Partie A - Résolution d'une équation différentielle
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1- Solution de
L'équation différentielle étant de premier ordre, sa solution générale s'écrit sous la forme où est un réel quelconque et une primitive de la fonction , d'où:
et donc:
2-
Dérivée de :
Pour montrer que est solution de l'équation , il faut montrer qu'elle vérifie:
Calculons :
Donc :
3- Ensemble des solutions de
La solution générale de qu'on note est donnée par la somme de la solution de avec la solution particulière de , soit , elle est donc définie par:
4- solution de et condition initiale :
solution de , donc s'écrit sous la forme
Donc :
Partie B - Etude d'une fonction
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1- Limite de en
On a :
Donc :
2- Asymptote de en
Explication (non demandée) :
On a :
La droite d'équation est asymptote à la courbe en .
3-a)- Développement limité de la fonction à l'ordre 2 au voisinage de 0
La fonction exponentielle admet pour développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 :
Puisque , donc le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 pour la fonction est :
3-b)- Equation de la tangente à la courbe au point d'abscisse
Explication (non demandée) :
Méthode rapide: Une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse est donnée par la partie affine du développement limité de la fonction, l'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse est donc:
Méthode classique: Cette méthode classique est présentée à titre indicatif, le ou la candidat(e) est censé être familier avec la méthode rapide:
On a : La fonction est dérivable sur comme somme et produit de fonction dérivables sur , et on a :
L'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse est donnée par :
En , on a donc l'équation de tangente suivante :
3-c)- Position de la courbe par rapport à la tangente au voisinage de
Explication (non demandée) :
L'équation de la tangente est , on étudie donc le signe de au voisinage de 0 :
Au voisinage de , on a vu que :
Donc au voisinage de , on a :
est du même signe que au voisinage de , donc positif.
Au voisinage de , est donc au-dessus de .
Partie C - Calcul intégral
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1-
2-
En intégrant par parties :
On pose : , on a :
et : , on a :
3-a- Valeur exacte de
3-b- Valeur de arrondie à
3-c-
Représentation graphique (non demandée) :
EXERCICE 2
Partie A - Loi binomiale et loi de Poisson
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1-a- suit une loi binomiale
Chaque prélèvement est constitué de 30 bouteilles prélevées au hasard, ces épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise, le résultat pour chacune d'elles est:
Soit un "succès", c'est l'événement de probabilité supposée Soit un "échec" de probabilité
La variable , qui à tout prélèvement de 30 bouteilles au hasard mesure le nombre de celles non conformes est telle que (mesure le succès):
1-b-
Rappel:
On a donc :
2-a- On considère que la loi peut-être approchée par une loi de Poisson, son paramètre est donc:
2-b- suit une loi de Poisson de paramètre
Rappel:
Donc :
Partie B - Loi normale
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suit la loi normale de moyenne et d'écart-type .
1-
suit une loi normale , soit .
Alors suit une loi normale centrée réduite et nous avons :
tel que
Donc
De ce fait :
La table de la loi normale centrée réduite indique :
Donc :
2- Détermination de
Par lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons :
Partie C - Intervalle de confiance
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1- On a :
Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue est de , on a donc :
L'intervalle de confiance est donné par :
Nous avons un coefficient de confiance tel que :
Par lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons :
Donc :
2- La réponse est :
Explication (non demandé) :
Dans 95% des cas, la moyenne obtenue sera incluse dans l'intervalle de confiance, et dans 5% des cas, elle ne le sera pas.
Publié par malou
le
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