CAPES externe de mathématiques
Deuxième composition
Session 2007 (Correction)
Partie I. Systèmes de racines dans
1. a) On a par, définition de
:
par symétrie du produit scalaire
par définition de
1. b) Puisque
, on a nécessairement
, soit
, avec
.
D'autre part, comme
, on a nécessairement
.
Finalement
d'où :
1. c) Supposons que
et que
avec
.
On a alors :
On est alors dans le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, ce qui signifie que
est liée. Du moment qu'aucun de ces deux vecteurs n'est nul (puisqu'ils appartiennent à
), ils sont proportionnels l'un à l'autre.
On a alors nécessairement
d'après la 4ième condition pour que
soit un système de racines. Et ceci est en contradiction avec l'hypothèse de départ.
Le couple
ne peut donc prendre les valeurs (1 ; 4) et (-1 ; -4). On démontre de même, par symétrie des rôles de
et
, qu'il ne peut prendre les valeurs (4 ; 1) et (-4 ; -1).
1. d) Comme
on a
non nul dès que
est non nul, et le rapport
est défini.
On a alors :
.
On en déduit, pour toutes les valeurs de
, les valeurs de
, puis celles de
et de
, et enfin celles de
:
Remarque : les valeurs de la question
1.c) ont été écartées.
1. e) On reprend le tableau précédent, en supposant que
, donc selon
1. d) que
:
2. Prenons
et
tel que
.
Le couple
étant libre, il engendre
. Il reste à trouver le plus petit système de racines le contenant.
Pour celà, il suffit de tracer l'image de chaque vecteur par la symétrie de centre O, et par la symétrie orthogonale par rapport à la droite normale à un autre vecteur (d'après condition 2 pour que
soit un système de racines).
Alors
, soit
.
On trouve les autres vecteurs en appliquant les symétries décrites plus haut (faire un dessin), et on obtient ainsi le système de racines
:
Alors
, soit
.
On trouve les autres vecteurs en appliquant les symétries décrites plus haut (faire un dessin), et on obtient ainsi le système de racines
:
Alors
, soit
.
On trouve les autres vecteurs en appliquant les symétries décrites plus haut (faire un dessin), et on obtient ainsi le système de racines
:
: on peut prendre
, alors
.
On trouve les autres vecteurs en appliquant les symétries décrites plus haut (faire un dessin), et on obtient ainsi le système de racines
:
Partie II. Relations d'ordre dans
1. a) Pour tout
et
dans
et pour tout
dans
on a :
1. b) est réflexive : pour tout
de
on a
car
(réfléxivité de
).
est antisymétrique : pour tout
et
de
on a :
est transitive : pour tout
,
et
de
on a :
est totale : pour tout
et
de
on a :
ou
car
est totale, d'où
ou
.
est EV-compatible :
1°) Pour tout
,
et
de
on a :
2°) Pour tout
et
de
et pour tout
de
on a :
2. a) La partie à hachurer est constituée de la demi-droite
et du demi plan
.
2. b) est réflexive : en effet, pour tout
de
on a
d'où
.
est transititive :
Soient
,
et
dans
tels que
et
. Montrons que
. 4 cas sont possibles :
1°) Si
et
on a
donc
.
2°)Si
et
, il existe
, et on a alors
, d'où
, avec également
. D'où finalement
.
3°) Si
et
, il existe
, et on a alors
, d'où
, avec également
. D'où finalement
.
4°) Si
et
; il existe
et
, avec
et
. Soit
: on a alors
, d'une part, et
, d'autre part. D'où finalement
.
est antisymétrique :
Soient
et
de
tels que
et
. Montrons que
: si ce n'était pas le cas, il existerait
avec
et
, ce qui n'est pas possible.
est totale :
Soient
et
de
. Soit
et dans ce cas
par exemple. Soit
, et il existe alors
; on a alors nécessairement
ou
, d'où
ou
est EV-compatible :
1°) Soient
dans
tels que
. Si
on a
et donc
. Si
, il existe
avec
, et on a alors
avec également
, d'où
.
2°) Soient
dans
et
dans
tels que
. Si
on a
et donc
. Si
, il existe
avec
, et on a alors
avec également
, d'où
.
Partie III. Base d'un système de racines
1. a) Soit
n'appartenant pas à
.
est alors somme de deux racines positives
et
.
On a d'une part
, avec
, d'où
et donc
On a d'autre part
car dans le cas contraire on aurait
ce qui est impossible puisque
.
On a ainsi démontré que
est strictement plus petit que
. On démontre également que
est strictement plus petit que
.
est donc bien la somme de deux racines positives strictement plus petites.
1. b) On va raisonner par l'absurde : supposons qu'il existe
qui ne soit pas combinaison linéaire d'éléments de
.
s'écrit alors comme somme de deux éléments de
strictement plus petits que
(d'après 1.a) et qui ne sont pas dans
.
Faisons alors l'hypothèse de récurrence suivante au rang
:
avec
dans
et
strictement plus petit que
, pour tout
,
.
Selon l'hypothèse de départ faite sur
, il existe un terme
de cette somme qui n'est pas dans
, ce terme peut alors s'écrire comme somme
de deux éléments de
strictement plus petit que lui, et donc strictement plus petit que
.
En remplaçant
par
, on écrit
comme somme de
termes de
et qui sont strictement plus petit que lui. On ainsi prouvé l'hypothèse de récurrence au rang
. Comme elle l'était au rang 2, elle l'est pour tout entier
.
On obtient ainsi une suite strictement décroissante d'éléments de
:
. Comme elle est strictement décroissante, la suite a un nombre infini de valeurs, ce qui est en contradiction avec le fait que
est finie.
L'hypothèse de départ ne peut donc être vraie, et tout élément de
est combinaison linéaire d'éléments de
.
2. a) Si
alors
(résultats rappelés en début de partie II).
Si
, on a :
d'où
et alors
.
Si
on démontre de même que
et alors
.
2. b) Supposons que
. On a alors soit
, et l'on pose
, soit
, et l'on pose
.
Dans les deux cas on a
.
est donc somme de deux racines positives, ce qui est en contradiction avec
.
Ainsi
n'est pas dans
, et donc
d'après 2.a.