{e}^x+2x+\text{e}^x+2
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} comme somme et produit de fonction dérivables sur \mathbb{R}, et on a :
f'(x)=\text{e}^x+x\text{e}^x+2+\text{e}^x=\text{e}^x(x+2)+2
L'équation de la tangente à la courbe \mathcal{C} de f au point d'abscisse x_0 est donnée par :
y=(x-x_0)f'(x_0)+f(x_0)
En x_0=0, on a donc l'équation de tangente suivante : y=(x-0)f'(0)+f(0)\Longleftrightarrow y=(x-0)\left[ \text{e}^0(0+2)+2\right]+\left[ 0\text{e}^0+2\times 0+\text{e}^0+2\right]\Longleftrightarrow y=4x+3


3-c)- Position de la courbe \mathcal{C} par rapport à la tangente T au voisinage de 0

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La bonne réponse est la réponse A.} }}

Explication (non demandée) :

L'équation de la tangente T est y=4x+3, on étudie donc le signe de \delta(x)=[f(x)-(4x+3)] au voisinage de 0 :

Au voisinage de 0, on a vu que :

f(x)=3+4x+\dfrac{3}{2}x^2+x^2\epsilon(x)\text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0

Donc au voisinage de 0, on a :

\delta(x)=[f(x)-(4x+3)]=\cancel{3}+\cancel{4x}+\dfrac{3}{2}x^2-\cancel{4x}-\cancel{3}+x^2\epsilon(x) =\dfrac{3}{2}x^2+x^2\epsilon(x)\text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0

\delta(x) est du même signe que x^2 au voisinage de 0, donc positif.

Au voisinage de 0, \mathcal{C} est donc au-dessus de T.


Partie C - Calcul intégral

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1- \displaystyle I=\int_{-1}^{1}\left(2x+2 \right)\text{d}x

\displaystyle I=\int_{-1}^{1}\left(2x+2 \right)\text{d}x =\left[x^2+2x \right]_{-1}^{1}=1^2+2\times 1-(-1)^2-\left[2\times(-1) \right]=\cancel{1}+2-\cancel{1}+2=4

\boxed{\textcolor{blue}{I=4  } }}


2- \displaystyle J=\int_{-1}^{1}\left(x+1 \right)\text{e}^x\text{d}x

En intégrant par parties :

On pose : u(x)=x+1 , on a : u'(x)=1

et : v'(x)=\text{e}^x , on a : v(x)=\text{e}^x

\displaystyle\begin{array}{cl}  \\  \\ \\J  &= \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(x+1 \right)\text{e}^x\text{d}x  \\          	&=\displaystyle\int_{-1}^{1}u(x)v'(x)\text{d}x  	  \\ 		&=\displaystyle\left[u(x)\times v(x) \right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\left[ u'(x)\times v(x)\right]\text{d}x  \\ 		&=\displaystyle\left[(x+1)\text{e}^x \right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\left( 1\times \text{e}^x\right)\text{d}x  \\ 		&=\displaystyle 2\text{e}^1-0-\left[\text{e}^x \right]_{-1}^{1}  \\ 		&=\displaystyle 2\text{e}-\text{e}^1+\text{e}^{-1}  \\ 		&=\displaystyle\text{e}+\text{e}^{-1}   \\\end{array}

\boxed{\textcolor{blue}{J=\text{e}+\text{e}^{-1} }}


3-a- Valeur exacte de K

K=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\text{d}x=\int_{-1}^{1}\left[(x+1)\text{e}^x+2x+2 \right]\text{d}x =\int_{-1}^{1}\left[(x+1)\text{e}^x\right]\text{d}x+\int_{-1}^{1}\left[2x+2\right]\text{d}x =J+I =\text{e}+\text{e}^{-1}+4

\boxed{\textcolor{blue}{ K=\text{e}+\text{e}^{-1}+4 }}


3-b- Valeur de K arrondie à 10^{-2}

\boxed{\textcolor{blue}{ K=7,09 } }}


3-c- \forall x\in]-1,1[,f(x)\geq 0

\boxed{\textcolor{blue}{K \text{ désigne l'aire comprise entre la courbe }\mathcal{C} \text{, l'axe des abscisse et les droites d'équation }x=-1 \text{ et }x=1. } }}

Représentation graphique (non demandée) :

Maths BTS groupement B : image 12

EXERCICE 2

Partie A - Loi binomiale et loi de Poisson

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1-a- X suit une loi binomiale

Chaque prélèvement est constitué de 30 bouteilles prélevées au hasard, ces épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise, le résultat pour chacune d'elles est:
Soit un "succès", c'est l'événement E \text{ : ''Une bouteille prélevée au hasard est non conforme'' } de probabilité supposée p=0,02
Soit un "échec" \bar{E} \text{ : ''Une bouteille prélevée au hasard est conforme'' } de probabilité q=1-p=1-0,02=0,98

La variable X, qui à tout prélèvement de 30 bouteilles au hasard mesure le nombre de celles non conformes est telle que (mesure le succès):

\boxed{\textcolor{blue}{X\text{, suit une loi binomiale de paramètres }n=30\text{ et }p=0.02 \text{ , on écrit } X\hookrightarrow \mathcal{B}:(30;0,02) }}


1-b- p(X\leq 1)

Rappel:
\text{Pour }X\hookrightarrow \mathcal{B}:(n,p)\text{ on a : }p(Y=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\text{ avec }C_n^k={n \choose k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}


On a donc :

p(X\leq 1)=p(X=0)+p(X=1) \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad =\dfrac{30!}{0!(30-0)!}\times 0,02^0\times 0,98^{30}+\dfrac{30!}{1!(30-1)!}\times 0,02^1\times 0,98^{30-1} \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad =0,98^{30}+30\times 0,02\times 0,98^{29} \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad \approx 0,879

\boxed{\textcolor{blue}{p(X\leq 1)\approx 0,879}}


2-a- On considère que la loi X\hookrightarrow \mathcal{B}:(30;0,02) peut-être approchée par une loi de Poisson, son paramètre est donc: \lambda= E(X)=np=30\times0,02=0,6

\boxed{\textcolor{blue}{\lambda=0,6}}


2-b- Y suit une loi de Poisson de paramètre \lambda=0,6

Rappel:
\text{Pour }Y\hookrightarrow \mathcal{P}:(\lambda)\text{ on a : }p(Y=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}}


Donc :

p(Y\leq 1)=p(Y=0)+p(Y=1) \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad =\dfrac{0,6^0}{0!}e^{-0,6}+\dfrac{0,6^1}{1!}e^{-0,6} \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad =e^{-0,6}+0,6\times e^{-0,6} \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad =1,6\times e^{-0,6} \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad \approx 0,878

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité qu'il y ait au plus une bouteille non conforme dans le prélèvement est de }0,878.}}



Partie B - Loi normale

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Z suit la loi normale de moyenne \mu=70 et d'écart-type \sigma=1.


1- p(68\leq Z\leq 72)

Z suit une loi normale \mathcal N:(70,1), soit Z\hookrightarrow \mathcal N:(70,1).

Alors T suit une loi normale centrée réduite \mathcal N:(0,1) et nous avons :

T\hookrightarrow \mathcal N:(0,1) tel que T=\dfrac{Z-\mu}{\sigma}=\dfrac{Z-70}{1}

Donc Z=T+70

De ce fait : p(68\leq Z\leq 72)=p\left( 68 \leq T+70\leq\72\right)=p\left( 68-70 \leq T\leq\72-70\right)=p(-2\leq T\leq 2)=2\prod(2)-1

La table de la loi normale centrée réduite indique : \prod(2)=0,9772

Donc : p(68\leq Z\leq 72)=2\prod(2)-1=2\times 0,9772-1=0,9544\approx 0,95

\boxed{\textcolor{blue}{p(68\leq Z\leq 72)\approx 0,95 }}


2- Détermination de h\in\mathbb{R}

p(70-h\leq Z\leq 70+h)=0,99 \Longleftrightarrow p(-h\leq T\leq h)=0,99 \Longleftrightarrow 2\prod(h)-1=0,99 \Longleftrightarrow \prod(h)=\dfrac{1,99}{2}=0,995

Par lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons :

\boxed{\textcolor{blue}{h\approx 2,58}}

Partie C - Intervalle de confiance

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1- On a :  \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}=0,1

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue est de \bar{x}=70,12 , on a donc : \bar{C}\hookrightarrow \mathcal N:(70,12;0,1)

L'intervalle de confiance est donné par : \left[\bar{x}-t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}};\bar{x}+t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}} \right]

Nous avons un coefficient de confiance tel que : 2\prod(t)-1=0,95\Leftrightarrow \prod(t)=\dfrac{1,95}{2}=0,975

Par lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons : t=1,96

Donc : \left[\bar{x}-t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}\quad;\quad\bar{x}+t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}} \right]=\left[70,12-1,96\times 0,1\quad;\quad70,12+1,96\times 0,1 \right] =\left[69,924\quad;\quad 70,316 \right]\approx \left[69,92\quad;\quad 70,32 \right]

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'intervalle de confiance est : }\left[69,92\quad;\quad 70,32 \right]}}


2- La réponse est :

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Non.}}}

Explication (non demandé) :

Dans 95% des cas, la moyenne obtenue sera incluse dans l'intervalle de confiance, et dans 5% des cas, elle ne le sera pas.



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