Fiche de mathématiques
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Brevet de Technicien Supérieur
Métropole - Antilles - Guyane
Groupement C - Session 2010

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exercice 1

Les deux parties A et B peuvent-être traitées de façon indépendante.

Partie A

1. a) Résoudre l'équation différentielle : 2y'' + y' - y = 0y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels, y' est la fonction dérivée de y et y'' est la fonction dérivée seconde de y.
    b) Déterminer les nombres réels a et b pour que la fonction g définie sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels par g(x)=a x+b soit une solution de l'équation différentielle :
(E) : 2y'' + y' - y = -x + 2

    c) En déduire les solutions de l'équation (E) sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels.

2. Déterminer la solution f de l'équation (E) qui vérifie f(0) = 0 et f'(0) = 0.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0\;:\;+\infty[ par f(x)=\text{e}^{-x}+x-1.
On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal  (O\;;\;\vec{i}\,,\,\vec{j}) d'unités graphique 2 cm.

1. a) Calculer f'(x) et étudier son signe.
    b) Déterminer la limite de f en +\infty.
    c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

2. a Montrer que la droite D d'équation y= x-1 est asymptote à la courbe \mathcal{C} au voisinage de +\infty.
    b) Étudier la position de la courbe \mathcal{C} par rapport à la droite D.
    c) Tracer l'asymptote D et la courbe \mathcal{C}.
    d) Calculer \displaystyle \int_0^2 \text{e}^{-x}\text{d}x et en déduire l'aire \mathcal{A}, en cm², de la portion du plan délimitée par la courbe \mathcal{C}, la droite D et les droites d'équation x = 0 et x = 2. On donnera la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième de l'aire \mathcal{A}.




exercice 2

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats approchés sont à arrondir à 10-2.


Une entreprise fabrique en très grande série une pièce technique de précision en matière plastique. Les questions posées se rapportent à la mesue d'une des cotes de cette pièce.

A - Loi normale

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa cote en millimètres.
On suppose que X suit la loi normale de moyenne \mu = 60,3 et d'écart-type \sigma.
On qualifie de conforme toute pièce dont la cote est comprise entre 59,5 mm et 61,1 mm.

1. Dans cette question on pose \sigma = 0,4. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit conforme.
2. Quelle valeur faut-il donner à l?écart-type \sigma pour que la probabilité d'obtenir une pièce conforme soit égale à 0,99.

B - Loi binomiale et loi de Poisson

On admet que 95 % des pièces produites sont conformes.
On note Y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 80 pièces prises au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non conformes.
La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 80 pièces à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.

1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que l'on ait exactement trois pièces non conformes.
3. On considère que la loi Y peut-être approchée par une loi de Poisson.
    a) Donner le paramètre de cette loi.
    b) Calculer la probabilité d?obtenir au plus trois pièces non conformes.




EXERCICE 1

Partie A

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1.a) Résoudre l'équation différentielle 2y''+y'-y=0y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels, y' est la fonction dérivée de y et y'' est la fonction dérivée seconde de y.

On résout l'équation caractéristique associée à cette équation différentielle, soit :

2r^2+r-1=0\Longrightarrow \Delta=9\Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}l r_1=\frac{1}{2} \\ r_2=-1 \end{array}

Les solutions de l'équation différentielles sont donc du type :

y=k_1e^{r_1x}+k_2e^{r_2x}\text{ avec }k_1,k_2\in\R, soit :

\boxed{\textcolor{blue}{y=k_1e^{\frac{1}{2}x}+k_2e^{-x}\text{ avec }k_1,k_2\in\R}}


b) Déterminer les nombres réels a et b pour que la fonction g définie sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels par g(x)=ax+b soit une solution de l'équation différentielle :

(E) : 2y''+y'-y=-x+2


Pour que g soit une solution de (E), il faut qu'elle vérifie l'équation (E).

On a :

g(x)=ax+b\Longrightarrow g'(x)=a\Longrightarrow g''(x)=0

Donc :

2g''(x)+g'(x)-g(x)=-x+2\Longleftrightarrow 2\times 0+a-(ax+b)=-x+2\Longleftrightarrow -ax+(a-b)=-x+2

En identifiant, on obtient :

\left\lbrace\begin{array}l -a=-1 \\ a-b=2 \end{array}\Longrightarrow \boxed{\textcolor{blue}{\left\lbrace\begin{array}l a=1 \\ b=-2 \end{array}}}

On a donc :

\boxed{\textcolor{blue}{g(x)=x-1}}


c) En déduire les solutions de l'équation (E) sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels.

En ajoutant la solution particulière g(x)=x-1 trouvée à la question b à la solution générale y=k_1e^{\frac{1}{2}x}+k_2e^{-x} de l'équation différentielle sans second membre trouvée à la question a, on obtient la solution générale de l'équation avec second membre (E), donc la solution de l'équation (E) sur l'ensemble \mathbb{R} est :

\boxed{\textcolor{blue}{y=k_1e^{\frac{1}{2}x}+k_2e^{-x}+x-1}}


2. Déterminer la solution f de l'équation (E) qui vérifie f(0)=0 et f'(0)=0.

f solution de (E) donc f s'écrit :

f(x)=k_1e^{\frac{1}{2}x}+k_2e^{-x}+x-1\text{ avec }k_1,k_2\in\R

et on a :

f'(x)=\frac{1}{2}k_1e^{\frac{1}{2}x}-k_2e^{-x}+1

Ainsi :

\left\lbrace\begin{array}l f(0)=0  \\ f'(0)=0 \end{array}\Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}l k_1e^{\frac{1}{2}\times 0}+k_2e^{0}+0-1=0  \\ \frac{1}{2}k_1e^{\frac{1}{2}\times 0}-k_2e^{0}+1=0 \end{array}\Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}l k_1+k_2=1  \\ k_1-2k_2=-2 \end{array}\Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}l k_1=0  \\ k_2=1 \end{array}

Donc :

f(x)=\underbrace{k_1}_{=0}e^{\frac{1}{2}x}+\underbrace{k_2}_{=1}e^{-x}+x-1=e^{-x}+x-1

La solution f de l'équation (E) qui vérifie f(0)=0 et f'(0)=0 est donc :

\boxed{\textcolor{blue}{f(x)=e^{-x}+x-1}}

Partie B

Partager :

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0,+\infty[ par f(x)=e^{-x}+x-1.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O,\vect{i},\vec{j}) d'unités graphique 2 cm.


1.a) Calculer f'(x) et étudier son signe.

Calcul de f'(x)

La fonction f est de la forme f(x)=e^u+v

avec :

u=-x\Longrightarrow u'=-1\text{ et }v=x-1\Longrightarrow v'=1

On a :

f'(x)=u'e^u+v'

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=-e^{-x}+1}}


Signe de f'(x)

f'(x)=-e^{-x}+1=1-\frac{1}{e^x}

\text{. Si }x=0,f'(x)=0

\text{. Si }x\in]0,+\infty[,\text{ on a : }e^x>1\Longleftrightarrow \frac{1}{e^x}<1\Longleftrightarrow \frac{1}{e^x}<1\Longleftrightarrow -\frac{1}{e^x}>-1\Longleftrightarrow \underbrace{1-\frac{1}{e^x}}_{=1-e^{-x}=f'(x)}>0
Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in[0,+\infty[,f'(x)\geq 0}}

La fonction f est donc croissante sur l'intervalle [0,+\infty[


b) Déterminer la limite de f en +\infty.

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(e^{-x}+x-1)=\lim\limits_{x\to+\infty}(\underbrace{\frac{1}{e^x}}_{\to 0}+x-1)=+\infty
Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}}


c) Dresser le tableau de variations de la fonction f.


Calcul de f(0)

f(0)=e^0+0-1=1-1=0


Tableau de variations

\textcolor{blue}{\begin{array}{|c|ccc|}\hline x&0&&+\infty \\\hline f'(x)&&+& \\f&_0&\nearrow&^{+\infty}&\hline\end{array}}


2. a) Montrer que la droite D d'équation y=x-1 est asymptote à la courbe C au voisinage de +\infty.

Si la droite D d'équation y=x-1 est asymptote à la courbe C au voisinage de +\infty, alors on aura \lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(x-1)]=0

\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(x-1)]=\lim\limits_{x\to +\infty}[e^{-x}+\cancel{x}-\cancel{1}-\cancel{x}+\cancel{1}]=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{e^x}=0^+

Donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(x-1)]=0,\text{ donc D d'équation } y=x-1 \text{ est asymptote à la courbe C au voisinage de }+\infty}}


b) Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.

La limite trouvée en b tend vers 0 par valeur supérieure puisque l'on a \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0^+

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe }C\text{ est donc au-dessus de l'asymptote }D}}.


c) Tracer l'asymptote D et la courbe C.
BTS groupement C mai 2010 - supérieur : image 6



d) Calculer \int_0^2e^{-x}dx et en déduire l'aire \mathcal{A}, en cm², de la portion du plan délimitée par la courbe C , la droite D et les droites d'équation x=0 et x=2. On donnera la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième de l'aire \mathcal{A}.


Calcul de \int_0^2e^{-x}dx

\int_0^2e^{-x}dx=[-e^{-x}]_0^2=-e^{-2}-(-e^0)=1-\frac{1}{e^2}


Déduction de \mathcal{A}

L'aire \mathcal{A} est l'aire en gris présentée dans la figure ci-dessous :

BTS groupement C mai 2010 - supérieur : image 1


C est au-dessus de la droite D sur l'intervalle [0,2], donc :

\mathcal{A}=\int_0^2[f(x)-(x-1)]dx=\int_0^2[e^{-x}+x-1-(x-1)]dx=\int_0^2[e^{-x}+\cancel{x}-\cancel{1}-\cancel{x}+\cancel{1})]dx=\int_0^2e^{-x}dx

Cette intégrale a été calculée précédemment, donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{A}=1-\frac{1}{e^2}\approx 0,865\text{ unités d'aire}}}

L'unité graphique étant de 2\text{ cm}, l'unité d'aire est donc 4\text{ cm}^2.

L'aire recherchée est donc au centième près :

\boxed{\textcolor{blue}{\mathcal{A}=(1-\frac{1}{e^2})\times 4\approx 3,46\text{ cm}^2}}


Eléments complémentaires (non demandé)

On peut remarquer que l'aire \mathcal{A} demandée est égale à l'aire comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=2 représentée en vert ci-dessous, aire qui n'est autre que celle dont la valeur est donnée par l'intégrale suivante :

\text{Aire en vert}=\int_0^2f(x)dx

BTS groupement C mai 2010 - supérieur : image 5


En effet, les aires en rouges ci-dessous sont égales, et les intégrales correspondantes sont égales au signe près. Nous avons donc :

\underbrace{\int_1^2(x-1)dx}_{\text{Aire au-dessus de l'axe des abscisses}}=-\underbrace{\int_0^1(x-1)dx}_{\text{Aire en dessous de l'axe des abscisses}}

BTS groupement C mai 2010 - supérieur : image 3


Graphiquement, nous voyons donc que :

\mathcal{A}=\text{Aire en vert}\underbrace{-\text{Aire en rouge au-dessus de l'axe des abscisses}+\text{Aire en rouge en dessous de l'axe des abscisses}}_{=0\text{    compte tenu de ce que nous avons constaté ci-dessus}}=\int_0^2f(x)dx

Par le calcul :

\mathcall{A}=\underbrace{\int_0^2f(x)dx}_{\text{Aire en vert}}+\underbrace{\int_1^2(x-1)dx}_{\text{Aire (positive) au-dessus de l'axe des abscisses}}+\underbrace{\int_0^1(x-1)dx}_{\text{Aire (négative) en dessous de l'axe des abscisses}}=\int_0^2f(x)dx-\cancel{\int_0^1(x-1)dx}+\cancel{\int_0^1(x-1)dx}

On a bien :

\mathcal{A}=\int_0^2f(x)dx



exercice 2


Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats approchés sont à arrondir à 10^{-2}.

Une entreprise fabrique en très grande série une pièce technique de précision en matière plastique. Les questions posées se rapportent à la mesure d'une des cotes de cette pièce.

A - Loi normale


Soit X la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa cote en millimètres.
On suppose que X suit la loi normale de moyenne \mu=60,3 et d'écart-type \sigma.
On qualifie de conforme toute pièce dont la cote est comprise entre 59,5 mm et 61,1 mm.

1. Dans cette question on pose \sigma=0,4. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit conforme.

La probabilité qu'une pièce prélevée soit conforme sera donnée par :

p(conforme)=p(59,5\leq X\leq 61,1)

Si X suit une loi normale \mathcal N:(\mu,\sigma), soit X\hookrightarrow \mathcal N:(\mu,\sigma), alors Y suit une loi normale centrée réduite et nous avons :

Y\hookrightarrow \mathcal N:(0,1) tel que Y=\frac{X-\mu}{\sigma}

De ce fait :

p(59,5\leq X\leq 61,1)= p(\frac{59,5-60,3}{0,4}\leq Y\leq\frac{61,1-60,3}{0,4})=p(-2\leq Y\leq 2)

Cette probabilité correspond à l'aire en rouge représentée dans la figure (non demandée) ci-dessous :

BTS groupement C mai 2010 - supérieur : image 7

Or (voir figures non demandées ci-dessous) :

p(-2\leq Y\leq 2)=p(Y\leq 2)-p(Y\leq -2)

BTS groupement C mai 2010 - supérieur : image 2

BTS groupement C mai 2010 - supérieur : image 4


De plus, nous avons (voir figure (non demandé) ci-dessous) :

p(X\leq -2)=1-p(X\leq 2)

BTS groupement C mai 2010 - supérieur : image 8


D'où :

p(59,5\leq X\leq 61,1)=p(-2\leq Y\leq 2)=p(Y\leq 2)-p(Y\leq -2)=p(Y\leq 2)-[1-p(X\leq 2)]=2p(Y\leq 2)-1

La table de la loi normale centrée réduite indique :

p(Y\leq 2)=0,9772

Donc :

p(59,5\leq X\leq 61,1)=2p(Y\leq 2)-1=2\times 0,9772-1=0,9544=95,44\%

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production soit conforme est donc de 95,44 }\%}}


2. Quelle valeur faut-il donner à l'écart-type \sigma pour que la probabilité d'obtenir une pièce conforme soit égale à 0,99.

On veut :

p(59,5\leq X\leq 61,1)=0,99\Longleftrightarrow p(\frac{59,5-60,3}{\sigma}\leq Y\leq\frac{61,1-60,3}{\sigma})=0,99\Longleftrightarrow p(-\frac{0,8}{\sigma}\leq Y\leq\frac{0,8}{\sigma})=0,99

De la même façon que le développement exposé ci-dessus, nous arrivons à :

p(59,5\leq X\leq 61,1)=0,99\Longleftrightarrow 2p(Y\leq\frac{0,8}{\sigma})-1=0,99\Longleftrightarrow p(Y\leq\frac{0,8}{\sigma})=\frac{1,99}{2}=0,995

Par lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons :

\frac{0,8}{\sigma}= 2,57\text{ pour }p(Y\leq\frac{0,8}{\sigma})= 0,9949\text{ et }\frac{0,8}{\sigma}= 2,58\text{ pour }p(Y\leq\frac{0,8}{\sigma})= 0,9951

En prenant une valeur moyenne à 2,575 , nous obtenons :

\frac{0,8}{\sigma}=2,575\Longleftrightarrow \sigma=\frac{0,8}{2,575}\approx 0,3107

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le valeur à }10^{-2} \text{ près à donner à l'écart-type pour que la probabilité d'obtenir une pièce conforme soit égale à 0,99 est }\sigma=0,31}}

B - Loi binomiale et loi de Poisson


On admet que 95 % des pièces produites sont conformes.
On note Y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 80 pièces prises au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non conformes.
La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 80 pièces à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.


1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Un échantillon est composé de 80 prélèvements indépendants dont l'issue pour chacun d'entre eux est :
- soit le "succès" p : la pièce prélevée est non conforme,
- soit "l'échec" q : la pièce prélevée est conforme, avec q=1-p

95\% des pièces sont conformes, donc 5\% ne le sont pas, on a donc :

p=0,05\text{ et }q=0,95

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La variable }Y\text{, qui à tout échantillon de 80 pièces au hasard associe le nombre de pièces non conformes, suit une loi binomiale de paramètres }n=80\text{ et }p=0,05}}

On a donc :

\boxed{\textcolor{blue}{Y\hookrightarrow \mathcal{B}:(80;0,05)}}


2. Calculer la probabilité que l'on ait exactement trois pièces non conformes.

\text{Pour }Y\hookrightarrow \mathcal{B}:(n,p)\text{ on a : }p(Y=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\text{ avec }C_n^k={n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

\text{Donc pour }Y\hookrightarrow \mathcal{B}:(80;0,05)\text{ on a : }p(Y=3)=C_{80}^3 0,05^3(1-0,05)^{80-3}

D'où :

p(Y=3)=\frac{80!}{3!(80-3)!} 0,05^3\times 0,95^{77}=\frac{78\times 79\times 80}{1\times 2\times 3}0,05^3\times 0,95^{77}=13\times 79\times 80\times 0,05^3\times 0,95^{77}\approx 0,1978

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité que l'on ait exactement trois pièces non conformes est donc de 19,78}\%}}


3. On considère que la loi Y peut-être approchée par une loi de Poisson.


a) Donner le paramètre de cette loi.


n=80 est très grand et p=0,05 est très petit, la loi binomiale Y\hookrightarrow \mathcal{B}:(80;0,05) peut donc être approchée par une loi de Poisson de paramètre np=80\times 0,05=4, on a donc :

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Loi binomiale précédente peut -être approchée par une loi de Poisson de paramètre 4 : }Y\hookrightarrow \mathcal{P}:(4)}}


b) Calculer la probabilité d'obtenir au plus trois pièces non conformes.

\text{Pour }Y\hookrightarrow \mathcal{P}:(\lambda)\text{ on a : }p(Y=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}}

\text{Donc pour }Y\hookrightarrow \mathcal{P}:(4)\text{ on a : }p(Y=k)=\frac{4^k}{k!}e^{-4}

Pour avoir au plus trois pièces non conformes, il faut obtenir soit aucune pièce non conforme, soit une, soit deux ou soit trois, donc :

p(Y\leq 3)=p(Y=0)+p(Y=1)+p(Y=2)+p(Y=3)=\frac{4^0}{0!}e^{-4}+\frac{4^1}{1!}e^{-4}+\frac{4^2}{2!}e^{-4}+\frac{4^3}{3!}e^{-4}+\frac{4^4}{4!}e^{-4}}=e^{-4}(1+4+8+\frac{32}{3})=\frac{71}{3}e^{-4}\approx 0,4335

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La probabilité d'obtenir au plus trois pièces non conformes est donc de 43,35}\%}}





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